兩因素完全隨機設計2023/7/28第1頁，課件共86頁，創作于2023年2月

設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平。所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要碰到，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗因素A、B在試驗中處于平等地位。一、兩因素交叉分組試驗資料的方差分析

第2頁，課件共86頁，創作于2023年2月(一)兩因素單個觀測值試驗資料的

方差分析

對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值，全試驗共有ab個觀測值，其數據模式如表5-21

所示。下一張

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第3頁，課件共86頁，創作于2023年2月下一張

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第4頁，課件共86頁，創作于2023年2月兩因素單個觀測值試驗的數學模型為：下一張

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第5頁，課件共86頁，創作于2023年2月式中

μ為總平均數；

αi，βj分別為Ai、Bj的效應:αi=μi-μ，βj=μj-μμi、μj分別為Ai、Bj觀測值總體平均數，且Σαi=0,Σβj=0;εij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)。下一張

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第6頁，課件共86頁，創作于2023年2月

兩因素交叉分組單個觀測值的試驗資料，A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B兩因素及隨機誤差的作用。因此全部ab個觀測值的總變異可以分解為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分。下一張

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第7頁，課件共86頁，創作于2023年2月平方和與自由度的分解式如下：下一張

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第8頁，課件共86頁，創作于2023年2月總平方和下一張

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各項平方和與自由度的計算公式為矯正數第9頁，課件共86頁，創作于2023年2月誤差平方和SSe=SST-SSA-SSBB因素平方和A因素平方和第10頁，課件共86頁，創作于2023年2月總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1誤差自由度dfe=dfT

-dfA

–dfB=(a-1)(b-1)下一張

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第11頁，課件共86頁，創作于2023年2月

【例5-5】

為了研究不同的田間管理方法對草莓產量的影響，選擇了6個不同的地塊，每個地塊分成3個小區，隨機安排3種田間管理方法，所得結果見表5-22，試作方差分析。

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第12頁，課件共86頁，創作于2023年2月

這是個兩因素單個觀測值試驗結果。A因素有6個水平，即a=6；B因素有3個水平，即b=3；共有a×b=6×3=18個觀測值。下一張

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1、計算各項平方和與自由度第13頁，課件共86頁，創作于2023年2月第14頁，課件共86頁，創作于2023年2月第15頁，課件共86頁，創作于2023年2月下一張

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第16頁，課件共86頁，創作于2023年2月2、列出方差分析表，進行F檢驗下一張

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F撿驗結果表明：不同地塊和不同田間管理方法對草莓的產量均有顯著或極顯著影響，有必要進一步對A、B兩因素不同水平的平均產量進行多重比較。第17頁，課件共86頁，創作于2023年2月3、多重比較

(1)不同地塊的草莓平均產量比較，采用q法(見表5-24)。在兩因素單個觀測值試驗情況下，A因素每一水平的重復數恰為B因素的水平數b。下一張主頁退出上一張

第18頁，課件共86頁，創作于2023年2月

根據dfe=10，秩次距k=2,3,4,5,6從附表5中查出α=0.05和α=0.01的臨界q值，與標準誤相乘，計算出最小顯著極差LSR，q值及LSR值列于表5-25。

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第19頁，課件共86頁，創作于2023年2月（2）不同田間管理方法的草莓平均產量比較

B因素各水平平均數比較表見表5-26。在兩因素單獨觀測值試驗情況下，B因素(本例為田間管理方法)每一水平的重復數恰為A因素的水平數a。第20頁，課件共86頁，創作于2023年2月B因素的標準誤根據dfe=10，秩次距k=2，3，查臨界q值并與相乘，求得LSR，見表5-27。第21頁，課件共86頁，創作于2023年2月

在進行兩因素或多因素的試驗時，除了研究每一因素對試驗指標的影響外，往往更希望研究因素之間的交互作用。例如，通過對播種期、播種密度、施氮量、施鉀量、施磷量對作物生長發育的影響有無交互作用的研究，對最終確定有利于作物生產的最佳栽培技術體系是有重要意義的。下一張

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第22頁，課件共86頁，創作于2023年2月前面介紹的兩因素單個觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況。若兩因素間有交互作用，則每個水平組合中只設一個試驗單位(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：下一張

