空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系［知識(shí)能否憶起］一、平面的基本性質(zhì)名稱(chēng)圖示文字表示付號(hào)表示公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)AGl，BWl，且AG?，BGa^^lua公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面\公理3'耳如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線PGa,且PG戶an”=l,且PGl二、空間直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類(lèi)［相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);丿共面直線』八㈤次［平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)直公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行.3．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4．異面直線所成的角（或夾角）⑴定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線a‘〃a,b‘〃b,把a(bǔ)'a與a與b所成的角.1.三個(gè)公理的作用公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點(diǎn)共線.1.三個(gè)公理的作用公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點(diǎn)共線.2.異面直線的有關(guān)問(wèn)題判定方法：①反證法；②利用結(jié)論即過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖.所成的角的求法：平移法.1典題導(dǎo)入位置關(guān)系圖示付號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l在平面a內(nèi)la無(wú)數(shù)個(gè)直線l與平面a相父lHa=A一個(gè)直線l與平面a平行zTV1l〃a0個(gè)

［例1］（2012?湘潭模擬）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)，求證：CE,D1F,DA三線共點(diǎn).［自主解答］??EF綊2cD],???直線D]F和CE必相交.設(shè)D'FOCE二P,VP^D1F且D1FU平面AA1D1D,?PG平面AA]D]D.又PGEC且CEU平面ABCD,?PG平面ABCD,即P是平面ABCD與平面AADD的公共點(diǎn).而平面abcdn平面aa1d1d二AD.?PGAD.?CE、D1F、DA三線共點(diǎn).本例條件不變?cè)囎C明E,C,D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.證明:■:E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，?EF綊士人嚴(yán).又A1D1綊B1C1綊BC.?四邊形a1d1cb為平行四邊形.?a1BHCD1，從而EFIICD］.?EF與CD］確定一^平面.?E，C1，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面.2由題悟法證明線共點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上.

證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題一般有以下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再證其余線（或點(diǎn)）均在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合．3以題試法1.（1）（2012?江西模擬）在空間中，下列命題正確的是（）對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形四邊相等的四邊形一定是平面圖形有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形（2）對(duì)于四面體ABCD,下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.相對(duì)棱AB與CD所在直線異面；由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是ABCD三條高線的交點(diǎn)；若分別作△ABC和AABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).解析：（1）由“兩平行直線確定一個(gè)平面”知C正確.（2）由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故①正確；由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足是"CD的三條高線的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)DA=DB,CA=CB時(shí)，這兩條高線共面，故③錯(cuò)誤；設(shè)AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)依次為E,F,M,N,易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線也過(guò)它們的交點(diǎn)，故④正確.答案：（1）C（2）①④異面直線的判定[例2]（2012?金華模擬）在圖中，G,N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有.（填上所有正確答案的序號(hào)）［自主解答］圖①中，直線GHWMN；圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面，但M年面GHN,因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG,GMWHN,因此GH與MN共面；圖④中,G,M,N共面，但H年面GMN,因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.［答案］②④-由題悟法1．異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．2．客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．3以題試法已知m,n,l為不同的直線，a,“為不同的平面，有下面四個(gè)命題：m,n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P,一定能作一條直線l與m,n都相交.m,n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P,—定存在一個(gè)與直線m,n都平行的平面.a丄〃，aQ〃=l,mUa,nU",m,n與l都斜交，則m與n一定不垂直；m,n是a內(nèi)兩相交直線，則a與"相交的充要條件是m,n至少有一條與"相交.則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()B.2A.1B.2C.3D.4C.3解析：選B①錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；②錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，就不滿足結(jié)論；③正確，否則，若m丄n,在直線m上取一點(diǎn)作直線a丄1,由a丄〃，得a丄n.從而有n丄a,則ndl；④正確.異面直線所成角

