2022-2023學年九年級數學中考復習《中考壓軸解答題》專題提升訓練(附答案)

1.如圖，48是。。的直徑，點F在。。上，/尸的平分線ZE交。。于點E,過點E作

EDLAF,交4尸的延長線于點。，延長。E、相交于點C.

(1)判斷CD與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為5,tanNENO=/,求ZE的長.

2.如圖，點C是以Z8為直徑的。。上一點，過點力作。。的切線交8c延長線于點，

取4)中點￡,連接EC并延長交延長線于點F.

(1)試判斷EF與。O的位置關系，并說明理由：

3.如圖，四邊形內接于。0,的延長線于點E,連結ZC,BD,平分N

EBD,

(1)求證：AC=AD.

(2)當5為AC的中點，BC=3BE,40=6時，求CZ)的長.

BC

4.如圖，已知是圓。的直徑，C是圓O上異于/,8的點，。為BC中點，KDELAC

于點E,連結8.

(1)求證：DE是圓。的切線；

(2)若圓。的半徑為5,且8=6,求/C.

5.如圖，是半圓。。的直徑，C為半圓上一點，CE1AB,垂足為E,尸為48延長線上

一點，且NFCB=NECB.

(1)求證：Cr是OO的切線；

(2)若￡8=3,BF=6,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，以團/8CD的邊8c為直徑的。0交對角線力C于點E,交C。于點發連接5F.過

點E作EGVCD于點G,EG是。O的切線.

(1)求證：回/8C。是菱形；

(2)已知EG=2,DG=\.求C廠的長.

7.已知，在△N8C中，AB=AC,以NC為直徑的。。交3C于點D

(1)如圖1,求證：BD=CD；

(2)如圖2,點E在AC上，連接CE并延長至點尸，連接/尸交于點G,若DG=AE,

求證：NB4C=2NF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8F,若CF=5,BF=8,求△4CF的面積.

8.已知的兩邊分別與相切于點4B,。。的半徑為八

(1)如圖1,點C在點N,8之間的優弧上，NMPN=80；求//C8的度數；

(2)如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，/ZP8的度數應為多少時，四邊形ZP8C

為菱形？請說明理由；

證明）

探究：如圖2,4D平分NB4C,ZABD+ZACD=180°,ZABD<9Q°.求證：DB=DC.

應用：如圖3,四邊形/8OC中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC,DELAB,若BE

=〃，則AB-AC的值為.(用。的代數式表示)

10.定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質初探】如圖1,已知，^ABCD,48=80°,點E是邊“。上一點，連結CE,四

邊形/8CE恰為等腰梯形.求N8CE的度數；

【性質再探】如圖2,已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF

=CE,連結BE、CF.求證：BE=CF；

【拓展應用】如圖3,a48CD的對角線/C、BD交于點O,AB=2,N4BC=45°,過

點。作ZC的垂線交5C的延長線于點G,連結0G.若/C〃G=90°,求8c的長.

11.如圖1,在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=9cm,BC=12cm.在RtZiQEF中，ZDFE

=90°,EF=6cm,DF=8cm,E、f兩點在8c邊上，DE,。尸兩邊分別與4?邊交于G,

〃兩點.現固定△NBC不動，△OE尸從點尸與點8重合的位置出發，沿8c以Icro/s的

速度向點C運動，點尸從點F出發，在折線ED-OE上以2。球s的速度向點E運動.△

DEF與點尸同時出發，當點E到達點C時，點C時，△OEE與點尸同時停止運動.設

運動的時間是f(單位：s),f>0.

(1)當t=2時，PH=cm,DG=cm；

(2)t=秒時點尸與點G重合？

(3)，為多少秒時△PDG為等腰三角形？請說明理由；

(4)直接寫出△尸/M的面積(可用含f的代數式表示).

備用圖

12.(I)問題探究：如圖1,在正方形488中，點、E,。分別在邊8C、Z8上，DQA.AE

于點。，點G,尸分別在邊8、上，GFLAE.

①判斷。。與/E的數量關系：DOAE-.

②推斷：竺的值為；(無需證明)

AE-----

(2)類比探究：如圖(2),在矩形N8CQ中，匹=左(％為常數).將矩形/8CD沿GF

AB

折疊，使點/落在8c邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接力￡

交G廠于點0.試探究G/與4E之間的數量關系，并說明理由；

(3)拓展應用：如圖3,四邊形N8CC中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,

AMLDN,點、M、N分別在邊8C、ABk,求?"的值.

