2023年人教版小學數學第三章代數初步知識

一、用字母表示數

1、用字母表示數的意義和作用

用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。

用字母表示數是代數的基本特點。既簡單明了，又能表達數量關系的一般規律。

2、用字母表示常見的數量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式

⑴常見的數量關系

①路程用s表示，速度v用表示，時間用t表示，三者之間的關系：

s=vtv=s/tt=s/v

②總價用a表示，單價用b表示，數量用c表示，三者之間的關系：

a=bcb=a/cc=a/b

⑵運算定律和性質

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律:(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

減法的性質:a-(b+c)=a-b-c

⑶用字母表示幾何形體的公式

①長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。

c=2(a+b)s=ab

②正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。

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c=4as=a2

③平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah

④三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah/2

⑤梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s

表示。

s=(a+b)h/2s=mh

⑥圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。

c=nd=2rirs=nr2

⑦扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數，面積用s表示。

s=nnr2/360

⑧長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表

/Jso

v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh

(9)正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.

s=6a2v=a3

⑩圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.

s側=(±

s表=$側+2s底v=sh

?圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.

v=sh/3

3、用字母表示數的寫法

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①數字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作或者省略不寫；數與數相

乘，乘號不能省略。

②當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

③數字和字母相乘時，將數字寫在字母前面。

④在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。

⑤用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加號或

者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

4、將數值代入式子求值

①把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，

再把數代入式子求值。字母表示的是數，后面不寫單位名稱。

②同一個式子，式子中所含字母取不同的數值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、簡易方程

1、等式：表示相等關系的式子叫等式。

2、方程：含有未知數的等式叫做方程。

判斷一個式子是不是方程應具備兩個條件：一是含有未知數；二是等式。所以，方程一

定是等式，但等式不一定是方程。

方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成，它表示未知數。

方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時,

方程才成立。

3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

5、解方程的方法

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(1)直接運用四則運算中各部分之間的關系去解。如x-8=12

加數+加數=和一個加數=和一另一個加數

被減數一減數=差減數=被減數一差被減數=差+減數

被乘數X乘數=積一個因數=積?另一個因數

被除數?除數=商除數=被除數?商被除數=除數X商

⑵先把含有未知數X的項看作一個數，然后再解。如3x+20=41,先把3x看作一個數，

然后再解。

⑶按四則運算順序先計算，使方程變形，然后再解。如2.5X4-x=4.2,要先求出2.5

X4的積，使方程變形為10-x=4.2,然后再解。

⑷利用運算定律或性質，使方程變形，然后再解。如：2.2x+7.8x=20,先利用運

算定律或性質使方程變形為(2.2+7.8)x=20,然后計算括號里面使方程變形為10x

=20,最后再解。

四、列方程解應用題

在列方程解文字題時，如果題中要求的未知數已經用字母表示，解答時就不需要寫設，

否則首先應將所求的未知數設為Xo

1、列方程解應用題的意義

*用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。

2、列方程解答應用題的步驟

①弄清題意，確定未知數并用x表示；

②找出題中的數量之間的相等關系；

③列方程，解方程；

④檢查或驗算，寫出答案。

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3、列方程解應用題的方法

①綜合法：先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再找

出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方

向是從已知到未知。

②分析法：先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數（量）

和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維

過程，其思考方向是從未知到已知。

4、列方程解應用題的范圍

小學范圍內常用方程解的應用題：

a一般應用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d分數、百分數應用題；

e比和比例應用題。

五、比和比例

1、比的意義和性質

⑴比的意義

兩個數相除又叫做兩個數的比。

“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。

比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商。

比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。

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比的后項不能是零。

根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數

值。

(2)比的性質

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(0除外)，比值不變，這叫做比的基本性質。

⑶求比值和化簡比

求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數

或分數。

根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、

后項是互質的數。

(4)比例尺

圖上距離：實際距離=比例尺

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距

離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。

⑸按比例分配

在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的

方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數的幾分之幾是多少。

2、比例的意義和性質

⑴比例的意義

表示兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數，叫做比例的項。

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兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。

⑵比例的性質

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。

⑶解比例

根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一

個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

3、正比例和反比例

⑴成正比例的量

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數

的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。

用字母表示y/x=k（一定）

⑵成反比例的量

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數

的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。

用字母表示xXy=k（一定）

4、比和比例應用題

（1）在工業生產和日常生活中，常常要把一個數量按照一定的比例來進行分配，這種

分配方法通常叫''按比例分配”。

⑵按比例分配的有關習題，在解答時，要善于找準分配的總量和分配的比，然后把

分配的比轉化成分數或份數來進行解答

⑶正、反比例應用題的解題策略

①審題，找出題中相關聯的兩個量

②分析，判斷題中相關聯的兩個量是成正比例關系還是成反比例關系。

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③設未知數，列比例式

④解比例式

⑤檢驗，寫答語

第四章幾何的初步知識

一、線和角

1、線

(1)直線

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數條，過兩點只能畫一條直線。

⑵射線

射線只有一個端點；長度無限。

⑶線段

線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。

(4)平行線

在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

⑸垂線

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂

線,相交的點叫做垂足。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

2、角

⑴從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫

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做角的邊。

(2)角的分類

①銳角：小于90°的角叫做銳角。

②直角：等于90°的角叫做直角。

③鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

④平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°o

⑤周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。

二、平面圖形

1、三角形

⑴特征：由三條線段圍成的圖形；內角和是180度；三角形具有穩定性；從三角形

的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，一個三角

形有三條高。

(2)計算公式：s=ah/2

⑶分類

①按角分

A、銳角三角形：三個角都是銳角。

B、直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對

稱軸。

C、鈍角三角形：有一個角是鈍角。

②按邊分

A、不等邊三角形：三條邊長度不相等。

B、等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

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C、等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是60度；有三條對稱軸。

