#我們II打〈敗〉了敵人。我們II〔把敵人〕打〈敗〉了。一、問題重述關鍵詞：微分方程、模型。本問題主要是分析駕駛員在喝過一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影響司機駕車，所以司機飲酒后需經過一段時間后才能安全駕車，國家標準新規定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，司機大李在中午12點喝下一瓶啤酒，6小時后檢查符合新標準，晚飯地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2點駕車，被檢查時定為飲酒駕車，為什么喝相同量的酒，兩次結果不一樣？討論問題：對大李碰到的情況做出解釋；在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：1）酒是在很短時間內喝的；2）酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？根據你做的模型并結合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。參考數據人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。體重約70kg的某人在短時間內喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到數據如下：時間（小時）0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間（小時）678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、模型假設1、酒精從胃轉移到體液的速率與胃中的酒精濃度成正比。2、酒精從體液轉移到體外的速率與體液中的酒精濃度成正比。3、酒精從胃轉移到體液的過程中沒有損失，且不考慮誤差。三、符號說明

k:酒精從體外進入胃的速率；0f(t):酒精從胃轉移到體液的速率；1f(t):酒精從體液轉移到體外的速率；2X(t)：胃里的酒精含量；Y(t)：體液中酒精含量；V:體液的容積；0K：酒精從胃轉移到體液的速率系數；1K：酒精從體液轉移到體外的速率系數；2C(t):體液中的酒精濃度。D：短時間喝酒情況下進入胃中的初始酒精量。0T：較長時間喝酒所用的時間或達到濃度最大值所需時間。四、模型的分析與建立一)、模型分析：假設酒精先以速率k°進入胃中，然后以速率厶⑴從胃進入體液，再以速率f2(t)從體液中排到體外。k0體外胃部flk0體外胃部k1k2體液(二)模型建立：找到C(t)與t的關系用x(t)與y(t)分別表示酒精在胃、體液中的酒精量，c(t)表示酒精在體液中的濃度。根據前面的假設可知：fi(t)二kix(t)f2(t)二k2y(t)1.對胃建立方程可得：dx(t)

1.對胃建立方程可得：dx(t)

dtdx(t)=kdt-f(t)dt01=k-f(t)0idx(t)

dt+kx(t)=ki0利用一階線性常微分方程求解，可以得到；x(t)=ce-肝+A11k—0k1c+A=x(0)=x10又因為f(t)=kx(t)，聯合式可得：11f1(t)=kce-Kf+kAf1(t)1111=kce-kf+k110=(kx—k)e-kf+kf0002又對中心室可建立方程組如下；dy(t)=f(t)—f(t)<dt12y(0)=y0同理：因為f(t=(kx0―k0)e-kf+k0，將其代入上式可得到:dy(tdy(t)

dt+ky(t)=(kx2f0-k)e-kft+k00kx-kx-k-^-0e-k、tk—k2fky(t)=ce-k2t+°+2k2=ce-k2t+A+Be-kft2222f又酒精濃度為酒精量與體液容積之比，c(t)=罟，即:c(t)=ce一kj+A+Be-k1t333ckkx-k(其中c=—2，A=—，B=―1—04，A+B+C=c(0)=c)。3v3kv3(k-k)v33300202f0(三)模型的討論：情況一1當酒是在較短時間內喝時此時有x(0)=D=x，k=0，c=0。0000

c二一B3c二一B3其中kDA二—B=i_o—)3(k—k)v120由上可得：A二0,B=io33(k—k)v10因此有：c(t)二—Be-梆+Be-k1t33=—B(e—k2—e—)3二A[e—kj—e—kjt]設K1>K2,因此可認為：c(t)uAe-k?nInc(t)=InA一Kt利用數表一：(喝下兩瓶啤酒取0.25小時以后)通過Matlab進行曲線擬合可得：>>t=[1.522.533.544.55678910111213141516];y1=[82776868585150413835282518151210774];y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans=-0.19404.7753A=118.5459，k=0.19402根據查閱資料可知：一瓶啤酒的酒精量一般為640ml,密度為810mg/ml酒精濃度不超過4.5%，所以兩瓶啤酒的酒精總量D=2x640x810x4.5%=46656mg0由于體重為70kg,體重的65%左右，體液密度為1.05mg/mlv=70x65%x103=433.3301.05x100毫克/百毫升。kD由A=i0可求得：k=2.114。(k—k)v120可得短時間內喝下兩瓶啤酒時關系式如下；c(t)=118.5459[e—0.1940t—e—2.114t]用Matlab軟件畫出圖形為：

