全稱量詞與存在量詞本節重點：理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．本節難點：全稱命題和特稱命題的真假的判定，以及寫出含有一個量詞的命題的否定．1．必須明確存在量詞和全稱量詞的含義及表示符號．2．明確全稱命題與特稱命題的含義．符號?x∈M，p(x)通俗說就是對集合M中所有元素x，都有p(x)成立，符號?x∈M，q(x)通俗說存在集合M中的元素x，使q(x)成立．3．要判定一個全稱命題是真命題必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題．只要從M中找一個x＝x0，使p(x)不成立即可，通常稱特例反駁．4．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0使p(x)成立即可；否則，這一特稱命題是假命題．1．要判定全稱命題是真命題，需對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題．2．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則，這一特稱命題就是假命題．3．命題的否定形式有：4．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，因此，我們可以通過“舉反例”來否定一個全稱命題．原語句是都是>至少有一個至多有一個對任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一個也沒有至少有兩個存在x∈A使p(x)假1．短語“

”“

”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“

”表示，含有全稱量詞的命題，叫做

．2．短語“

”“

”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“

”表示，含有存在量詞的命題，叫做

．3．全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：

．4．特稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：

．對所有的對任意一個?全稱命題存在一個至少有一個?特稱命題?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)[例1]判斷命題的真假．(1)每個函數都有反函數．(2)存在一個數x∈Z，使2x＋4＝6.[解析]

(1)y＝x2是函數，但它是偶函數，所以它沒有反函數，所以“每個函數都有反函數”是假命題．(2)由于存在x＝1，使2x＋4＝6成立，所以“存在x∈Z使2x＋4＝6”是真命題．[點評]要判斷一個全稱命題為假命題，只要舉出一個反例即可，要判斷一個特稱命題為真命題，只要舉出一個例子即可．設語句q(x)：|x－1|＝1－x.(1)寫出q(1)，q(2)，并判斷它是不是真命題．(2)寫出“?a∈R，q(a)”，并判斷它是不是真命題．(3)寫出“?a∈R，q(a)”，并判斷它是不是真命題．[分析]語句q(x)不是命題，給x賦值1,2，則成為命題q(1)，q(2)，判斷其真假，即看x＝1,2時，等式|x－1|＝1－x是否成立即可．[解析]

(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命題．q(2)：|2－1|＝1,1－2＝－1，|2－1|≠1－2，假命題．(2)?a∈R，|a－1|＝1－a.由(1)知q(2)為假命題，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”為假命題．(3)?a∈R，使|a－1|＝1－a.由(1)知q(1)為真命題，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”為真命題.[例2]寫出下列命題的否定形式．(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)p：有的三角形是等邊三角形；(3)p：所有能被3整除的整數是奇數；(4)p：每一個四邊形的四個頂點共圓．[解析]

(1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)?p：所有的三角形都不是等邊三角形．(3)?p：存在一個能被3整除的整數不是奇數．(4)?p：存在一個四邊形的四個頂點不共圓．[點評]解題時要注意存在性量詞、全稱量詞的不同表示形式．存在性命題p