i典題導(dǎo)入［例3］(2012?大綱全國(guó)卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BB{,Cq的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為．［自主解答］連接DF,則AEIIDF,-zD1FD即為異面直線AE與D1F所成的角.-zD1FD即為異面直線AE與D1F所成的角.CjAl設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,貝UD］D二a,DF二舍a,Dp^a,□AcosZD1FD二2?2a*2aa2—二353［答案］3求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．3以題試法3.(2012?唐山模擬)四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為詬，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()厶5b巫5'5D.|解析：選B如圖所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD//AB,則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角ZP4B，在厶PAB內(nèi)，PB=RA=/i,AB=2，利用余弦定理可知：PA2+AB2-PB25+4—5逅C0SZPAB=2XPAXAB=2X2^；5=扌［小題能否全取］1.(教材習(xí)題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b()

A?異面B?相交C.不可能平行D.不可能相交解析：選C由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b〃c,則a〃b.與a,b是異面直線相矛盾.（2012?東北三校聯(lián)考）下列命題正確的個(gè)數(shù)為（）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.TOC\o"1-5"\h\zA.0B.1C.2D.3解析：選C①④錯(cuò)誤，②③正確.已知空間中有三條線段AB,BC和CD,且ZABC=ZBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）AB^CDAB與CD異面AB與CD相交AB^CD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：選D若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線.（教材習(xí)題改編）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為解析：連接B1D1，D1C，則BpilEF,故ZD1B1C為所求，又B1D1=B1C=D1C,-^d1B1C=60°.答案：60°（教材習(xí)題改編）平行六面體ABCD—A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為.

數(shù)為.解析：如圖，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1；與AB平行且與CC］相交的棱有CD,C1D1,故符合條件的棱共有5條.答案：5［知識(shí)能否憶起］一、直線與平面平行1．判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言平面外一條直線與此平aaQa判定定理面內(nèi)的一條直線平行,則L__/bUab〃aJ~^a〃a直線與此平面平行2．性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a〃a>Oa〃baQ0=b二、平面與平面平行1．判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交

直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交

直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行buaIaQb=P=aHa〃Bb〃02.兩平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行allB\a^Y=a\Oa〃bY=b平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：線//線判定判定I線//面I――N面//面性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應(yīng)用中，其順序恰好相反,但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.輔助線（面）是求證平行問(wèn)題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有關(guān)平行性質(zhì)的應(yīng)用.肌考點(diǎn)學(xué)狡法肌考點(diǎn)學(xué)狡法啟損高廿HiHi線面平行、面面平行的基本問(wèn)題[例1]（2011.福建高考）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF〃平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于.at［自主解答］因?yàn)橹本€EFII平面AB1C,EF平面ABCD,且平面AB&Q平面ABCD二AC，所以EFIAC.又因?yàn)辄c(diǎn)E是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由中位線定理可得EF#AC.又因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC二2邁.所以EF二：/2.［答案］\'2妙一題爹變本例條件變?yōu)椤癊是AD中點(diǎn)，F(xiàn),G,H,N分別是AA1,ADVDD1與D&的中點(diǎn),平面EGNII平面AA］C］C.???當(dāng)M在線段EG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MNII平面AA&&.-由題悟法解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問(wèn)題要注意：判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件,如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視．結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷．舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．3以題試法1.(1)(2012?浙江高三調(diào)研)已知直線1〃平面a,PF,那么過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線()只有一條，不在平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)只有一條，且在平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條，一定在平面a內(nèi)解析：選C由直線1與點(diǎn)P可確定一個(gè)平面〃，且平面a,B有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m,因?yàn)?〃a所以1〃m,故過(guò)點(diǎn)P且平行于直線1的直線只有一條，且在平面a內(nèi).

