特訓(xùn)(六)特殊四邊形的證明與計算

1.(2020·都勻模擬)如圖，D是△ABC內(nèi)一點，連接DB，DC，DA，并將AB，DB，DC，AC的中點E，H，G，F(xiàn)依次連接，得到四邊形EHGF.(1)求證：四邊形EHGF是平行四邊形；證明：∵AB，DB，DC，AC的中點是E，H，G，F(xiàn)，∴EF是△ABC的中位線，HG是△DBC的中位線，∴EF∥BC，EF＝2(1)BC，HG∥BC，HG＝2(1)BC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四邊形EHGF是平行四邊形．(2)若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四邊形EHGF的周長.解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，∴BC＝∴EF＝GH＝2(1)BC＝5.∵AB，DB，DC，AC的中點是E，H，G，F(xiàn)，∴EH是△ABD的中位線，GF是△ACD的中位線，∴EH＝2(1)AD＝2(7)，GF＝2(1)AD＝2(7)，∴四邊形EHGF的周長＝2EH＋2EF＝7＋10＝17.

2.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD.(1)求證：四邊形ABCD為矩形；證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD.∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD為矩形．(2)對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面積.解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝2(1)AC，∠BAD＝90°.∵AB＝3，AD＝4，

∵S△ABD＝2(1)AB·AD＝2(1)BD·AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝5(12).∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∴△AEO的面積3.(2020·婁底)如圖，在□ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分別在邊BC，AD上的點E與點F關(guān)于AC對稱，連接EF，AE，CF，DE.(1)試判定四邊形AECF的形狀，并說明理由；解：四邊形AECF是菱形．理由如下：設(shè)AC與EF相交于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.∵點E與點F關(guān)于AC對稱，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF.OO在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四邊形AECF是菱形．(2)求證：AE⊥DE.證明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°.∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°－∠B＝120°.又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝2(1)BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝180°－∠AEB－∠CED＝90°，∴AE⊥DE.4.(2020·云南)如圖，四邊形ABCD是菱形，H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，垂足為E，點F在AD的延長線上，CF⊥AD，垂足為F.(1)若∠BAD＝60°，求證：四邊形CEHF是菱形；證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠CAE＝∠CAF＝30°.又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝2(1)AC.∵H為對角線AC的中點，∴EH＝FH＝2(1)AC，∴CE＝CF＝EH＝FH，∴四邊形CEHF是菱形．(2)若CE＝4，△ACE的面積為16，求菱形ABCD的面積.解：∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面積為16，∴AE＝8，∴AC＝∵H為AC的中點，∴AH＝2(1)AC＝2.連接BD，則H為BD的中點，BD⊥AC.∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，∴△ABH∽△ACE，∴∴BD＝2BH＝，∴菱形ABCD的面積＝2(1)AC·BD＝5.(2020·鄂州)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，M，N分別為OA，OC的中點，延長BM至點E，使EM＝BM，連接DE.(1)求證：△AMB≌△CND；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，∴∠BAM＝∠DCN.又∵M，N分別為OA，OC的中點，∴AM＝CN，∴△AMB≌△CND(SAS)．(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積.解：由(1)可知△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.又∵BM＝EM，∴DN＝EM.∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠ABO－∠ABM＝∠CDO－∠CDN，即∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN，∴四邊形DEMN是平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD＝2OB.又∵BD＝2AB，∴AB＝OB.∵M是AO的中點，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四邊形DEMN是矩形．∵AB＝5，BM＝DN＝4，∴AM∴OM＝3.由(1)可知AM＝CN，OA＝OC，∴OM＝ON，∴MN＝2OM＝6，∴矩形DEMN的面積＝MN·DN＝6×4＝24.

6.(2020·海南)四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，連接DE，F(xiàn)是射線BC上一動點(不與點B重合)，連接AF，交DE于點G.(1)如圖1，當(dāng)F是BC的中點時，求證：△ABF≌△DAE；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC.∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴AE＝2(1)AB，BF＝2(1)BC，∴AE＝BF，∴△ABF≌△DAE(SAS)．(2)如圖2，當(dāng)點F與點C重合時，求AG的長；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，∵AB∥CD，∴△AGE∽△CGD，解：當(dāng)時，AG＝AE.理由如下：如圖，設(shè)AF交CD于點M.若使AG＝AE＝1，則有∠1＝∠2.∵AB∥CD，∴∠1＝∠4.又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，∴DM＝GM.在Rt△ADM中，AM2－DM2＝AD2，即(DM＋1)2－DM2＝22，解得(3)在點F運動的過程中，當(dāng)線段BF為何值時，AG＝AE？請說明理由.∵AB∥CD，∴△ABF∽△MCF，

∴.故當(dāng)時，AG＝AE.1.把一張矩形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？7.(2020·長春)【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁的部分內(nèi)容.【問題解決】(1)如圖1，已知矩形紙片ABCD(AB＞AD)，將矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊DC上，點A的對應(yīng)點為A′，折痕為DE，點E在AB上.求證：四邊形AEA′D是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°.由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四邊形AEA′D是矩形．由翻折可知DA＝DA′，∴四邊形AEA′D是正方形．【規(guī)律探索】(2)由(1)可知，圖1中的△A′DE為等腰三角形.現(xiàn)將圖1中的點A′沿DC向右平移至點Q處(點Q在點C的左側(cè))，如圖2，折痕為PF，點F在DC上，點P在AB上，那么△PQF還是等腰三角形嗎？請說明理由.解：△PQF是等腰三