AM

13.如圖，點尸是正方形Z8CD內的一點，連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉90°,

得到線段C0,連接8尸，DQ

(1)如圖。，求證：XBCP會MDCQ：

(2)如圖，延長8P交直線于點E.

①如圖b,求證：BELDQ-,

②如圖c,若△BCP為等邊三角形，判斷△OEP的形狀，并說明理由，

(3)填空：若正方形Z8CD的邊長為10,DE=2,PB=PC,則線段尸8的長為.

14.【問題情境】

(1)如圖1,在正方形/8CZ)中，E,F,G分別是8C,AB,CD上的點，FG_L4E■于點

Q.求證：AE=FG.

【嘗試應用】

(2)如圖2,正方形網格中，點、A,B,C,。為格點，4B交CD于點、O.求tanN/OC

的值；

【拓展提升】

(3)如圖3,點尸是線段上的動點，分別以NP,BP為邊在的同側作正方形/PC￡>

與正方形PBEF,連接。E分別交線段8C,PC于點M,N.

①求NDWC的度數;

②連接4c交。E于點”，直接寫出蕓的值.

如圖①，在正方形"8CD中，點N,M分別在邊8C、CD±.連接/M、AN、MN.Z

MAN=45°,將△⑷l仍繞點/順時針旋轉90°,點。與點5重合，得到A4BE.易證：

△ANM注4ANE,從而可得：DM+BN=MN.

(1)【實踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形Z8CO的邊長是.

(2)如圖②，在正方形/BCD中，點四、N分別在邊。C、8c上，連接力"、AN、MN,

ZMAN=45°,若tan/8/N=L,求證：例是CD的中點.

3

(3)【拓展】如圖③，在矩形中，AB=12,4。=16,點M、N分別在邊。C、BC

上，連接4W、AN,已知/M4N=45°,BN=4,則。M的長是.

圖①圖②圖③

16.在四邊形488中，對角線AC,BD相交于點0,將△CO3繞點。按逆時針方向旋轉

得到△GOQ，旋轉角為。<0°<0<90°),連接BDX,AC1與BD、交于點P.

(1)如圖1,若四邊形是正方形.

①求證：△NOG絲

②請直接寫出AC,與BDX的位置關系.

(2)如圖2,若四邊形Z8CD是菱形，AC=5,BD=1,設ZC|=%8。].判斷AQ與瓦外

的位置關系，說明理由，并求出發的值.

(3)如圖3,若四邊形是平行四邊形,/C=5,8O=10,連接DD],設/。尸"與?請

直接寫出發的值和IC/+(kDD1)2的值.

17.如圖，已知拋物線y=Mx2+4x+〃與x軸交于4、8兩點，與y軸交于點C.直線y=x-

3經過8,C兩點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)拋物線的頂點為“，在該拋物線的對稱軸/上是否存在點尸，使得以C,M,P為

頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請

說明理由.

18.如圖一，在平面直角坐標系中，拋物線y=-￡x2+bx+c的頂點為。(2，8),與x軸交

于兩點力，B(4在B的左側)，與v軸交于點C.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖二，連接力。，8C,點尸是線段8C上方拋物線上的一個動點，過點尸作尸。

//AD交CB于點Q,PQ的最大值及此時點P的坐標；

(3)將該拋物線關于直線x=l對稱得到新拋物線力，點E是原拋物線y和新拋物線為

的交點，F是原拋物線對稱軸上一點，G為新拋物線上一點，若以E、F、/、G為頂點

的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點尸的坐標.

19.拋物線y=ox2+里x-6與x軸交于N(t,0),B(8,0)兩點，與y軸交于點C,直線

4

y=fcv-6經過點點尸在拋物線上，設點尸的橫坐標為用.

(1)求拋物線的表達式和r,左的值；

(2)如圖1,連接NC,AP,PC,若△ZPC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐

標；

(3)如圖2,若點尸在直線8C上方的拋物線上，過點夕作尸。J_8C,垂足為0,求C0+

^PQ的最大值.

圖1圖2

20.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線了=辦2+旅+3與x軸交于4B兩點（點8在點

力的右邊），點/坐標為（1,0）,拋物線與y軸交于點C,SABC=3.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點尸（x,y）是拋物線上一動點，且x>3.作PN,8c于M設PN=d,求d與x

的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，過點/作PC的平行線交y軸于點尸，連接在直線NF上

取點￡,連接PE,使PE=2BF,且NPEF+NBFE=180°,請直接寫出P點坐標.