(2)(2012?濰坊模擬)已知m,n,厶，l2表示直線，a,“表示平面.若mUa,nUa,"u",l2c^,l^l=M，貝9allB的一個(gè)充分條件是()A.m//"且l/aB.m〃"且n〃“C.m〃“且n〃l2D.m〃l］且n〃l2解析：選D由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知a/".直線與平面平行的判定與性質(zhì)［例2］(2012?遼寧高考)如圖，直三棱柱ABC-AB'C,ZBAC=90°,AB=AC=、?迂,AA'=1,點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn).證明：MN〃平面A'ACC'；8求三棱錐A'-MNC的體積.(錐體體積公式V=3Sh,其中S為底面面積,h為高)8［自主解答］(1)證明：法一：連接AB'、AC'，因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是A'B和B'C'的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M為AB'的中點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)N為B'C'的中點(diǎn)，所以MN^AC又MNQ平面A'ACCAC'u平面A'ACC'因此MNII平面A'ACC法二：取A'B'的中點(diǎn)P.連接MP.而點(diǎn)M，N分別為AB'與B'C'的中點(diǎn)，所以MPIIAAPNIIA'C'.所以MPII平面A'ACC',PNI平面A'ACC'.又MPHPN二P,因此平面MPNII平面A'ACC'.而MNU平面MPN,

因此MNII平面AzACC⑵法一：連接BN,由題意得A'N丄B'C，平面A'B'Cn平面B'BCC_B'C'，所以A'N丄平面NBC.又A'N_|b'C'_1,故VA'-MNC1Vn-故VA'-MNC1Vn-a，mc_2Vn-a，bc12匕，-NBC16°法二：VA-MNC=V－NBC－VM－NBCVA1-2

--_1-NBC_6°-由題悟法利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線．-由題悟法利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線．3以題試法(2012.淄博模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是BD,BB1的中點(diǎn).求證：EF〃平面ABCD；求證：EF丄AD1.解：(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接BD,(2)TABCD-A1B1C1D1是正方體，「?AD］丄A",AD］丄A1B1.又A1DnA1B1_A1,「?AD］丄平面A1B1D.「?AD］丄B］D.又由(1)知，EFWBd,「ef丄ad

“平面與平面平行的判定與性質(zhì)1典題導(dǎo)入［例3］如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上,G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點(diǎn).求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；求證：平面A1GH〃平面BED1F.［自主解答］(1)在正方形AA1B1B中，\'ae=b1G=1,???BG二Af二2,.?.BG綊AE1?四邊形A1GBE是平行四邊形.?a1GUBE.又C1F綊B1G,?四邊形C1FGB1是平行四邊形..FG綊C1B1綊D1A1.?四邊形A1GFD1是平行四邊形.?A1G綊D1F.?d1F綊EB.故E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面.3(2)VH是B1C1的中點(diǎn),aB1H=2.----1r1又BC又BC二3，且ZFCB=^GB1H二90°,-△B1HG-^CBF.-^B1GH=ACFB二zfbg.??GHQ面FBED1,FBU面FBED1,「.GHII面BED/.由⑴知A1GIBE,AgQ面FBED1,BEU面FBED1,???A]GII面BED1F.且hghaig=g,?平面A]GHII平面BED1F.-由題悟法常用的判斷面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；⑵面面平行的傳遞性(JIB，“〃Y~a〃Y);⑶利用線面垂直的性質(zhì)(I丄a,I丄戸a///B).3以題試法3.(2012.北京東城二模)如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB//NC,MN丄MB.求證：平面AMB〃平面DNC；若MC丄CB,求證：BC丄AC.證明：⑴因?yàn)镸BIINC,MBQ平面DNC,NCU平面DNC,所以MBII平面DNC.又因?yàn)樗倪呅蜛MND為矩形，所以MAWDN.又MAQ平面DNC,DNU平面DNC.所以MAII平面DNC.又MAQMB=M,且MA,MBU平面AMB,所以平面AMBII平面DNC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛MND是矩形，所以AM±MN.因?yàn)槠矫鍭MND丄平面MBCN，且平面AMNDn平面MBCN二MN,所以AM丄平面MBCN.因?yàn)锽CU平面MBCN，所以AM±BC.因?yàn)镸C丄BC,MCHAM=M,所以BC丄平面AMC.因?yàn)锳CU平面AMC,所以BC丄AC.［小題能否全取］1．（教材習(xí)題改編）下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是（）—個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面—個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面—個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面解析：選D由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故D正確.已知直線a，b平面a,則以下三個(gè)命題：若a〃b,bUa，貝Valla；若alb，alla，貝Vbla；若ala，bla，貝Valb.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3解析：選A對(duì)于命題①，若alb，bUa，則應(yīng)有ala或aUa，所以①不正確；對(duì)于命題②，若alb,ala，則應(yīng)有bla或bUa，因此②也不正確；對(duì)于命題③，若ala，bla，則應(yīng)有alb或a與b相交或a與b異面，因此③也不正確.（教材習(xí)題改編）若一直線上有相異三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面a的距離相等，那么直線l與平面a的位置關(guān)系是（）A.llaB.l丄aC.l與a相交且不垂直D.lla或lUa解析：選D由于l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面a的距離相等，則l與a可以平行，lUa時(shí)也成立.

