習(xí)題倮第十二章級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法王頁(yè)圓下頁(yè)返回一、主要內(nèi)容u為常數(shù)∑uu為函數(shù)un(x)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)取x=x函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)般∥正∥壓冪級(jí)數(shù)角級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)量級(jí)徑半泰勒展開(kāi)式傅氏晨開(kāi)式1R(x)→滿(mǎn)足狄氏條件R泰勒級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化數(shù)數(shù)或函數(shù)函數(shù)王頁(yè)圓下頁(yè)返回1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義∑4=n1+n2+n3+…+n+上級(jí)數(shù)的部分和s=1+n2+…+n=∑級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)<imsn存在(不存在)n→王頁(yè)圓下頁(yè)返回收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.上性質(zhì)2收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和級(jí)數(shù)收斂的必要條件:imu=0n王頁(yè)圓下頁(yè)返回常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.若S→S,則級(jí)數(shù)收鉞2.當(dāng)n→∞,n→0,則級(jí)數(shù)發(fā)散3按基本性質(zhì);4絕對(duì)收斂.充要條件4絕對(duì)收斂5比較法5交錯(cuò)級(jí)數(shù)6比值法(萊布尼茨定理)7根值法王頁(yè)圓下頁(yè)返回2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義∑un,an≥0n=1審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂分→部分和所成的數(shù)列s有界(1)比較審斂法若∑un收斂(發(fā)散)且vnsu1(n≤v)n=1則∑v收斂(發(fā)散)王頁(yè)圓下頁(yè)返回(2)比較審斂法的極限形式設(shè)u1與v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果lim"=l,n→00H=1王則1)￥當(dāng)0<1<+時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性:(2)當(dāng)=0時(shí),若∑收斂則∑un收斂;3)當(dāng)=+∞時(shí),若∑發(fā)散則∑un發(fā)散;王頁(yè)圓下頁(yè)返回(3)極限審斂法設(shè)∑un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)王如果immn=l>0(或mnn=∞,則級(jí)數(shù)∑un發(fā)散;平如果有p>1,使得limnpu存在,→則級(jí)數(shù)∑un收斂=1王頁(yè)圓下頁(yè)返回(4)比值審斂法(達(dá)朗貝爾D'Alembert判別法)設(shè)∑n是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果im=p(p數(shù)或+∞)則<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;p=1時(shí)失效⑤)根值審斂法(柯西判別法)設(shè)∑un是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果imun=p(P為數(shù)或+),→00則<時(shí)級(jí)數(shù)收斂;P>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散=1時(shí)失效王頁(yè)圓下頁(yè)返回3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)∑-1y-.或∑(1yn,(其中n,>0)n=1萊布尼茨定理如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件:王(1)n