參考答案

1.解：（1）連接OE,

'：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

..IE平分NB/6，

:.NOAE=NDAE,

：.NOE4=NEAD,

J.OE//AD,

'：EDLAF,

：.OELDE,

OA是。。的半徑，

.二CD是0。的切線;

(2)連接8E,

是。。的直徑，

AZAEB=90°=ZD,

又NDAE=NBAE,

二LADEsAAEB,

?ADAEDE

"AEABBE'

'：tanZEAD=—,

2

,DE_BE_1

KF一萬，

則/E=28￡,又48=10,

在△/BE中，A殍+BE2=g

即(2BE)2+班2=102,

解得：BE=245,

則AE=4煙.

2.解：（1）E尸是。。的切線，理由如下:

連接OC,AC,

'：AB是。。的直徑，

/.ZACB=90°=NACD,

又是“。的中點，

：.CE=ED=EA,

：.NEAC=NACE,

又..Q=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

?.1。是。的切線，是直徑，

:.NE4B=90°=ZEAC+ZOAC,

：.ZACE+ZOCA^90°,即OC_L￡尸,

尸是。。的切線；

(2)解法一：設OC=x=O8,

在RtzXOFC中，由勾股定理得，

。。+尸。=。尸，

即N+122=(8+X)2,

解得x=5,即0C=5,

：.AB=20C=lO,

工互=嫗=應，

FC12AF10+8

.“.AE=--1-5-,

2

：.DE=2AE=\5,

在RtZJB。中，

解法二：連接4C,

?.18是。。的直徑，

AZACB=90°=ZACD,

是。。的切線，

AZDAB=90°,

???/D=NCAB,

VZBCF=ZCAB,NF=/F,

:?△CBFS^ACF,

?9=空=至=且

?&-BF_8一2’

3.(1)證明：???四邊形45。內接于OO,

AZADC+ZABC=\^O°,

VZABE+ZABC=\SO0,

；?ZABE=ZADC,

?:AB平分/DBE,

：./ABE=/DBA,

：.ZADC=/DBA,

ZACD=ZDBA,

：.ZADC=ZACD9

：.AC=AD；

(2)解：過4作4足LCD于R

B

??,6為AC的中點，

:?AB=BC,

,:BC=3BE,

:?AB=3BE,

四邊形ABCD是。。的內接四邊形,

JN4DF=N4BE,

VZAFD=ZAEB=90°,

/.AABEsAADF,

.DP=BE=1

,,AD-AB-T,

???AD=6,

：.DF=2,

9：AC=AD,

:?CD=2DF=4.

4.(1)證明：連接O。、OC,

???。為食中點，

???ZBOD=ZCOD=—ZBOC,

2

又YNB/C=I/BOC,

2

???NBAC=NBOD,

：.OD//AE.

：.DE,LAC,

：.ODLDE,

???。。是半徑，

???。七是OO的切線；

(2)解:連接6,

為函中點，

:?BD=CD=6,

??Z8是OO的直徑，

???NAD8=90°,

在中，

^^VAB2-BD2=8>

:4DCE=4B,

.\sinB=^-=—=—=sinZ￡>C￡=—=—,

AB105DC6

：.DE=2^4~,

5

.*.C￡=7CD2-DE2=普，

J

在中，由勾股定理得，

D球+AE2=4D2,

5.(1)證明：連接OC,

\UCE±.AB,

:?NCEB=90°,

；?NECB+NCBE=90°,

*：OC=OB,

：?NOCB=NCBE,

???NOC8+NEC8=90°,

*：NFCB=/ECB

；?NFCB+NOCB=90°,

：.ZOCF=90°,

.??。廠是。。的切線；

(2)解：?：/OCF=/OEC=90*,/FOC=/COE,

:?△OCESXOFC,

■OE_0C即OB-3_OB

*，OC-oF，__OB+6'

解得：08=6,

cosZCOF=^-=—=工，

OF122

AZCOF=60°,

:*CF=OF'sinZCOF=6M,

2

...陰影部分的面積=，~XS/§X6-6°；W6=18五-6n.