平面a〃平面B，aUa,bu",則直線a,b的位置關(guān)系是.解析：由all"可知,a,b的位置關(guān)系是平行或異面.答案：平行或異面（2012.衡陽(yáng)質(zhì)檢）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD｛的中點(diǎn)，則BD｛與平面ACE的位置關(guān)系為.解析：如圖.連接AC,BD交于O點(diǎn)旌接OE，因?yàn)镺ElBD^,而OEU平面ACE,BDf平面ACE，所以BD］II平面ACE.答案：平行將星亡分將星亡分［知識(shí)能否憶起］一、直線與平面垂直1．直線和平面垂直的定義直線l與平面a內(nèi)的任意二條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面a互相垂直.2．直線與平面垂直的判定定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都17a,bua1a「Ib=Os垂直，則該直線與此平面垂直1Ol丄al丄a1匚丿推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面b7a〃b]sOb丄aa丄aj3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行ab7a丄a]戸a〃bb丄aj二、平面與平面垂直1．平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直丄0LJ2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直，則一個(gè)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直，則一個(gè)性質(zhì)定理平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面Q丄01U0I31丄aaQ0=a1丄a1.在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件．同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：2．在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：2．在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決，如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理3．幾個(gè)常用的結(jié)論：(1)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(2)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．i典題導(dǎo)入［例1］（2012?襄州模擬）若m,n為兩條不重合的直線，a“為兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：①若m,n都平行于平面a,則m,n一定不是相交直線；②若m、n都垂直于平面a則m，n一定是平行直線；③已知a“互相垂直，m，n互相垂直，若m丄a，則n丄〃;④m,n在平面a內(nèi)的射影互相垂直，則m,n互相垂直.其中的假命題的序號(hào)是.［自主解答］①顯然錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫鎍II平面B，平面a內(nèi)的所有直線都平行B，所以B內(nèi)的兩條相交直線可同時(shí)平行于a:②正確；如圖1所示，若aC卩=1,且nlll，當(dāng)m丄a時(shí)，m丄n,但nil",所以③錯(cuò)誤；如圖2顯然當(dāng)m'丄n‘時(shí)，m不垂直于n,所以④錯(cuò)誤.［答案］①③④-由題悟法解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法有：①依據(jù)定理?xiàng)l件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；②否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例.③尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ停ㄈ鐦?gòu)造長(zhǎng)方體）進(jìn)行篩選.3以題試法1.（2012?長(zhǎng)春模擬）設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,"是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：①若alb,a丄a,bQa，貝Vb〃a；②若alla,a丄〃，貝Va丄"；③若a丄〃，a丄"，貝Va//a或aUa；④若alb,a丄a,b丄〃，貝Va丄〃.TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析：選D對(duì)于①，由b不在平面a內(nèi)知，直線b或者平行于平面a,或者與平面a相交，若直線b與平面a相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知“a丄b”相矛盾，因此①正確.對(duì)于②，由ala知，在平面a內(nèi)必存在直線aja，又a丄〃，所以有d］丄〃，所以a丄〃，②正確.對(duì)于③，若直線a與平面a相交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作平面a、的交線的垂線m,則m丄〃，又a丄〃，則有a〃m,這與“直線a、m有公共點(diǎn)A”相矛盾，因此③正確.對(duì)于④，過(guò)空間一點(diǎn)O分別向平面a、"引垂線a1>b1，則有ala1，b/b1，又a丄b,所以a］丄b1，所以a丄〃，因此④正確.綜上所述，其中正確命題的個(gè)數(shù)為4.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

