一種基于子空間的有效秩的確定方法

1多譜線增強器的改進譜線放大的目的是將聲波和寬帶噪聲分離開來。目前,主要采用自適應濾波算法實現譜線增強。自適應譜線增強器最早是由Widrow等在研究自適應噪聲抵銷時提出來的。現在,自適應譜線增強器和有關的自適應預測濾波器已廣泛應用于瞬時頻率估計、譜分析、窄帶檢測、語音編碼等領域中由于自適應濾波算法存在漸近收斂特性,當量測數據較短時,用自適應濾波增強后的諧波信號波形的起始部分誤差非常顯著。本文針對這一缺陷,提出一種多譜線增強器,其算法的核心思想是:對含噪諧波的短時Fourier變換(STFT)進行奇異值分解(SVD),根據STFT所顯示的諧波個數確定有效秩,據此分離開信號和噪聲子空間,再用信號子空間重構出諧波信號。文中給出了用這種算法所得到的譜線增強結果。2網絡模型的構建考慮具有如下形式的疊加波形其中n(t)是均勻分布的加性白噪聲,s(t)是實值諧波上式中其中h為歸一化窗函數,滿足成立。令A這里H表示共軛轉置,其中為要解決此問題,我們需要兩個定理。為簡化計,假定需研究的模型為其中δ>0為噪聲方差,zi服從標準正態分布,即z定義軟閾值變換與硬閾值變換,其中閾值τ>0。定義1軟閾值變換定義為定義2硬閾值變換定義為前文述及的低有效秩重構信號的出發點顯然是硬閾值變換,因此本文僅討論在硬閾值變換下的信號重構問題。有關軟閾值變換的理論分析,本文不擬介紹。定義3估計量的測度或稱損失函數為其中M為采樣點數,根據Bickel定理1設l中χ為特征函數,l這里θ=(θ設x(t)為x(t)的估計。計算x(t)的短時Fourier變換STFT定理2證明設其中“根據Parseval等式,有再根據定理1即得(12)式成立。證畢定理2表明,對STFT以上定理成立的基礎是閾值3svd的計算步驟信號/噪聲子空間分解對于濾波等一類最小二乘問題應當是很有效的。然而作者在數值計算時發現,用一固定的閾值來確定有效秩k,并不具有普適性。對于濾波問題來說,當有效秩過小時,會損失信號的細節成份,而當有效秩過大時,又會發現重構的信號中包含有顯著的高頻噪聲,尤其是當信噪比(SNR)過低時,這一現象就變得非常明顯。再者,閾值的選取在很大程度上會受到主觀因素的影響,具有較大的不確定性。由于均勻分布的白噪聲的能量在時頻面上趨于均勻分布,而諧波在時頻面上只集中于局部區域,因而即使在信噪比很低的情況下,也能容易地從噪聲背景中辨認出諧波的分布步驟1用(3)式計算x(t)的短時Fourier變換STFT步驟2觀察x(t)的時頻分布,確定其有幾個主要頻率分量,并將主要頻率分量數目記為N;步驟3計算A步驟5令ε為一小正數(譬如ε=0.005,由計算機精度和SVD算法精度確定)。從其中H(μ)為Heaviside函數,即步驟6若C事實上,在步驟3中既可用全部STFT數據計算SVD,也可只用對應于正頻率(或負頻率)的STFT數據計算SVD。作者發現并證明了它們的差別僅在于,用全部STFT數據(實部)計算得到的奇異值,比僅用一半數據(實部)計算得到的奇異值大確定出有效秩k后,用(6)式計算逼近矩陣與基于Cohen類雙線性時頻分布的信號重構方法相比,(15)式所示的信號重構方法省去了相位優化過程,這是因為STFT保留了原信號的相位信息,而Cohen類的雙線性時頻分布則舍棄了相位信息。4譜線增強效果對比實驗信號由(1)式和(2)式產生。在一般的基于子空間法的濾波文獻中,均明確地或隱含地假定含噪信號具有較高的信噪比。為了評價上一節中所提出的算法的性能,作者有意識地使用了較低的信噪比。圖1給出了三種含噪信號的時域波形、STFT、功率譜密度,以及用本文提出的算法所得到的譜線增強結果。圖的左半部分顯示出疊加了均勻分布的白噪聲的諧波信號波形,相應的STFT和功率譜密度估計。右半部分顯示了未疊加噪聲的諧波信號波形、自適應譜線增強結果和用本文提出的算法所得到的譜線增強結果。為不失一般性,信號的采樣頻率均歸一化成1Hz。對于自適應譜線增強來說,學習步長對其影響很大,要獲得滿意的譜線增強效果,需采用較小的學習步長,但學習時間明顯增加。從圖中不難看出,用本文提出的算法所得到的譜線增強結果,具有很好的幅度保持特性。其中,圖1(a)中含噪諧波的SNR=0dB,參數N=1,有效秩k=2,譜線增強后的諧波的SNR比含噪諧波提高了14.21dB;圖1(b)中含噪諧波的SNR=0dB,參數N=2,有效秩k=4,譜線增強后的諧波的SNR比含噪諧波提高了11.11dB;圖1(c)中含噪諧波的SNR=5dB,參數N=3,有效秩k=6,譜線增強后的諧波的SNR比含噪諧波提高了9.17dB。作為對比,作者還分別設計了4階最小均方誤差自適應FIR譜線增強器(其中學習步長定為相關噪聲自相關矩陣的最大特征值的倒數的0.1倍,遺忘因子置為0.0),相應的譜線增強結果也在圖1中給出,自適應譜線增強后的諧波的SNR分別提高了7.77dB、9.74dB和5.21dB。注意到圖中自適應譜線增強結果的起始部分的誤差均很大。5異值頻率分量奇異值分解是基于子空間濾波技術中的一種常用方法,但采用固定的閾值確定有效秩缺乏足夠的適應性,也沒有充分利用信號的時頻信息。對含噪信號的STFT進行奇異值分解,然后根據STFT所提供的時頻信息,對奇異值進行聚類,每一類中的奇異值對應于一個頻率分量;亦如根據直方圖確定閾值一樣,聚類數目反映的是時頻分布集中的區域數目。這種方法利用了信號的時頻信息,對不同的諧波信號具有一定的適應性。需要指出的是,本文的目的是要指出本文所提出的譜線增強方法的可行性,而無意于表明該方法比其它方法優越。事實上,作為濾波問題的一種特例,本文提出的方法只對增強淹沒于噪聲中的諧波問題有效。當信號成份變得復雜時,譬如線性調頻信號,由于無法確定有多少個主要頻率分量,因此