第第頁上海市華師三附2022-2023學年高一下學期期末考試數學試題（含解析）上海市華師三附2022-2023學年高一下學期期末考試

數學

一、填空題：（本大題共有12題，滿分36分）考生應在答題紙相應的編號空格內直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.

1.i是虛數單位，復數z，則z的共軛復數_____.

2.已知向量，,若，則實數__________．

3.從高三某班抽取10名同學，他們的數學成績如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（單位：分），則這10名同學數學成績的第70百分位數是______.

4.在中，角所對應邊分別為．若，則__________．

5.函數的最小正周期為______．

6.已知甲乙兩組數據如莖葉圖所示，其中，若這兩組數據的中位數相等，平均數也相等，則_________．

7.如圖所示，第個圖形是由正邊形“擴展”而來，其中第1個圖形中共有12個頂點，第2個圖形中共有20個頂點，則第個圖形中共有__________個頂點．

8.函數在上的嚴格增區間是______.

9.若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是___________．

10.已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.

11.若點P為所在平面內一點，且，則點P叫做的費馬點．當三角形的最大角小于時，可以證明費馬點就是“到三角形的三個頂點的距離之和最小的點”，即最小．已知點O是邊長為2的正的費馬點，D為BC的中點，E為BO的中點，則的值為______．

12.中，，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動點，交于點.若面積為面積的一半，則的最小值為______

二、選擇題：（本大題共有4題，滿分12分）每題有且僅有一個正確答案，考生應在答題紙相應的編號空格內直接填寫選項，選對得3分，否則一律得零分.

13.已知，為實數，（i為虛數單位）是關于方程的一個根，則（）

A.0B.1C.2D.4

14.如圖，是的重心，，，是邊上一點，且，則（）

A.B.

C.D.

15.已知函數的部分圖像如圖所示.若，則的最大值為（）

A.2B.C.4D.

16.疫情期間，為保障市民安全，要對所有街道進行消毒處理，某消毒裝備的設計如圖所示，為地路面，為消毒設備的高，為噴桿，，，C處是噴灑消毒水的噴頭，且噴射角，已知，．則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為（）

A.B.C.D.

三、解答題：（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.

17.已知復數，其中為虛數單位，．

（1）若是純虛數，求的值；

（2）若在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍．

18.某健康社團為調查居民運動情況，統計了某小區100名居民平均每天的運動時長（單位：小時），并根據統計數據分為，，，，，六個小組（所調查的居民平均每天運動時長均在內），得到頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求出圖中的值，并估計這名居民平均每天運動時長的平均值及中位數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）；

（2）為了分析該小區居民平均每天的運動量與職業、年齡等的關系，該社團按小組用分層抽樣的方法抽出名居民進一步調查，試問在時間段內應抽出多少人

19.已知，，．求：

（1）與的夾角．

（2）．

20.已知函數的最小正周期是，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；再將所得函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．

（1）求的解析式；

（2）在中，角A，，對邊分別為，，，若，，的面積為，求邊長的值．

21.設等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（，）.

（1）求數列的通項公式；

（2）試確定的值，使得數列為等差數列；

（3）當為等差數列時，對每個正整數，在與之間插入個2，得到一個新數列.設是數列前項和，試求.

上海市華師三附2022-2023學年高一下學期期末考試

數學答案解析

一、填空題：（本大題共有12題，滿分36分）考生應在答題紙相應的編號空格內直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.

1.i是虛數單位，復數z，則z的共軛復數_____.

【答案】i

【解析】

【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共軛復數的概念得答案.

【詳解】解：∵z，

∴.

故答案為：i.

2.已知向量，,若，則實數__________．

【答案】##

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐標運算公式計算即可．

【詳解】因為，

所以，解得，

故答案為：．

3.從高三某班抽取10名同學，他們的數學成績如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（單位：分），則這10名同學數學成績的第70百分位數是______.

【答案】124

【解析】

【分析】根據百分位數的計算即可求解.

【詳解】由于，所以第70百分位數為第七個數與第八個數的平均數，即，

故答案為：124

4.在中，角所對應的邊分別為．若，則__________．

【答案】

【解析】

【分析】根據正弦定理即可求解.

【詳解】因，所以．

故答案為：.

5.函數的最小正周期為______．

【答案】##

【解析】

【分析】直接根據周期公式計算得到答案.

【詳解】函數的最小正周期為.

故答案為：.

6.已知甲乙兩組數據如莖葉圖所示，其中，若這兩組數據的中位數相等，平均數也相等，則_________．

【答案】##0.375

【解析】

【分析】先得到甲乙的中位數，可得到，再利用平均數相同即可求解

【詳解】通過莖葉圖可發現甲的中位數為，乙的中位數為

因為兩組數據的中位數相同，則，

又因為平均數相同，則，

∴．

故答案為：

7.如圖所示，第個圖形是由正邊形“擴展”而來，其中第1個圖形中共有12個頂點，第2個圖形中共有20個頂點，則第個圖形中共有__________個頂點．

【答案】

【解析】

【分析】由題意結合圖形可得，第個圖形含有正邊形的個頂點以及每條邊多出來的個頂點，即可得答案.

【詳解】第個圖形含有正邊形的個頂點，此外每條邊多出來了個頂點，

又邊形有條邊，即多出來了個頂點，

則第個圖形中共有個頂點.

故答案為：

8.函數在上的嚴格增區間是______.

【答案】

【解析】

【分析】根據整體法求解全部增區間，結合范圍即可求解.

