例：兩端自由梁的固有頻率和模態函數背景：導彈飛行系統類別：半正定系統存在剛體模態導彈飛行1導彈飛行2§4.4梁的彎曲振動例：兩端自由梁的固有頻率和模態函數背景：導彈飛行系統類別：半1頻率方程：模態函數：其中：當

i=1,2,3時解得：當

時自由端：彎矩和截面剪力為零當

時對應剛體模態§4.4梁的彎曲振動頻率方程：模態函數：其中：當i=1,2,3時解得：當2第二階模態第三階模態第四階模態第五階模態自由梁的模態形狀第二階模態第三階模態第四階模態第五階模態自由梁的模態形狀3例：試用數值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態和第二階模態的撓度曲線?！?.4梁的彎曲振動例：試用數值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪4解：梁的自由振動方程：邊界條件固定端：自由端：模態函數：§4.4梁的彎曲振動解：梁的自由振動方程：邊界條件固定端：自由端：模態函數：§5§4.4梁的彎曲振動§4.4梁的彎曲振動6非零解條件：頻率方程：求得：對應的各階模態函數：代入：§4.4梁的彎曲振動非零解條件：頻率方程：求得：對應的各階模態函數：代入：§4.7第一階模態：第二階模態：0.560§4.4梁的彎曲振動第一階模態：第二階模態：0.560§4.4梁的彎曲振動8例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：§4.4梁的彎曲振動例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截9固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解10或非零解條件導出頻率方程：或非零解條件導出頻率方程：11（1）若k1、k2

同時為零，則退化為懸臂梁的情形討論：（1）若k1、k2同時為零，則退化為懸臂梁的情形討論：12（2）若k1＝0、k2

無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形討論：（2）若k1＝0、k2無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的13例：懸臂梁自由端附有質量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質量與梁質量之比為梁質量例：懸臂梁自由端附有質量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為14說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響，因此以上有關梁的分析只適用于細長梁（梁的長度大于梁高度5倍以上）若梁為非細長梁，必須考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉動慣量使得梁的慣性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響，因此以15模態函數的正交性梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動方程：主振動：代入，得：設：有：模態函數的正交性梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動方程：16（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x

積分：利用分部積分：在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉角或彎矩中的一個同時為零得：(3)代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x積17如果時，則有：主振型關于質量的正交性

（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型關于剛度的正交性

如果時，則有：主振型關于質量的正交性（1）（2）(1)式兩18如果i=j恒成立第j

階主質量第j

階主剛度第j

階固有頻率（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）如果i=j恒成立第j階主質量第j階主剛度第19第j

階主質量第j

階主剛度第j

階固有頻率時時主振型中的常數按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：第j階主質量第j階主剛度第j階固有頻率時時主20梁橫向振動的受迫振動響應梁的橫向強迫振動方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長對x

積分：由正交性條件，得：第j

個正則坐標方程第j

個正則坐標的廣義力由分部積分：梁橫向振動的受迫振動響應梁的橫向強迫振動方程：令：代入21梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：

代入：兩式乘并沿梁長積分，由正交性條件可得：

第j

個正則坐標方程：第j

個正則模態響應：得到后，即可得到梁的響應梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：代入：兩式乘并沿梁長22如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函數，可以表示為:

有：如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用23中點受常力P作用產生靜變形例：簡支梁求：當P突然移出時梁的響應解：由材力得初始條件:梁中點的靜撓度連續系統的振動/梁的彎曲振動中點受常力P作用產生靜變形例：簡支梁求：當P突然移出時梁的響24梁兩端簡支固有頻率：振型函數：代入歸一化條件：模態初始條件：梁兩端簡支固有頻率：振型函數：代入歸一化條件：模態初始條25模態初始條件：沒有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態響應：因此有：模態初始條件：沒有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態響應：26例：簡支梁求：梁的響應中點受力矩作用例：簡支梁求：梁的響應中點受力矩27解：由上例知：固有頻率：振型函數：正則廣義力：第i

個正則方程：因此有：解：由上例知：固有頻率：振型函數：正則廣義力：第i個正28例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩態強迫振動，以及梁自由端的響應。例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩態強迫振動，以及梁自由端的響29解：強迫振動方程：模態函數：設解為：代入方程：§4.4梁的彎曲振動解：強迫振動方程：模態函數：設解為：代入方程：§4.30利用正則模態的正交性條件：兩邊乘并沿梁長對x

積分：模態穩態解：梁的響應：§4.4梁的彎曲振動利用正則模態的正交性條件：兩邊乘并沿梁長對31梁的響應：梁自由端的響應令x=l：§4.4梁的彎曲振動梁的響應：梁自由端的響應令x=l：§4.4梁的彎曲振動32變截面梁的動力學方程：等截面梁的動力學方程：小結：動力學方程等截面梁自由振動的動力學方程：變截面梁的動力學方程：等截面梁的動力學方程：小結：動力學方程33小結：固有頻率和模態函數自由振動方程：通解：常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端（2）簡支端（3）自由端簡支梁的固有頻率和模態函數頻率方程：固有頻率：小結：固有頻率和模態函數自由振動方程：通解：常見的約束狀況34小結：模態函數的正交性等截面自由振動梁：主振動：連續系統的振動/梁的彎曲振動主振型關于質量的正交性

主振型關于剛度的正交性

第j

階固有頻率第j

階主質量第j

階主剛度小結：模態函數的正交性等截面自由振動梁：主振動：連續系統35§4.5薄板的橫向彎曲振動基本假設：1直法線假設；為主應力；厚度變化不計；板彎曲的中面不產生變形，即中面為中性面。一、建?！?.5薄板的橫向彎曲振動基本假設：36矩形薄板的振動微分方程慣性載荷：二、求解-分離變量法設：得：§4.5薄板的橫向彎曲振動矩形薄板的振動微分方程慣性載荷：二、求解-分離變量法