向量數量積的概念課標闡釋

1.理解向量數量積的含義及其物理意義.2.知道向量的投影與向量數量積的幾何意義.3.掌握數量積的定義及運算性質,并會利用其性質解決有關長度、夾角、垂直等問題.思維脈絡

激趣誘思知識點撥在物理學中,我們知道,一個物體受到力的作用,如果在力的方向上發生一段位移,我們就說這個力對物體做了功.如果力的方向和物體運動的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘積.而當力的方向與物體運動的方向成θ角時,其與位移方向平行的分力F1滿足|F1|=|F|cosθ,物體在F1的方向上產生了位移s,因此F對物體做的功W=|F||s|cosθ.在這個公式中,當θ為銳角時,W>0,稱力對物體做了正功;當θ為鈍角時,W<0,稱力對物體做了負功.也就是說W是一個數量,我們稱W為F與s的數量積(也稱內積).物體運動時,本節我們從物體的受力做功入手,學習兩個向量的數量積.激趣誘思知識點撥知識點一:兩個向量的夾角

激趣誘思知識點撥名師點析

兩向量的方向與夾角關系除了兩非零向量夾角的一般情況,特殊地,當<a,b>=0時,a與b同向;當<a,b>=π時,a與b反向;當<a,b>=或a與b中至少有一個是零向量時,a⊥b.激趣誘思知識點撥微練習作出向量a與b的夾角:激趣誘思知識點撥知識點二:向量數量積的定義1.一般地,當a與b都是非零向量時,稱|a||b|cos<a,b>為向量a與b的數量積(也稱為內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.由定義可知,兩個非零向量a與b的數量積是一個實數,這與向量的加法、減法及數乘向量的結果仍是一個向量不同.2.數量積的性質如果a,b都是非零向量,向量的數量積有如下性質.激趣誘思知識點撥名師點析

(1)向量a,b的數量積只能表示為a·b,不能表示為a×b或ab.(2)由定義可知,兩個非零向量a與b的數量積是一個實數,a·b的符號由cos<a,b>決定,即由<a,b>的大小決定.也就是說,兩個非零向量的數量積可以是正數,可以是零,還可以是負數.這與向量的加法、減法以及數乘向量的結果仍是一個向量不同.(3)在運用數量積公式解題時,一定要注意兩向量夾角的范圍是[0,π].激趣誘思知識點撥微思考向量的數量積a·b什么時候為正,什么時候為負,什么時候為零?提示當0°≤<a,b><90°時,a·b為正;當90°<<a,b>≤180°時,a·b為負;當<a,b>=90°時,a·b為零.微練習若|a|=3,|b|=4,a∥b,則a·b=

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答案±12激趣誘思知識點撥知識點三:向量的投影與向量數量積的幾何意義

1.如圖所示,激趣誘思知識點撥2.給定平面上的一個非零向量b,設b所在的直線為l,則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影,如圖所示.激趣誘思知識點撥3.一般地,如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<a,b>為向量a在向量b上的投影的數量.(1)兩個非零向量a,b的數量積a·b,等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積,這就是兩個向量數量積的幾何意義.(2)當e為單位向量時,因為|e|=1,所以a·e=|a|cos<a,e>,即任意向量與單位向量的數量積,等于這個向量在單位向量e上的投影的數量.名師點析

(1)如果a,b都是非零向量,則b在a方向上的投影的數量可以記為|b|cos<a,b>,也可記為a在b方向上的投影的數量與b在a方向上的投影的數量是不一樣的.(2)投影是數量而不是長度,它的正負與兩向量的夾角有關.激趣誘思知識點撥微思考一個向量在一個非零向量上的投影,與這個非零向量共線嗎?若共線,它們的方向相同還是相反?提示一個向量在一個非零向量上的投影,一定與這個非零向量共線,但它們既有可能方向相同,也有可能方向相反.微練習已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,則向量a在向量b上的投影的數量等于(

)A.-4

答案A探究一探究二探究三素養形成當堂檢測與向量數量積有關命題的判斷例1已知a,b,c是三個非零向量,則下列命題中正確命題的個數為(

)①|a·b|=|a||b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a||b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.A.1 B.2 C.3 D.4探究一探究二探究三素養形成當堂檢測解析①中因為a·b=|a||b|cos

θ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b為非零向量可得|cos

θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命題①是真命題;②中若a,b反向,則a,b的夾角為π,所以a·b=|a||b|cos

π=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命題②是真命題;③中當a⊥b時,將向量a,b的起點確定在同一點,以向量a,b為鄰邊作平行四邊形,則該平行四邊形必為矩形,于是它的兩對角線長相等,即有|a+b|=|a-b|.反過來,若|a+b|=|a-b|,則以a,b為鄰邊的四邊形為矩形,所以有a⊥b,因此命題③是真命題;④中當|a|=|b|,如果a與c的夾角和b與c的夾角不等時,則|a·c|≠|b·c|,反過來由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命題④是假命題.答案C探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟

兩向量夾角的關注點兩向量方向相同時,夾角為0(或0°);而反向時,夾角為π(或180°);兩向量垂直時,夾角為

(或90°),因此當兩向量共線時,夾角為0或π,反過來,若兩向量的夾角為0或π,則兩向量共線.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測變式訓練1設a,b,c是三個向量,有下列命題:①若a·b=a·c,且a≠0,則b=c;②若a·b=0,則a=0或b=0;③a·0=0.其中正確的有(

)個個個個解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,則b=c或a⊥(b-c),即①不正確;②中,a·b=0?a⊥b或a=0或b=0,即②不正確;③中,a·0=0,即③不正確.答案A探究一探究二探究三素養形成當堂檢測求向量的投影的數量或數量積

探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測反思感悟

1.求向量數量積的步驟(1)求向量a與b的夾角θ,θ∈[0,π].(2)分別求|a|和|b|.(3)求數量積,即a·b=|a||b|cos

θ.2.求投影的數量的兩種方法(1)向量b在a方向上的投影的數量為|b|cos<a,b>,向量a在b方向上的投影的數量為|a|cos<a,b>.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測向量數量積的性質及應用

分析(1)根據向量加法的三角形法則變形,利用向量垂直的幾何意義判斷垂直關系.(2)利用向量數量積的公式求解.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測(1)解析如圖,連接AC,BD,則由題意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同樣,GF∥BD,EH∥BD,探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測探究一探究二探究三素養形成當堂檢測用數形結合法求向量的夾角求兩向量的夾角時,有時也會將兩向量移到同一起點,將其放在三角形或四邊形中,這時要準確確定兩向量的方向,正確地找出夾角,并結合圖形利用平面幾何性質求出夾角.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測典例

已知a,b是兩個非零向量,同時滿足|a|=|b|=|a-b|,求<a,a+b>.方法點睛

熟練應用數形結合思想,恰當運用向量的幾何意義是解決此類問題的有效方法.探究一探究二探究三素養形成當堂檢測變式訓練若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則<a+b,a-b>是(

)解析如圖所示,在以a和b為鄰邊的平行四邊形ABCD中,∵|a+b|=|a-b|,∴四邊形ABCD為矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,答案C探究一探究二探究三素養形成當堂檢測1.設e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面的結果正確的是(

)A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1解析設e1與e2的夾角為θ,由題意知θ=0或π,則e1·e2=|e1||e2