匚典題導(dǎo)入［例2］(2012-廣東高考)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB丄平面PAD,AB〃CD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF=2AB,PH為APAD中AD邊上的高.證明：PH丄平面ABCD；若PH=1,AD=V2,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積；證明：EF丄平面PAB.［自主解答］(1)證明：因?yàn)锳B丄平面PAD,PHU平面PAD,所以PH丄AB.因?yàn)镻H為a/AD中AD邊上的高，所以PH丄AD.因?yàn)镻HQ平面ABCD,ABHAD二A,AB,ADU平面ABCD,所以PH丄平面ABCD.所以EG丄平面ABCD.因?yàn)锳B丄平面PAD,ADU平面PAD,所以AB丄AD.所以底面ABCD為直角梯形.所以V所以VE-BCF?EG二3扌.FC.AD-EG二證明：取PA中點(diǎn)M,連接MD,ME.因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME綊|ab.又因?yàn)镈F綊2ab,所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EFHMD.因?yàn)镻D=AD，所以MD丄P4.

因?yàn)锳B丄平面PAD，所以MD±AB.因?yàn)镻4HAB=A，所以MD丄平面PAB，所以EF丄平面PAB.由題悟法由題悟法證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推論(a〃b,a丄證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推論(a〃b,a丄a^b丄a).⑶利用面面平行的性質(zhì)(a丄a,all戸。丄旳.(4)利用面面垂直的性質(zhì).當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面3以題試法2.(2012?啟東模擬)如圖所示，已知PA丄矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).求證：MN丄CD；若ZPDA=45°,求證：MN丄平面PCD.證明：(1)連接AC,AN,BN,TP4丄平面ABCD,?.P4丄AC,在R2P4C中，N為PC中點(diǎn)，「.AN二1pc.???PA丄平面ABCD,?.P4丄BC，又BC±AB,PAnAB二A,???BC丄平面PAB..?.BC丄PB.從而在RfPBC中，BN為斜邊PC上的中線，?BN二*C.?AN二BN.?△ABN為等腰三角形，又M為AB的中點(diǎn)，：?MN丄AB,又TABIICD,?.MN丄CD.(2)連接PM,MC,.NPDA二45°,PA丄AD,「.AP二AD.??四邊形ABCD為矩形「.AD二BC,「.AP二BC.又.M為AB的中點(diǎn)，.AM二BM.而ZPAM=ZCBM=90°,^△PAM^^CBM.???PM二CM.又N為PC的中點(diǎn),?MN丄PC.由(1)知，MN丄CD,PCOCD二C「.MN丄平面PCD.面面垂直的判定與性質(zhì)［例3］(2012.江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AQ=A1C1，D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD丄DE,F為B1C1的中點(diǎn).求證：(1)平面ADE丄平面BCC1B1；(2)直線Af〃平面ADE.［自主解答］(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC］丄平面ABC，又ADu平面ABC,所以CC1丄ad.又因?yàn)锳D丄DE,Cq,DEU平面BCCQ,CC1HDE=E,所以AD丄平面BCC1B1.又adu平面ADE,所以平面ADE丄平面BCC1B1.⑵因?yàn)锳d二人心，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以a1F丄Bq因?yàn)镃q丄平面A1B1C1，且A/u平面A1B1C1,所以Cq丄A1F.又因?yàn)镃C1,B1C1U平面BCC1B1,CC1HB1C1=C1,所以A/丄平面BCC1B1.由⑴知AD丄平面BCC1B1，所以A/IIAD.又ADU平面ADE,AfQ平面ADE,

