3.1.1橢圓及其標準方程[1]取一條細繩；[2]把它的兩端固定在板上的兩點F1、F2；[3]用鉛筆尖（P）把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形。觀察做圖過程：[1]繩長應當大于F1、F2之間的距離。[2]由于繩長固定，所以P到兩個定點的距離和也固定。動手畫：動手實驗，親身體驗

1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1.當繩長大于兩點間距離時軌跡

為橢圓2.當繩長等于兩點間距離時軌跡為線段3.當繩長小于兩點間距離時無軌跡結論：F1F2M平面內到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做焦距。焦距的一半稱為半焦距。如果設軌跡上任一點M到兩定點F1、F2的距離和為常數2a，兩定點之間的距離為2c，則橢圓定義還可以用集合語言表示為：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a>2c）}．1.橢圓的定義?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy(對稱、簡潔)xF1F2Ｐ(x,y)0y設P(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0).

P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)

（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得：由于得方程2.適當建系，推導方程兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項，再平方橢圓的標準方程橢圓的標準方程焦點在x軸上:焦點在y軸上:共同點：則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

；5346試一試1：下列方程是否是橢圓的方程，如果是，請說出焦點的位置，并指出a、b則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

．3如何根據標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？則a＝

，b＝

．OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)?橢圓的標準方程的特點：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1。（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可寫出橢圓的標準方程。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點就在哪一個軸上。并且哪個大哪個就是a2。

變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4)，結果如何？變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結果如何？ 已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；試一試2：寫出適合下列條件的橢圓的標準方程當焦點在X軸時，方程為：當焦點在Y軸時，方程為：例1.已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是(-2，0),(2，0),并且經過點,求它的標準方程.解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為(a＞b＞0)由橢圓定義知所以,又因為,所以因此,橢圓的標準方程為例題精析你還能用其他方法求它的標準方程嗎？試比較不同方法的特點.

4試一試3：（2），焦點在y軸上；（1），焦點在x軸上；答案:寫出適合下列條件的橢圓的標準方程:變式練習：根據下列條件,求橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0);(2)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0);(1)兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0);(2)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0);2627例2

(1)已知P是橢圓

＝1上的一點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積.解答在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，∴|PF2|＝2a－|PF1|