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第23頁，課件共86頁，創作于2023年2月

(1)在這種情況下，SSe，dfe實際上是A、B兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。

(2)這時若仍按【例5-5】所采用的方法進行方差分析，由于誤差均方值大(包含交互作用在內)，有可能掩蓋試驗因素的顯著性，從而增大犯Ⅱ型錯誤的概率。

第24頁，課件共86頁，創作于2023年2月因此，進行兩因素或多因素試驗時，一般應設置重復，以便正確估計試驗誤差，深入研究因素間的交互作用。下一張

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(3)因為每個水平組合只有一個觀測值，所以無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。第25頁，課件共86頁，創作于2023年2月

(二)兩因素有重復觀測值試驗資料的方差分析對兩因素和多因素有重復觀測值試驗結果的分析，能研究因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用(互作)效應。下一張

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第26頁，課件共86頁，創作于2023年2月

1、簡單效應

在某因素同一水平上，另一因素不同水平對試驗指標的影響稱為簡單效應。如在表5-28中，

在A1(不追肥)上，B2-B1=480-470=10

在A2(追肥)上，B2-B1=512-472=40

在B1(不除草)上，A2-A1=472-470=2

在B2(除草)上，A2-A1=512-480=32就是簡單效應。

簡單效應實際上是特殊水平組合間的差數。下一張

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第27頁，課件共86頁，創作于2023年2月

2、主效應

由于因素水平的改變而引起的平均數的改變量稱為主效應。如在表5-28中，當A因素由A1水平變到A2水平時，A因素的主效應為A2水平的平均數減去A1水平的平均數，即

A因素的主效應=492-475=17同理B因素的主效應=496-471=25

主效應也就是簡單效應的平均，如

(32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。下一張

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第28頁，課件共86頁，創作于2023年2月

3、交互作用(互作)

在多因素試驗中，一個因素的作用要受到另一個因素的影響，表現為某一因素在另一因素的不同水平上所產生的效應不同，這種現象稱為該兩因素存在交互作用。如在表5-28中：A在B1水平上的效應=472-470=2A在B2水平上的效應=512-480=32

B在A1水平上的效應=480-470=10B在A2水平上的效應=512-472=40下一張

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第29頁，課件共86頁，創作于2023年2月

A的效應隨著B因素水平的不同而不同，反之亦然，此時稱A、B兩因素間存在交互作用，記為A×B。或者說，某一因素的簡單效應隨著另一因素水平的變化而變化時，則稱該兩因素間存在交互作用。

互作效應可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2來估計。

表5-28中的互作效應為：

(470+512-480-472)/2=15下一張

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第30頁，課件共86頁，創作于2023年2月

互作效應實際指的就是由于兩個或兩個以上試驗因素的相互作用而產生的效應。如在表5-28中：

A2B1-A1B1=472-470=2，這是追肥單獨作用的效應；

A1B2-A1B1=480-470=10，這是除草單獨作用的效應；兩者單獨作用的效應總和是2+10=12。下一張

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第31頁，課件共86頁，創作于2023年2月

但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12。

這就是說，同時追肥、除草產生的效應不是單獨某田間管理措施所產生效應的和，而另外多增加了30，這個30是兩種田間管理措施共同作用的結果。若將其平均分到每種田間管理頭上，則各為15，即估計的互作效應。下一張

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第32頁，課件共86頁，創作于2023年2月

設A與B兩因素分別具有a與b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復，則全試驗共有abn個觀測值。這類試驗結果方差分析的數據模式如表5-29(P129)所示。下一張

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兩因素有重復觀測值試驗資料的方差分析法第33頁，課件共86頁，創作于2023年2月下一張

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第34頁，課件共86頁，創作于2023年2月兩因素有重復觀測值試驗的數學模型為:其中，為總平均數；

αi為Ai的效應；

βj為Bj的效應；

(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應；

ijl

為隨機誤差，相互獨立，且都服從N(0，σ2)。下一張

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第35頁，課件共86頁，創作于2023年2月

分別為Ai、Bj、AiBj觀測值總體平均數；且

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(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應第36頁，課件共86頁，創作于2023年2月

因試驗資料的總變異可分解為水平組合間變異與水平組合內變異即誤差兩部分，若記A、B水平組合間的平方和與自由度為SSAB，dfAB，則兩因素有重復觀測值試驗資料方差分析平方和與自由度的分解式可表示為:第37頁，課件共86頁，創作于2023年2月