所以AFII平面ADE.-由題悟法1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理(a丄〃，aUada丄“).2．在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直轉(zhuǎn)化方法：在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直3以題試法沖aAH3.(2012.瀘州一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZBAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).沖aAH若PA=PD,求證：平面PQB丄平面PAD；若點(diǎn)M在線段PC上，且PM=tPC(t>0),試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA〃平面MQB.解：(1)因?yàn)镻A=PD,Q為AD的中點(diǎn)，所以PQ丄AD.連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，上BAD二60。,所以AB二BD.所以BQ丄AD.因?yàn)锽QU平面PQB,PQU平面PQB,BQQPQ二Q所以AD丄平面PQB.因?yàn)锳DU平面PAD，所以平面PQB丄平面PAD.⑵當(dāng)t=1時(shí),PAI平面MQB.證明如下：連接AC，設(shè)ACHBQ二O,連接OM.在△AOQ與△COB中，因?yàn)锳DIBC，所以ZOQA二ZOBC,ZOAQ二ZOCB.所以wgcoB.所以oc=ch所以器=3，即0C=3.由PM*C,知CP二3,所以CP二OC，所以APIIOM.因?yàn)镺MU平面MQB,P4Q平面MQB，所以PAII平面MQB.

［小題能否全取］1.（教材習(xí)題改編）已知平面a,〃，直線l,若a丄〃，an〃=l，貝％）垂直于平面B的平面一定平行于平面a垂直于直線l的直線一定垂直于平面a垂直于平面B的平面一定平行于直線l垂直于直線l的平面一定與平面a、0都垂直解析：選DA中平面可與a平行或相交，不正確.B中直線可與a垂直或斜交，不正確.C中平面可與直線l平行或相交，不正確.2.（2012?廈門(mén)模擬）如圖，O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是（）A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1解析：選D易知A1C1丄平面BB1D1D.又B0U平面BB1D1D,.?.A1C1丄B0.3.已知a，是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（）若mila,an0=n，貝Vm〃n若m丄a,m丄n,貝9n〃a若m丄a,n丄0,a丄0，貝Vm丄n若a丄0,an0=n,m丄n,貝Vm丄0解析：選C對(duì)于選項(xiàng)A,若mia,an0=n，則m〃n,或m,n是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,n可能在平面a內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,m與0的位置關(guān)系還可以是mU0,m〃0,或m與0斜交，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確.Aft4.如圖，已知PA丄平面ABC,BC丄AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為Aft解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個(gè).答案：45.（教材習(xí)題改編）如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA丄平面ABC,PA=2AB.則下列命題正確的有.①PA丄AD；②平面ABC丄平面PBC；③直線BC〃平面PAE；④直線PD與平面ABC所成角為30°.

解析：由PA丄平面ABC,「.PA丄AD,故①正確；②中兩平面不垂直，③中AD與平面PAE相交，BC^AD，故不正確；④中PD與平面ABC所成角為45°.答案：①高考真題(19)(2012安徽)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是BD的中11111111點(diǎn)，E是棱AA上任意一點(diǎn)。i證明：BD丄EC]；如果AB=2,AE=邁,AE=邁,OE丄EC,求AA的長(zhǎng).1i19.()本題考察空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判定，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.(I)證明：連接AC，A1B].由底面是正方形知，BD丄AC.因?yàn)锳A]丄平面ABCD，BDU平面ABCD,所以AA]丄BD.又由AA]HAC=A,所以BD丄平面AA]C]C.再由EC]匚平面AA]C]C知，BD丄EC].第(19)題圖

在RtMCC］中,0C二邁,CC廣h，OC=h+燼.因?yàn)镺E丄EC1,所以O(shè)E2+EC2=OC2,即14+(h—邁)2+(2J2)2=h2+(J2)2,解得h=3J2,所以AA］的長(zhǎng)為3\；'2.18)(2013安徽)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，/BAD=60。.已知PB=PD=2,PA=46.證明：PC丄BD若E為PA的中點(diǎn)，求三菱錐P—BCE的體積.解析】(1)證明：連接BD,AC交于O點(diǎn)QPB=PD???PO丄BD又?ABCD是菱形?BD丄AC而ACnPO=O?BD丄面PACBD丄PC(2)由(1)BD丄面PAC