【詳解】令,解得，

取，則在的單調遞增區間為，

故答案為：

9.若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是___________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知得且與不共線，列出不等式組，求解即可．

【詳解】因為與夾角為銳角，

所以且與不共線，即，解得且，

所以的取值范圍是，

故答案為：．

10.已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.

【答案】6

【解析】

【分析】根據給定條件，結合函數圖象的對稱性，確定6個交點的關系即可求解作答.

【詳解】顯然函數的圖象關于點成中心對稱，

依題意，函數的圖象與函數的圖象的交點關于點成中心對稱，

于是，所以.

故答案為：6

11.若點P為所在平面內一點，且，則點P叫做的費馬點．當三角形的最大角小于時，可以證明費馬點就是“到三角形的三個頂點的距離之和最小的點”，即最小．已知點O是邊長為2的正的費馬點，D為BC的中點，E為BO的中點，則的值為______．

【答案】

【解析】

【分析】證明的外心為其費馬點，建立平面直角坐標系，求向量的坐標，根據數量積的坐標運算公式求.

【詳解】如圖，設正的中心為，則，

所以，所以點為的費馬點，

由已知點與點重合，

如圖，以D為原點，為軸的正方向，建立平面直角坐標系，

則，

所以，

所以，

故答案為：.

【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

12.中，，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動點，交于點.若面積為面積的一半，則的最小值為______

【答案】2

【解析】

【分析】利用平面向量的共線定理結合基底表示數量積，轉化為函數求最值即可.

【詳解】設，由向量共線充要條件不妨設，

則，

即，

又面積為面積的一半可得：，

所以.

，

易知

當時，即重合時取得最小值.

故答案為：2

【點睛】關鍵點點睛：由點共線及向量間的關系，設、、得到，面積關系得，最后應用數量積運算律轉化數量積為關鍵.

二、選擇題：（本大題共有4題，滿分12分）每題有且僅有一個正確答案，考生應在答題紙相應的編號空格內直接填寫選項，選對得3分，否則一律得零分.

13.已知，為實數，（i為虛數單位）是關于的方程的一個根，則（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由是關于的方程的一個根，則是關于的方程的一個根，結合根與系數的關系求解即可.

【詳解】由是關于的方程的一個根，

則是關于的方程的一個根，

則，，

即，，則，

故選：D.

14.如圖，是的重心，，，是邊上一點，且，則（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由是的重心，可知，又,,，化簡即可.

【詳解】由是的重心，可知，

又,,,

故

，

故選：A.

15.已知函數的部分圖像如圖所示.若，則的最大值為（）

A.2B.C.4D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據圖象先求出，然后根據函數過點和在單調遞減得到，代入函數解析式，利用兩角和與差的正弦公式即可求解.

【詳解】由圖可知，，，則，

，又，且在單調遞減，

，，，，

又，，，

.

故的最大值為.

故選：D.

16.疫情期間，為保障市民安全，要對所有街道進行消毒處理，某消毒裝備的設計如圖所示，為地路面，為消毒設備的高，為噴桿，，，C處是噴灑消毒水的噴頭，且噴射角，已知，．則消毒水噴灑在路面上的寬度的最小值為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由題知，底邊上高，又得到，根據余弦定理和均值不等式得到，計算得到答案.

【詳解】設中，定點到底邊的距離為h，則

又，即，

利用余弦定理：

，當且僅當時，等號成立，

故，而，

則，的最小值為.

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了余弦定理，三角形面積公式，及均值不等式求最值，解題的關鍵是通過等面積法找到三條邊的關系，再利用余弦定理及基本不等式即可得解，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力，屬于中檔題.

三、解答題：（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.

17.已知復數，其中為虛數單位，．

（1）若是純虛數，求的值；

（2）若在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由純虛數定義列方程求參數；

（2）由復數對應點所在象限列不等式組求參數范圍.

【小問1詳解】

由是純虛數，則，故.

【小問2詳解】

由在復平面內對應的點在第四象限，，

所以.

18.某健康社團為調查居民的運動情況，統計了某小區100名居民平均每天的運動時長（單位：小時），并根據統計數據分為，，，，，六個小組（所調查的居民平均每天運動時長均在內），得到頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求出圖中的值，并估計這名居民平均每天運動時長的平均值及中位數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）；

（2）為了分析該小區居民平均每天的運動量與職業、年齡等的關系，該社團按小組用分層抽樣的方法抽出名居民進一步調查，試問在時間段內應抽出多少人

【答案】（1），平均數為小時，中位數為小時

（2）人

【解析】

【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質可得，再利用平均數與中位數的計算公式直接計算；

（2）根據分層抽樣等比例的性質直接計算.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可知，解得：，

平均數：小時；

中位數：由，，得中位數在內，

設中位數為，則，解得：，即中位數為小時

【小問2詳解】

由已知可得在時間段內的頻率為，

所以在時間段內應抽出人.

19.已知，，．求：

（1）與的夾角．

（2）．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）把展開，代入已知數據，結合數量積的公式求出夾角的余弦公式，即可得夾角；

（2）由，利用向量數量積計算.

【小問1詳解】

，，，

，即，

．

又的取值范圍為，．

【小問2詳解】

可得．

20.已知函數的最小正周期是，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；再將所得函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．

（1）求的解析式；

（2）在中，角A，，的對邊分別為，，，若，，的面積為，求邊長的值．

【答案】（1）；