情況二1當酒是在較長時間內喝時我們可將其進行分段討論。當tw(O,t］時，同樣可以得到：T為喝酒總用時，取2小時。此時時。此時k=器，x(0)=0,y(°)=0因為：c(t)=ce-kj+A+Be-k1t32331可知c(t)=-(A+B)e-k2t+A+Be-k1t333=A(1-e-k2t)-B(e-k2t-e-k1t)3由上式可以求得:B3B3=28.038677233所以可得:c(T)=A(1-e-k2t)-B(e-kT-e-kT)33=B[e-k2T—e-k1T]=Be-kT2當t〉T時，則此時血液中的濃度與時間關系式如下:

c(tc(t)二kx(T)1(k—k)v120x[e—k2(t—t)—e—ki(t—t)]+C(T)e—k2(t—t)菩二￥[1—菩二￥[1—e—kiT]1其中x(T)二ioe—kiT+kkckc(T)二—[1—e-k2t]+ky20——k[e—klT—e—k2T](k—k)12綜上所述，可得，當t>T時/、kx(T)rc(t)=——ix[e—k2(t—t)-e—k1(t—t)]+C(T)e—k2(t—t)(k—k)v120k{x(T)=產[1—e-kiT]k1kkc(T)=[1—e-k2t]+―[e-kiT—e-k?T]kyk一k012五、問題的解答問一：假設大李第一次喝酒是在短時間內喝的，根據所建立模型，符合情況一c(t)二59.27295[e-o.i94ot—e-2.ii4t](一瓶啤酒)當t二6時，可以求得c(t)二18.2778mg/百毫升，小于200mg/百毫升，所以第一次檢查時不是飲酒駕駛。緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車。第一次喝完6小時后殘余18.2778mg/百毫升，又過8小時殘余3.92mg/百毫升，因此晚六點喝酒不是短時間喝完，因此可知，18.2778+3.92=22.1978>20。因此為飲酒駕車。問二當酒是在較短時間內喝時，符合情況一所以：三瓶啤酒時c(t)二177.81885[e-o.i94ot—e-2.ii4t]當c(t)二20毫克/百毫升時，可求得t二11.261小時。所以當駕駛員在較短時間內喝下三瓶啤酒時，必須經過11.261小時后開車才不會被認為是飲酒駕車。當酒是在較長時間內喝時，符合情況二c(t)=ce一k2t+A+Be一k/33當c(t)二20毫克/百毫升時，可以求出t二13.407小時，所以當駕駛員在較長時間(T為二小時)喝下三瓶啤酒后，必須經過13.407小時后開車才不被認為是飲酒駕車。

問三：(1)短時間內喝酒時，符合情況c(t)二kDc(t)二kDi_0[e-k2t(K-K)V120-e-k1t]當c(t)的導數等于0時，可解得:Ink1一Ink2k1-k2=1.23所以當t=1.23時，c(t)取得最大值。(2)、當酒是在較長時間內喝時，符合情況二在第二小時時含量最高。問四:假設天天喝酒,每次喝酒為短時間喝完。nnC(t)二一Ae-k2t-Ae-y<20，可知nV22221即每天喝小于兩瓶符合。給司機朋友的忠告司機朋友，適量飲酒有益健康，過多地飲酒對身體的不利影響很大，特別是肝，容易患酒精肝，對心臟也不好。所以建議你喝酒時不要空腹，適量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，這樣有助于保護你的胃。在你感覺身體不舒服時,不能喝酒。每次喝酒最好一瓶，對車輛的駕駛人員,出車前不能飲酒。司機喝完酒后最好6小時后出車。有些司機朋友可能會問，為什么喝完酒后不能駕車？科學家曾做過實驗，一個人喝完酒后的反應速度大大降低，這樣就加大了交通隱患，這樣既不利于