6.(1)證明：如圖，連接OE,

：EG是。。的切線，

：.OELEG,

VEG1CD,

???四邊形458是平行四邊形，

：,OE〃CD〃AB,

：.ZCEO=ZCAB,

?：OC=OE,

：?4CEO=4ECO,

：.NACB=/CAB,

：.AB=BCf

???ZZ8CD是菱形；

(2)如圖，連接BD

由(1)得，OEHCD,OC=OB,

:?AE=CE,

：.CE：AC=l：2,

???點七是zc的中點,

?.?四邊形是菱形，

二8。經過點E,

是。。的直徑，

:.BFLCD,

'：EGVCD,

J.EG//BF,

:.△DGEs^DFB,

：.DG：DF=GE：BF=DE：80=1：2,

：.DF=2,BF=4,

在RtZi8尸C中，設CF=x,則8C=x+2,

由勾股定理得，x2+42=(x+2)2,

解得：x=3,

圖［

連接AD,

?.7C是。。的直徑,

,4Z)C=90°,

:.ADLBC,

"：AB=AC,

:.BD=CD；

(2)證明：如圖2,

連接4。，CG,

??ZC是OO的直徑，

：.ZCGF=ZAGC=90°,ZADC=90°,

???NADC=NCGF,

?.?而=標，

???/DCG=N4CE,

：.ZDCG-NACG=AACE-ZACG,

：./ACD=/FCG,

：.NF=NCAD,

\UAB=AC,ADLBC,

:?NBAC=2/DAC,

：.ZBAC=2ZF；

(3)解：如圖3,

取CF的中點H,連接。H,GH,DG,

由(1)知：BD=CD,

.-,￡)/7=lB{r=lX8=4,

VZCGF=90°,CH=FH,

15

AGH=FH=-^-QY-^NGFC+NGCF=90。,

???ZFGH=ZGFC,

:?/FGH+/GCF=90°,

?.?俞=茄，

???NAGD=NACD,

由（2）知：/DAC=/GFC,

：./AGD=/GFC,

:?/FGH+/AGD=90°,

:?/DGH=90°,

?**DG=\/DH2-GH2=^42-（y）2

vCG=CG,

/.NCDG=NCAF,

由（2）知：NDCG=NACE,

:.XCDGsMCAF,

?.D?GC—G,

AFCF

，CGJF=CF?DG=5X^^=身亙，

22

』AT5標

??旬G■AF=-j—,

24

,<_5V39

,?，4CF—?

8.解：（1）如圖1,連接040B,

：.ZPAO^ZPBO=90°,

?；/APB+/PAO+NPB8/AOB=36Q°,

AZAPB+ZAOB=ISOe,

VZAPB=SO°,

AZAOB=\00°,

AZACB=50°；

(2)如圖2,當N4P3=60°時，四邊形4Pge是菱形,

連接04,OB,

由(1)可知，ZAOB+ZAPB=1SO°,

VZAPB=60°,

AZAOB=\20°,

/.ZACB=60°=/APB,

???點。運動到PC距離最大，

.??PC經過圓心，

*：PA,08為。。的切線，

：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又?：PC=PC,

:AAPCQABPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

:?AP=AC=PB=BC,

???四邊形4P8c是菱形；

(3)???。0的半徑為小

C.OA=r,OP=2rf

：.AP=42r,PD=r,

VZ/K9P=90°-ZJPO=60°,

...舒的長度=與臺工=專片

.??陰影部分的周長=6什什?，?=(遮+1。)八

oO

9.感知證明：如圖1,VZfi+ZC=180°,NB=90°,

：.ZC=90°,

???ZB=ZC,

VZBAD=ZCADfAD=AD,

：./\BAD^/\CAD(44S),

：.DB=DC.

探究證明：如圖2,延長4C到點尸，使力尸=4B,連接。E

?：NE4D=NBAD,AD=AD,

：./XFAD^/XBAD(S4S),

:?/F=/ABD,DF=DB,

VZABD^ZACD=\^0°,

ZF+ZACD=180°,

VZDCF+ZACD=180°,

???/F=/DCF,

:,DF=DC,

：.DB=DC.

應用解：如圖3,作。G_L4。交ZC的延長線于點G,連接4),

DELAB,ZB=45°,

：?NBED=NG=NAED=90°,ZEDB=/B=45°,

/.DE=BE=a,

VZACD=135°,

：.ZGCD=45°,

*：NB=/GCD,DB=DC,

:ABED%ACGD(AAS),

:?DE=DG,CG=BE=a,

t：AD=AD,

???Rt△力EQgRt△力G。(HL),

：.AE=AG=AC+a9

:?AC=AE-a,

:?AB-AC=AB-(AE-a)=AB-AE+a=BE+a=2a,

故答案為：2a.