2、四邊形

⑴特征：

①四邊形是由四條線段圍成的圖形。

②任意四邊形的內角和是360度。

③只有一組對邊平行的四邊形叫梯形。

④兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長方形、正方形是特殊

的平行四邊形；正方形是特殊的長方形。

⑵分類

①長方形

A、特征：對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

B、計算公式：c=2(a+b)s=ab

②正方形

A、特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

B、計算公式：c=4as=a2

③平行四邊形

A、特征：兩組對邊分別平行的四邊形；相對的邊平行且相等；對角相等；相鄰的兩

個角的度數之和為180度；平行四邊形容易變形。

B、計算公式：s=ah

④梯形

A、特征：只有一組對邊平行的四邊形；中位線等于上下底和的一半；等腰梯形有一

條對稱軸。

B、計算公式:s=(a+b)h/2=mh

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3、圓

(1)圓的認識

圓是平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母。表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。

在同一個圓里，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

同一個圓里有無數條直徑，所有的直徑都相等。同圓或等圓的直徑都相等

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。

圓的大小由半徑決定。圓有無數條對稱軸。

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

(2)圓的畫法

把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離(即半徑)；

把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。

(3)圓的周長

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母□表示。

(4)圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。

⑸計算公式：d=2rr=d/2c=LIdc=2LIrs=rir2

4、扇形

⑴扇形的認識

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。(半圓與直徑的組合也是

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扇形）。顯然，它是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成。

圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。

扇形有一條對稱軸，是軸對稱圖形。

⑵計算公式：s=nnr2/360

5、環形

⑴特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。

⑵計算公式:s=n（R2-r2）

6、軸對稱圖形

⑴特征

①如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱

圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

②線段、角、等腰三角形、長方形、正方形等都是軸對稱圖形，他們的對稱軸條數不

等：

正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸。

等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。

等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數條對稱軸。

菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。

三、立體圖形

D長方體

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1、特征

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2、計算公式：s=2（ab+ah+bh）V=shV=abh

（二）正方體

1、特征

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱，棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

2、計算公式：S表=6a?v=a3

（三）圓柱

1、圓柱的認識

圓柱的上下兩個面叫做底面。

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圓柱有一個曲面叫做側面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些，因此，要保留數的時候，省略

的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。

2、計算公式：s側=（311s表=$側+$底X2v=sh/3

（四）圓錐

1、圓錐的認識

圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。

從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地

量出平板和底面之間的距離。

把圓錐的側面展開得到一個扇形。

2、計算公式：v=sh/3

（五）球

1、認識

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。

球和圓類似，也有一個球心，用0表示。

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示，每條直徑都相等，直徑

的長度等于半徑的2倍，即d=2r。

2、計算公式：d=2r

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四、周長和面積

1、平面圖形一周的長度叫做周長。

2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積。

3、常見圖形的周長和面積計算公式

小學數學圖形計算公式

1、正方形（C：周長S：面積a：邊長）

周長=邊長X4C=4a

面積=邊長X邊長S=aXa

2、正方體（V:體積a:棱長）

表面積=棱長X棱長X65表=2*2乂6

體積=棱長X棱長X棱長V=aXaXa

3、長方形（C：周長S：面積a：邊長）

周長=（長+寬）X2C=2（a+b）

面積=長義寬S=ab

4、長方體（V:體積s:面積a:長b:寬h:高）

（1）表面積（長X寬+長X高+寬X高）X2S=2（ab+ah+bh）

（2）體積=長乂寬乂高V=abh

5、三角形（s：面積a：底h：高）

面積=底*圖4_2s=ah+2

三角形高=面積X2?底三角形底=面積X2?高

6、平行四邊形（s：面積a：底h：高）

面積=底義高s=ah

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7、梯形(s：面積a：上底b：下底h：高)

面積=(上底+下底)X高+2s=(a+b)Xh+2

8、圓形(S：面積C：周長“d=直徑r=半徑)

(1)周長=直徑乂“=2XnX半徑C=Jid=2Jir

(2)面積=半徑X半徑義JI

9、圓柱體(v:體積h:高s：底面積r:底面半徑c:底面周長)

(1)側面積=底面周長X高=2(2"r或“d)

(2)表面積=側面積+底面積X2

(3)體積=底面積X高

(4)體積=側面積+2X半徑

10、圓錐體(v:體積h:高s：底面積r:底面半徑)

體積=底面積X高93

第五章簡單的統計

一、統計表

(一)意義

*把統計數據填寫在一定格式的表格內，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫

做統計表。

(二)組成部分

*一般分為表格外和表格內兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期;

表格內部包括表頭、橫標目、縱標目和數據四個方面。

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（三）種類

*單式統計表：只含有一個項目的統計表。

*復式統計表：含有兩個或兩個以上統計項目的統計表。

*百分數統計表：不僅表明各統計項目的具體數量，而且表明比較量相當于標準量的百

分