因A、B水平組合間變異可再分解為A因素，B因素，A因素與B因素交互作用變異三部分，于是SSAB、dfAB可再分解為：其中，SSA×B，dfA×B為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。第38頁，課件共86頁，創作于2023年2月下一張

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兩因素有重復觀測值試驗結果方差分析平方和與自由度的分解式為：

各項平方和、自由度的計算公式如下：第39頁，課件共86頁，創作于2023年2月總平方和與自由度矯正數水平組合平方和與自由度第40頁，課件共86頁，創作于2023年2月A因素平方和與自由度B因素平方和與自由度

第41頁，課件共86頁，創作于2023年2月交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度第42頁，課件共86頁，創作于2023年2月

【例5-6】為了研究不同的種植密度和商業化肥對大麥產量的影響，將種植密度(A)設置3個水平、施用的商業化肥(B)設置5個水平，交叉分組，重復4次，完全隨機設計。產量結果(kg/小區)列于表5-30(P131)，試分析種植密度和施用的商業化肥對大麥產量的影響。

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方差分析如下：第43頁，課件共86頁，創作于2023年2月

1、計算各項平方和與自由度下一張

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第44頁，課件共86頁，創作于2023年2月第45頁，課件共86頁，創作于2023年2月第46頁，課件共86頁，創作于2023年2月下一張

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第47頁，課件共86頁，創作于2023年2月

F撿驗結果表明：

種植密度、商業化肥及其互作對大麥的產量均有極顯著影響。

應進一步進行種植密度各水平平均數間、商業化肥各水平平均數間、種植密度與商業化肥水平組合平均數間的多重比較和進行簡單效應的檢驗。

2、列出方差分析表，進行F檢驗第48頁，課件共86頁，創作于2023年2月3、多重比較

(1)種植密度(A)各水平平均數間的比較不同種植密度平均數多重比較表見表5-32。因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平的標準誤(記為)的計算公式為：下一張

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第49頁，課件共86頁，創作于2023年2月

由dfe=45，秩次距k=2、3，從附表5中查出α=0.05與α=0.01的臨界q值，乘以即得各LSR值，所得結果列于表5-33。此例第50頁，課件共86頁，創作于2023年2月

(2)商業化肥(B)各水平平均數間的比較

不同商業化肥平均數多重比較表見表5-34。

因為A因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標準誤(記為)的計算公式為：下一張

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第51頁，課件共86頁，創作于2023年2月

由dfe=45，秩次距k=2,3,4,5，從附表5中查出α=0.05與α=0.01的臨界q值，乘以即得各LSR值，所得結果列于表5-35。此例第52頁，課件共86頁，創作于2023年2月

以上所進行的兩項多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。

結果表明，種植密度以A3的產量最高；商業化肥以B4的產量最高。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優水平相組合，得到最優水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數間的多重比較，以選出最優水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。

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第53頁，課件共86頁，創作于2023年2月(3)各水平組合平均數間的比較

一般推薦使用LSD法來進行各水平組合平均數的多重比較和簡單效應檢驗。也就是說，用相同的檢驗尺度進行各水平組合平均數間的比較和簡單效應檢驗。下一張

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第54頁，課件共86頁，創作于2023年2月

水平組合的重復數為n，水平組合平均數差數標準誤（記為

）的計算公式為：

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此例第55頁，課件共86頁，創作于2023年2月

由dfe=45，從附表3中查出=0.05、=0.01的臨界t值，乘以，得各LSD值，即

以上述LSD值去檢驗各水平組合平均數間的差數，結果列于表5-36(P135)。第56頁，課件共86頁，創作于2023年2月

各水平組合平均數的多重比較結果表明，最優水平組合(即產量最高的組合)是A3B3。

當A、B因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗(因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要)，而直接進行各水平組合平均數的多重比較，選出最優水平組合。下一張

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第57頁，課件共86頁，創作于2023年2月

(4)簡單效應的檢驗

簡單效應實際上是特定水平組合平均數間的差數，檢驗尺度仍為

LSD0.05=1.574

LSD0.01=2.103①A因素各水平上B因素各水平平均數間的比較第58頁，課件共86頁，創作于2023年2月A1水平平均數

B因素-25.0-26.0-27.0-30.2B330.55.5**4.5**3.5**0.3B430.25.2**4.2**3.2*B127.02.0*1.0B226.01.0B525.0第59頁，課件共86頁，創作于2023年2月A2水平平均數