10.【性質初探】解：過點4作NGJ_8C交于G,過點、E作EHLBC交于H,

???團4BCD,

:?AE〃BC,

:?AG=EH,

???四邊形ABCE恰為等腰梯形，

?：4B=EC,

ARtAJ5G^RtAECG(HL),

：.ZB=ZECHf

VZB=80°,

AZBCE=SO°；

【性質再探】證明：???四邊形45。是矩形，

:.AE//BC,

???四邊形8CE廠是等腰梯形，

：.BF=CE,

由(1)可知，NFBC=NECB,

:?△BFgXCEB(SAS),

：.BE=CF；

【拓展應用】解：連接/C,過G點作交延長線于點例,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???。是NC的中點，

VGOLAC,

：.AC=CG,

■:ABH3,ZABC=45°,

/.ZDCG=45°,

：.ZCDG=90°,

:?CD=DG,

:?BA=DG=2,

VZCZ)G=90°,

???CG=2技

：.AG=2\[2,

VZADC=ZDCG=450,

：.ZCDM=\35°,

：.ZGDM=45°,

/.GM=DM=yJ~^,

在RtZk/GW中，(2V2)2=(^Z)+V2)2+(V2)2,

:?AD=\T^-V2，

ABC=V6-V2.

-------J;

G圖1H

II.解：(1)當t=2時，BF=2cm,PF=4cm,BE=Scm.

VZC=90°,NDFE=90°,

：.ZC+ZDFE=}SOa.

J.AC//DF.

.'△BHFS^BAC.

：.BF：BC=HF：AC,

即2：12=HF：9.

2

：.PH=4--=—

22

_AC_9_3

Vtan5tanZ>=—,

BC1244

：.ZB=ZD,

:.NBGE=90°,

二ABEGs工BAC,

?EG_BFgpEG_8

>，AC-ABT^一記，

解得，EG———-(c)Ti),

5

.,.DG=IO-EG=^-(cm),

5

故答案為：-T^-；

25

(2)設當△￡)￡尸和點尸運動的時間是f時，點尸與點G重合,

此時點尸一定在。E邊上，DP=DG.

由(1)知，NB=ND.

又<ND+NDEB=90°,

；?NB+/DEB=90°,

:,NDGH=/BFH=90°.

:.FH=BF*tanB=&t,DH=DF-FH=8-至t,DG=DH?cosD=(8-—?)?—=-—t+—,

444555

'：DP+DF=2t,

：.DP=2t-8.

由。尸=OG得，2f-8=-3什罵，解得片四,

5513

：4＜與＜6,則此時點尸在。E邊上.

.丁的值為普時，點尸與點G重合.

故答案為：-^-77

JLO

(3)只有點P在。F邊上運動時，

△PDE才能成為等腰三角形，且PD=PE.(如圖1)

,:BF=t,PF=2t,DF=8,

：.PD=DF-PF=S-2t.

在RtZ\P￡產中，PE2=PF2+E用=4/2+36=尸。2.即4f2+36=(8-2t)2.

解得＜=~*.

為(時△「〃石為等腰三角形；

(4)當0V/W4時，點尸在。尸邊上運動，如圖1,

2

S.PDB=-^PD-BF=-^(8-2t)-t=-t+4t；

當4＜fW6時，點尸在DE邊上運動，如圖2,

D

PS

過點P作PSLBC于S,貝I」tanNP8E=mL

可得尸0=10-(2/-8)=18-2/.

此時PS=PE,cos/￡PS=PE?cosO=^?18-2r)--且什絲，

555

SAPDB=S&DEB-S^BPE

=—BE-DF--BE'PS

22

=--X(6+f)X8——X(6+z)(■1—z+——)

2255

=4禺一組

555

綜上所述，△尸。8的面積為-f2+4f(0VK4)或生理+&/一①(4VK6).

555

12.解：(1)①證明：:四邊形力8。是正方形，

:?AB=DA,ZABE=90°=ZDAQ.

：.ZQA(HZOAD=90o.

〈AEtDH,

：.ZADO+ZOAD=90°.

：.ZQAO=ZADO.

???△ABE迫ADAQCASA),

：.AE=DQ.

故答案為：—.

②結論：—=1.

AE

理由：:DQL4E,FGL4E,

：.DQ//FG,

*：FQ//DG,

???四邊形DQFG是平行四邊形,

：.FG=DQ,

?；AE=DQ,

：.FG=AE,

.GF=]

AE

故答案為：1.

（2）結論：人.

