1.函數、導數及其應用是歷年高考命題的重點與熱點，約占總分的20%左右．2．函數的概念、圖象及其性質是高考考查的主要內容，函數的定義域、解析式、圖象是高考考查的重點，函數性質與其他知識的綜合是歷年高考的熱點．3．導數的幾何意義，導數在研究函數單調性、極值、最值及最優化問題方面的應用是高考的重點與熱點．4．本章內容集中體現了四大數學思想：函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸的思想，且常與方程、不等式、導數等知識交匯命題，體現了綜合與創新.1.注重基礎，對函數的概念、圖象、性質(單調性、奇偶性、周期性)、導數的幾何意義、導數在研究函數單調性、極值、最值及最優化問題方面的應用要熟練掌握靈活應用．2．加強交匯，強化綜合應用意識．在知識的交匯點處命制試題，已成為高考的一大亮點，函數的觀點和方法貫穿于高中數學的全過程，因此，應加強函數與三角函數、數列、不等式、解析幾何、導數等各章節之間的聯系．3．把握思想，數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想，等價轉化思想在解決各種與函數有關的問題中均有應用，復習時應引起足夠重視.第一節函數及其表示1．函數與映射的概念函數映射兩集合A、B設A、B是兩個______________設A、B是兩個____________非空數集非空集合對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的_________一個x，在集合B中都有____________的數f(x)和它對應如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的______一個元素x，在集合B中________的元素y與之對應名稱稱_______________為從集合A到集合B的一個函數稱_____________為從集合A到集合B的一個映射任意唯一確定任意都有唯一f：A→Bf：A→B 2.函數的定義域、值域 (1)在函數y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數集A)叫函數的________；函數值的__________________是函數的值域． (2)如果兩個函數的_________相同，并且___________完全一致，則這兩個函數為相等函數． 3．函數的表示 (1)函數有三種表示方法：_________、__________和列表法． (2)如果在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有不同的對應關系，這樣的函數通常叫做____________定義域集合{f(x)|x∈A}定義域對應關系解析法分段函數．圖象法 1．若兩個函數的定義域與值域相同，則一定是相等函數，這種說法對嗎？ 【提示】

不對．如y＝sinx和y＝cosx的定義域都為R，值域都為[－1,1]，但不是相等函數，判定兩個函數是同一函數，當且僅當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同．

2．為什么說分段函數是一個而不是幾個函數？ 【提示】

所謂“分段函數”是指在定義域內的不同取值范圍，有不同的對應法則的函數，對它有兩點基本認識：①分段函數是一個函數，而不能誤認為是幾個函數．②分段函數的定義域是各段自變量取值的并集，值域是各段函數值的并集．

【答案】

A【答案】

A【解析】

當α≤0時，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；當α＞0時，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.【答案】

B【答案】

B

(2011·湖南高考)給定k∈N*，設函數f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數n，f(n)＝n－k. (1)設k＝1，則其中一個函數f在n＝1處的函數值為________； (2)設k＝4，且當n≤4時，2≤f(n)≤3，則不同的函數f的個數為________． 【思路點撥】

(1)根據函數的對應法則求解；(2)抓住函數值的特征及要求．函數的基本概念

【答案】

(1)a(a∈N*)(2)16

1．本題易犯的錯誤有兩點：(1)忽視f(n)＝n－k的限定條件“n>k”，盲目代入求值致誤；(2)忽視函數“f”的函數值的要求，無從入手． 2．函數是一種特殊的單值對應f：A→B，必須滿足A，B都是非空數集，其中A是定義域，而值域是B的子集． 3．函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．因此兩個函數相同，當且僅當定義域、對應關系相同． 函數y＝f(x)的定義域為[－1,1]，則在同一坐標系中，y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點的個數為() A．0B．1C．2D．0或1 【解析】

∵x＝1∈[－1,1]， 根據函數的定義，函數y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點個數為1個． 【答案】

B

求函數的定義域

【答案】C(2)令t＝x＋1，由f(x＋1)的定義域為[0,1]，∴1≤t＝x＋1≤2，即函數f(t)的定義域為[1,2]．要使f(2x－2)有意義，必須1≤2x－2≤2，即3≤2x≤4，∴log23≤x≤2.故函數f(2x－2)的定義域為[log23,2]．

1．(2)中易理解錯f(x)與f(x＋1)定義域之間的關系． 2．(1)求函數的定義域往往歸結為解不等式組的問題．取交集時可借助數軸，并且要注意端點值的取舍．(2)對于抽象函數的定義域，在同一對應關系作用下，不管接受關系的對象是字母還是代數式，都應在同一范圍內受到約束．求函數的解析式

【思路點撥】

第(1)題利用換元法，第(2)題已知函數的結構特征，可運用待定系數法求解． 1．本題(2)已知函數的類型，可用待定系數法求解； 2．求函數解析式的主要方法有待定系數法、換元法等．如果已知函數解析式的類型時，可用待定系數法；已知復合函數f(f(x))的表達式時，可用換元法，這時要注意“元”的取值范圍；對于抽象函數可賦值、消元求函數的解析式．求函數的解析式一定要重視定義域，否則會導致錯誤． 設f(x)是R上的函數，且滿足f(0)＝1，并且對任意實數x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)． 【解】

∵對?x，y∈R，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，且f(0)＝1. 令x＝0得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， ∴f(－y)＝1－y(－y＋1)， 再令－y＝x， 得f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1.

分段函數及其應用

【思路點撥】

根據分段函數的意義，欲求f(1－a)與f(1＋a)，只需判定1－a,1＋a和1的大小，因此需分a＞0與a＜0兩情況討論．【嘗試解答】

當a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因為f(1－a)＝f(1＋a)， 1．(1)本題求解的關鍵在于討論a與0的大小，從而確定1－a,1＋a與1的大小，得關于a的方程．(2)對于分段函數，一定要明確自變量所屬的范圍，以便選擇與之相應的對應關系．不理解分段函數的概念是出錯的主要原因． 2．分段函數是一個函數而不是幾個函數，處理分段函數體現了數學的分類討論思想，“分段求解”是解決分段函數問題的基本原則．【答案】

C

從近兩年高考看，函數及其表示是高考的重點，特別是函數的定義域、分段函數及求值常考常新．題型以選擇題、填空題為主，既重視三基，又重視能力的考查，預計2013年仍以分段函數及應用為重點，并注意新定義與思維創新．創新探究之二常考常新的分段函數 ∵函數y＝f(x)－c與x軸有兩個公共點， ∴y＝f(x)與y＝c的圖象恰有兩個公共點， 數形結合知，實數c滿足－2＜c≤－1或1＜