B因素-26.5-28.0-29.2-31.0B432.86.3**4.8**3.6**1.8*B331.04.5**3.0**1.8*B129.22.7**1.2B528.01.5B226.5第60頁，課件共86頁，創作于2023年2月A3水平平均數

B因素-30.0-33.0-34.0-34.2B335.05.0**2.0*1.00.8B434.24.2**1.20.2B234.04.0**1.0B133.03.0**B530.0第61頁，課件共86頁，創作于2023年2月②B因素各水平上A因素各水平平均數間的比較

A因素-27.0-29.2A333.06.0**3.8**A229.22.2**A127.0平均數

A因素-26.0-26.5A334.08.0**7.5**A226.50.5A126.0B2水平B1水平平均數第62頁，課件共86頁，創作于2023年2月平均數A因素-30.5-31.0A335.04.5**4.0**A231.00.5A130.5平均數A因素-30.2-32.8A334.24.0**1.4A232.82.6**A130.2B3水平B4水平第63頁，課件共86頁，創作于2023年2月B5水平平均數A因素-25.0-28.0A330.05.0**2.0*A228.03.0**A125.0簡單效應檢驗結果表明：第64頁，課件共86頁，創作于2023年2月當種植密度為A1時，施用商業化肥B3、B4的產量極顯著或顯著高于施用B1、B2、B5的產量，施用商業化肥B1的產量顯著高于施用B5的產量；

當種植密度為A2時，施用商業化肥B4的產量極顯著或顯著高于施用B3、B1、B5、B2的產量，施用商業化肥B3的產量極顯著或顯著高于施用B5、B2、B1的產量，施用商業化肥B1的產量極顯著高于施用B2的產量；第65頁，課件共86頁，創作于2023年2月當種植密度為A3時，施用商業化肥B3、B4、B2、B1的產量極顯著高于施用B5的產量，施用商業化肥B3的產量顯著高于施用B1的產量；

無論施用哪種商業化肥，都以種植密度A3的產量最高。

綜觀全試驗，以水平組合A3B3的大麥產量最高。第66頁，課件共86頁，創作于2023年2月

三、系統分組資料的方差分析

在安排多因素試驗方案時，將A因素分為a個水平，在A因素每個水平下又將B因素分成b個水平，再在B因素每個水平下將C因素分c個水平……，這樣得到各因素水平組合的方式稱為系統分組。由系統分組方式安排的多因素試驗而得到的資料稱為系統分組資料。第67頁，課件共86頁，創作于2023年2月

例如土樣分析，隨機取若干地塊，每地塊取若干個樣點，每一樣點的土樣又作了數次分析的所獲得的資料；

又如調查某種果樹病害，隨機取若干株，每株取不同部位枝條，每枝條取若干葉片，查各葉片病斑數所獲得的資料等都屬于系統分組資料。

第68頁，課件共86頁，創作于2023年2月

在系統分組中，首先劃分水平的因素(如上述的地塊、果樹)叫一級因素，其次劃分水平的因素(如上述的樣點、枝條)叫二級因素，類此有三級因素……。

在系統分組中，二級因素的各水平套在一級因素的每個水平下，它們之間是從屬關系而不是平等關系，分析側重于一級因素。

第69頁，課件共86頁，創作于2023年2月

最簡單的系統分組資料是二級系統分組資料。

如果A因素有a個水平；A因素每個水平Ai下B因素分b個水平；B因素每個水平有n個觀測值，則共有abn個觀測值，其數據模式如表5-37所示。第70頁，課件共86頁，創作于2023年2月

數學模型：其中，μ為全部觀測值的總體平均數；為Ai的效應，；為Ai內Bij的效應，；、分別為Ai、Bij觀測值總體平均數；為隨機誤差、相互獨立、且都服從

N(0,σ2)。第71頁，課件共86頁，創作于2023年2月表5-37資料的總變異可分解為A因素各水平(Ai)間的變異

，A因素各水平(Ai)內B因素各水平(Bij)間的變異

和試驗誤差

三部分。平方和與自由度的分解式為

其中SSB(A)、dfB(A)表示A因素內B因素的平方和與自由度。

第72頁，課件共86頁，創作于2023年2月各項平方和與自由度計算公式如下：第73頁，課件共86頁，創作于2023年2月第74頁，課件共86頁，創作于2023年2月各項均方如下