AE

圖2

,：AELGF,

：.N4OF=ZGMF=ZABE=90°,

：.ZBAE+ZAFO=90°,ZAFO+ZFGM=9QQ,

，NBAE=/FGM,

：./\ABEs/\GMF,

.GFGN

.?----二,

AEAB

■:NAMG=ND=/DAM=90°,

???四邊形NMG。是矩形，

：.GM=AD,

.GFADBC

??-----=------=--------K.

AEABAB

(3)如圖3,過點。作交BC的延長線于點R過點/作連接/C,

圖3

VZABC=90",AELEF,EFLBC,

四邊形"ME是矩形，

/.ZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=\O,

'：AD=AB,BC=CD,AC=AC,

:.△ACDQ/XACB(SSS),

:.NADC=/ABC=9Q°,

:.NADE+NCDF=90°,且N/DE+NE/OugO。，

AZEAD=ZCDF,且NE=/F=90°,

二AADESADCF,

.CDCF-DF，1

,?麗■冠證至，

:.AE=2DF,DE=2CF,

'：DO=CC+DC,

二25=。尸+(10-2CF)2,

：.CF=5(不合題意，舍去)，CF=3,

:.BF=BC+CF=8,

由(2)的結論可知：旦旦誓_上用.

AMAB105

13.解：(1)證明：如圖a,■：ZBCD=90°,NPCQ=90°,

/.NBCP=NDCQ,

在△BCP和△DCQ中，

'BC=CD

<ZBCP=ZDCQ,

,PC=QC

:ZCPmADCQ(SAS)；

(2)①如圖b,,:△BCP9XDCQ、

：.NCBF=/EDF,

又,：NBFC=NDFE,

:.NDEF=NBCF=90°,

.\BE±DQ；

②如圖c,?.?△8CP為等邊三角形，

AZ5CP=60°,

AZPCD=30°,

又<CP=CD,

：.ZCPD=ZCDP=15°,

又,：NBPC=60°,ZCDQ=60°,

/.ZEPD=45°,NEDP=45°,

.??△OEP為等腰直角三角形；

(3)如圖b,由/DEF=/BCF,可得ADEFsABCF,

.DE_DFgn_L=DF_

?'BCBF''10BF'

設。F=x,則8F=5x,CF=10-x,

?.?RtZXBCE中，8"=5C2+C產，

(5x)2=102+(io-%)2,

解得町=卷，出=-斗(舍去)，

：.BF=5x=^,

2

?：PB=PC,

：.NPBC=/PCB,

又丁/PBC+/PFC=NPCB+NPCF=90°,

???/PFC=/PCF,

:?PF=PC,

1pR

，BP=PF=—BF=-；

24

如圖d,延長8E、CD,交于點R

由/C8尸=/C7)Q=/EZ)RNDEF=/BCF,可得ADEFs^BCF,

設。尸=x,則8尸=5x,CF=10+x,

,.?RtZXBCF中，8尸=3C2+CF2,

...(5x)2=102+(10+x)2,

解得町=(舍去)，》2=孚

：.BF=5X=—

39

?；PB=PC,

：./PBC=4PCB,

又?//PBC+/PFC=NPC8+NPC尸=90°,

:.NPFC=/PCF,

：.PF=PC,

1or

JBP=PF=—BF=^-.

23

故答案為：■或.

43

圖a圖b

14.(I)證明：方法1,平移線段/G至8,交/￡于點K,如圖1-1所示:

由平移的性質得：FG//BH,

?.?四邊形N8CD是正方形，

：.AB//CD,AB=BC,N4BE=NC=90°,

四邊形BFGH是平行四邊形，

:.BH=FG,

^FGLAE,

J.BHLAE,

：.ZBKE=90°,

:.NKBE+NBEK=90°,

VZBEK+ZBAE=90°,

：.NBAE=NCBH,

在1和△8CH中，

，ZBAE=ZCBH

-AB=BC,

,ZABE=ZC

.?.△ME妾△8"(ASA),

：.AE=BH,

：.AE=FG；

方法2：平移線段8c至尸”交ZE于點K,如圖1-2所示:

則四邊形BC”尸是矩形，ZAKF=ZAEB,

：.FH=BC,NFHG=90°,

:四邊形”88是正方形，

：.AB=BC,ZABE=90°,

：.AB=FH,NABE=NFHG,

'：FG±AE,

:.NHFG+NAKF=90°,

；NAEB+NBAE=90°,

NBAE=NHFG,

在△NBE和△F”G中,

rZBAE=ZHFG

■AB=FH,

,ZABE=ZFHG

:."BE安AFHG(ASA),

：.AE=FG；

(2)解：將線段向右平移至FD處，使得點8與點。重合，連接CR如圖2所示：

ZAOC=ZFDC,

設正方形網格的邊長為單位1,

則/C=2,/尸=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,

由勾股定理可得：CF=JAC2+AF2=422+]2=JQ,。。=而再加^22+42=

2V5.^=VFG2+DG2=A/S2+42=5,

V(A/5)2+(2A/5)2=52,

:.C小CD2=Da,

；.NFCD=90°,

PRA1

Atan0C=tanZFDC=—=—；

CD2>/52

(3)解：①平移線段8c至。G處，連接G￡,如圖3-1所示：

則NOMC=NGDE,四邊形OG8C是平行四邊形，

:?DC=GB,

???四邊形40cp與四邊形PBEF都是正方形，

:?DC=AD=AP,BP=BE,ZDAG=ZGBE=90°

：.DC=AD=AP=GB,

:.AG=BP=BE,

在△4G。和△8EG中，

AG=BE

,ZDAG=ZGBE,

kAD=BG

A/XAGD^/XBEG("S),

:?DG=EG,NADG=/EGB,

:?NEGB+NAGD=NADG+NAGD=90°,

/.ZEGD=90°,

：.ZGDE=ZGED=45°,

：.NDMC=NGDE=45°；

②如圖3-2所示：

,：AC為正方形ADCP的對角線，

：.AD=CD,N￡>/C=/fi4C=/OMC=45°,

...△ZC。是等腰直角三角形，

:.AC=MAD,

,：ZHCM=ZBCA,

：.NAHD=NCHM=ZABC,

.../XADHSAACB,

ADH_AD_AD_V2

"BCACV2AD2

圖2

15.(1)解：...四邊形/BCD是正方形，

：.AB=CD=AD,/8/￡>=/C=/Z)=90°,

由旋轉的性質得：AABEgAaDM,

：.BE=DM,NABE=ND=90°,AE=AM,NBAE=NDAM,

：.ZBAE+ZBAM=ZDAM+ZBAM=ZBAD=90°,

即N￡4A/=90°,

VZMAN=45°,

:.NEAN=90°-45°=45°,

:.NMAN=NEAN,

在△4WN和△4EN中，

'AM=AE

,ZNAN=ZEAN,

,AN=AN

/./\AMN^/\AEN(SAS),

：.MN=EN,

,:EN=BE+BN=DM+BN,

：.MN=BN+DM,

在RtACMN中，由勾股定理得：MN^CN2+CM2=^62+82=1°

則BN+DM=\O,

設正方形4BCQ的邊長為x,WlJBN=BC-CN=x-6,DM=CD-CM=x-8,

?*.x-6+x-8=10,

解得:x=12,

即正方形488的邊長是12；

故答案為：12；

(2)證明：設BN=m,DM=n,

由(1)可知，MN=BN+DM=m+n,

VZ5=90°,t&nABAN=—,

3

:?AB=3BN=3m,

：.CN=BC-BN=2m,CM=CD-DM=3m-n,

在RtZ^CMV中，由勾股定理得：(2m)2+(3m-n)2=(〃?+〃)2,

整理得:3〃z=2小

:?CM=2n-〃=〃，

:?DM=CM,

即M是CO的中點；

(3)解：延長至P,使8P=8N=4,過P作8c的平行線交。C的延長線于°,延

長⑷V交尸。于E,連接EN,如圖③所示：

則四邊形”尸。。是正方形，

.\PQ=DQ=AP=AB+BP=]2+4=\6,

設DM=a,則MQ=\6-a,

'：PQ//BC,

：.AABNsAAPE,

.BN_AB_12_3

?宜―Q一正一不

416

：.PE=—BN=-^-,

33

：.EQ=PQ-尸￡=16,

33

由(1)得：EM=PE^DM=—+a,

3

在Rt^0EN中，由勾股定理得：(絲)2+(16-。)2=(H+a)2,

33

解得：a=8,

即OW的長是8；

故答案為：8.

圖③

16.(1)①證明：如圖1,

?.?四邊形”58是正方形,

：.OC=OA=OD^OB,AC±BD,

：./AOB=NCOD=90°,

???△COD繞點。按逆時針方向旋轉得到△G。。],

：.OCX=OC,ODX=OD,NCOC1=NDOD1,

Q

：.OC\=ODVZAOCi=ZBODi=9Q+ZAODX,

在△NOG和△8OQ中

rOA=OB

./AOC廣/BOD],

OC^OD.

