2022年高考數學考前必做題

1.在直三棱柱ABC-AiBCi中，AAi=AB=8C=3,AC=2,。是AC的中點.

(I)求證：BiC〃平面A18。；

(II)求直線4B1與平面AiBO成角的正弦值.

【分析】(I)連接ABi交4B于點E,則E為ABi的中點，結合。是AC的中點，可得

DE//B\C,再由線面平行的判定定理可得BC〃平面A\BDx

(II)以。為原點建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，進一步求出及平面48。

的一個法向量的坐標，由兩向量所成角的余弦值可得直線A\B\與平面A/O所成角的正

弦值.

【解答】(I)證明：連接ABi交4B于點￡,連接DE,

因為四邊形A4BB為平行四邊形，

所以E為AB1的中點，因為。是AC的中點，

所以0E〃8iC,因為。Eu平面AiBC,BiCC平面A1B。，

所以BiC〃平面4B。.

(H)解：以。為原點，以。C為x軸，QB為y軸，以過。點平行于A4的直線為z

軸建立空間直角坐標系，

因為A4=AB=BC=3,AC=2,

所以。(0,0,0,),B(0,2vL0),Ai(-1,0,3),B\(0,2A/2,3),

所以而=(0,2V2,0),扇i=(-1,0,3),4區=(1,2A/2,0),

設平面AiB￡＞的法向量為蔡=(x,y,z),

所以匕皿=2歷=0,取心⑶0,]),

n?DAr=-x4-3z=0

/癡i3_^/To

則cos<n,4/1>=

商同x310

所以直線A向與平面4皿成角的正弦值為黑.

【點評】本題主要考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查了

空間向量的應用，屬于中檔題.

2.已知A8是圓。的直徑，且長為4,C是圓。上異于A,B的一點,點P到A,B,C的

距離均為2窩.設二面角P-AC-8與二面角P-8C-A的大小分別為a,p.

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（1）求二與一+—市的值；

tan^atanz/3

（2）若tanP=V3tana,求二面角A-PC-B的余弦值.

【分析】（1）連結PO,OC,利用三角形全等證明尸0,平面A8C,分別取AC,BC的中

點M,N,連結PM,OM,PN,ON,利用線面垂直的判定定理證明AC_L平面PMO,從

而得到/PMO=a,NPNO=B，在三角形中用邊表示出所求解的式子，即可求得答案;

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用待定系數法求

出兩個平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.

【解答】解：（1）連結PO,OC,因為鞏=PB,。為A8的中點，所以尸OLAB,

因為C是圓。上異于點4,B的一點，且AB是圓。的直徑，

所以ACLBC,故AO=C。，

又因為B4=PC,PO=PO,所以△雨。絲△PC。，

所以NPOC=/POA,因為AO,COu平面ABC,AOQCO=O,所以PO_L平面ABC,

分別取AC,BC的中點例，N,連結PM,OM,PN,ON,

則在圓。中，OM_LAC,由PO_L平面ABC,可得PO_LAC,

又POCOM=O,所以AC_L平面PMO,

所以AC_LPM,則/PMO=a,同理NPNO=。，

2

11OM7ON7OC7OC1

WT以-----+------=()+()=()=--------=一?

tan2atan2/3,OP，VOPJAP2-OA22'

(2)因為tan0=gtana,所以BC=gAC=26，

在圓。中，CA±CB,

以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2V3,0),

又因為PO_L平面ABC,

所以OP〃z軸，故P(LW，2V2),

則a=(2,0,0),CB=(0,2vL0),CP=(1,V3,2@,

設平面以C的法向量為/=(x,y,z),

^Sm-CA=0gf2x=0

%$=0'町n+何+2低=5

令y=2VI,則x=0,z=—遮，故薪=(0,2VL-V3),

同理可求得平面P8C的法向量為%=(2/，0,1),

在i、ii\m-n\V3V33

所以cosOn,九＞==-＞=萬＞=一節~，

|?n||n|5711x333

因為二面角A-PC-B是鈍二面角，

故二面角A-PC-B的余弦值為一

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理和性質定理的應

用，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題

轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

3.如圖，四棱柱ABCD-AIBICIDI的底面A8C。是邊長為2的正方形，側面AOD1A1為矩

形，且側面AODi4J_底面ABC。，AAi=4,E,M,N分別是BC,BBi,4。的中點.

(I)求證：MN〃平面CiOE；

(II)求二面角D-C\E-B\的余弦值.

【分析】(I)連結81C,ME,利用中位線定理可證明四邊形MNDE為平行四邊形，從

而得到MN//ED,由線面平行的判定定理證明即可；

(II)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用待定系數法

求出平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(I)證明：連結BiC,ME,因為M,E分別為BBi,BC的中點，

1

所以ME〃BC,且

又因為N為Ai￡＞的中點，所以=

由題設知AiBi//DCS.AiBi=DC,可得B\C//A\D且BiC=AiD,

故ME//ND且ME=ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形，

所以MN//ED,

又MMt平面C\DE,E￡>u平面C\DE,

所以MN〃平面CiDE；

(II)因為底面ABC。是正方形，所以C￡)_LA。,

又因為側面AOOAi_L底面ABC。,且側面AOZMm底面A8CD=AD,CDu平面ABCD,

所以C￡)_L平面AOC14,又￡>￡>iu平面ADDiAi,

所以C￡>J_Or>i,又因為側面4OD1A1為矩形，所以

以點D為坐標原點建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示，

其中。(0,0,0),Ci(0,2,4),E(1,2,0),C(0,2,0),

所以左1=(0,2,4),DE=(1,2,0),

因為C￡>_L平面AOO1A1,所以￡)C_L平面BCCIBI,

故發=(0,2,0)為平面C1EB1的一個法向量，

設n=(x,y,z)為平面￡>CiE面的法向量，

則E?=。,即配葭0°,

(九?DE=0

令y=-2,可得?1=(4,—2,1),

DCn