S=-S]L一一—2-x、：6x2J3xsin45°-^6xx'-3△PEC2△PAC22V=VP-BECB-PEC=—-S-BO=—-S-BO=—x3x=—2apec32219）（2011安徽）如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形。（I）證明直線BCHEF；（II）求棱錐F-OBED的體積（19）（本小題滿分13分）本題考查空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系,空間直線平行的證明,多面體體積的計(jì)算,考查空間想象能力,推理論證能力和運(yùn)算求解能力.（I）證明：設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的父點(diǎn).由于△OAB與厶O(píng)DE都是正三角形,所以O(shè)B〃丄DE,OG=OD=2,=2同理，設(shè)G'是線段DA與FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OG'二OD=2.又由于G和G'都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G'重合.在厶GED和厶GFD中，由OB〃丄DE和OC〃丄DF，可知B和C分別是GE和GF==2=2

的中點(diǎn)，所以BC是厶GEF的中位線，故BC〃EF.(II)解：由OB=1,OE=2,ZEOB二60。,知S，而△OED是邊長(zhǎng)為2的正EOB2三角形，故SOED=OED所以S=S+S=".OEFDEOBOED2過(guò)點(diǎn)F作FQ丄DG，交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED丄平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐L13F—OBED的高，且FQ=t3，所以V=三FQ-S=.F-OBED3OBED2(19)(2010安徽)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AB,EF丄FB,ZBFC=90°,BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，(I)求證：FH〃平面EDB;(II)求證：AC丄平面EDB(III)求四面體B—DEF的體積；(本小題滿分13分)本題考查空間線面平行，線面垂直，面面垂直，體積的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力與推理論證能力.(I)證：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn).連EG,GH,由于H為BC的中點(diǎn)，故GH〃AB且GH=1AB又EF〃AB且EF=1AB22???EF〃GH.且EF=GH???四邊形EFHG為平行四邊形.???EG〃FH，而EGu平面EDB,?FH〃平面EDB.證：由四邊形ABCD為正方形，有AB丄BC.又EF〃AB,???EF丄BC.而EF丄FB,??EF丄平面BFC,?EF丄FH.???AB丄FH.又BF=FCH為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)H丄BC.?FH丄平面ABCD.???FH丄AC.又FH〃EG,??AC丄EG.又AC丄BD,EGABD=G,???AC丄平面EDB.(Ill)解：???EF丄FB,ZBFC=90°,???BF丄平面CDEF.???BF為四面體B-DEF的高.又BC=AB=2,BF=FC=<2V=—丄.1.*2^2=—B-DEF32320)09安徽如圖，ABCD的邊長(zhǎng)為2的正方形，直線1與平面ABCD平行，E和F是1上的兩個(gè)不同點(diǎn),且EA=ED,FB=FC,E'和F'是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，EE和FF'都與平面ABCD垂直,第20題圖證明：直線E'F'垂直且平分線段AD：若ZEAD=ZEAB=600,EF=2,求多面體ABCDEF的體積。解：由EA=ED且EEi丄面ABCD???點(diǎn)E/在線段AD的垂直平分線上，同理點(diǎn)F/在線段BC的垂直平分線上，又ABCD是正方形???線段BC的垂直平分線就是線段AD的垂直平分線，即點(diǎn)E/、F/都在線段AD的垂直平分線，所以直線E'F垂直且平分線段ADo(2)連接EB、EC。由題設(shè)知，多面體ABCDEF可分割成正四棱錐E-ABCD和正四面體E-BCF兩部分。

設(shè)AD的中點(diǎn)為M,在RtAMEE/中，由于ME/=1,ME=、''3，:.EEi：2V二1S?EE/二-X22X邁=蘭2TOC\o"1-5"\h\zE-ABCD3正方形ABCD33V=V=V=V=1S?EE/=1X1X22X又E-BCFC-BEFC-BEAE-ABC3AABC32