：./\AOC^/\BOD}(SAS)；

②4cH啊

(2)AC^BDj.

理由如下：如圖2,

?.?四邊形Z8CD是菱形，

AOC=OA=—AC,OD=OB=—BD,ACA.BD,

22

AZAOB=ZCOD=90a,

VACOZ)繞點。按逆時針方向旋轉得到△GO分

，OG=OC，OD[=OD,NCOC[=NDOD1，

J.OC^OA,OD[=OB,N40Ci=NB0D「

.OC]OA

*'OD7=OB-，

...△aOgsABODi，

:.NO4Ci=/OBDi，

又：/ZO8=90°,

；.NO4B+NABP+/OBD[=90°,

二ZOAB+ZABP+N04G=90°,

二AAPB=90°

：.ACXYBD^

'：/\AOC^^BOD],

'BD,0ByBDBD7'

：.左=互；

7

(3)如圖3,與(2)一樣可證明△NOGs^Boq

JC-OA_AC_1

"BDiOBBD2，

?；△CO。繞點O按逆時針方向旋轉得到△G。。］，

：.0D\=0D,

而OD=OB,

：.OD［=OB=OD,

為直角三角形，

在中，

8。|2+。。|2=8￡)2=100,

二(Z4Cf)2+。。［2=100,

2

：.AC1+QkDD,2=25.

17.解：(l)y=%-3中，令R=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,則x=3,

：.B(3,0),

將C(0,-3),B(3,0)代入^=加工2+4"〃中，

/fn=-3,

\9m+12+n-0

解得卜=-l,

ln=-3

'.y=-N+4x-3；

(2)存在點P,使得以C,M,P為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下:

?.?=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

：.M(2,1),對稱軸為直線x=2,

設P(2,f),

/.MP=\t~11，MC=2.y/^>CP=T4+(t+3)2，

①當時，\t-1|=2A/5,

.,.t—2y/5+\或k-2^5+1,

：.P(2,275+1)或(2,-2^+1)；

②當MP=CP時，\t-“="4+(t+3)2，

解得，=-?1，

2

Q

：.P(2,

③當"C=CP時，24=44+(t+3)2,

解得￡=1(舍)或，=-7,

：.P（2,-7）；

綜上所述：尸點坐標為（2,2市+1）或（2,-275+1）或（2,--1）或（2,-7）.

18.解：（1）?拋物線的頂點為。（2,8）,

4X(卷)Xc-b2

2X(總)1=8,

4X(至)

解得/>=2,c=6,

-'-y=--x2+2r+6；

2

(2)令尸0,則-工2+2X+6=0,

2

解得x=-2或x=6,

：.A(-2,0),B(6,0),

令x=0,則y=6,

：.C(0,6),

設直線AD的解析式為歹=履+力

.f-2k4d=0

*(2k+d=2'

解得什:2,

[d=4

/.v=2r+4,

設直線BC的解析式為

工6『+*=0*

解得=T，

[d/=6

；?y=-x+6,

設P(t,-工R+2f+6),

2

■:QP//AD,

二直線QP的解析式為_y=2x-￡/2+6,

當2x-工"+6=-x+6時，x=—fl,

-26

：.Q(—Z2,

66

：.PQ=\l5[^t2-1\,

6

V0<r<6,

：.PQ=\[5(-1必+f)=_運(/-3)2+SV5_,

662

當f=3時，尸0有最大值W爭，

此時尸(3,—)；

2

(3)。點關于直線x=l的對稱點為(0,8),

.?.新拋物線為=-￡》2+8,

當--x2+2x+6=--%2+8時，x=l,

22

：.E(1,—),

2

Vy=--lx2+2x+6=-▲(x-2)2+8,

22

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

設廠(21m),G(〃，-—M2+8),

2

當跖為平行四邊形的對角線時，

解得k=T2,

ln=5

：.F(2,-12)；

當EA為平行四邊形的對角線時，

"1-2=2W

,1512

|T=mTn+8

解得卜=4,

U=-3

(2,4)；

當EG為平行四邊形的對角線時，

rl+n=2-2

7[V5T1n2+-8=m-

解得(n=T,

lm=15

：.F(2,15)；

綜上所述：尸點坐標為(2,-12)或(2,4)或(2,15).

19.解：(1)將5(8,0)代入卜="2+衛_》-6,

4

二64。+22-6=0,

._1

??CI—,

4

?'?y--