數學史概論第二講：古希臘數學

數學史概論數學史概論古希臘的變遷公元前6－前4世紀末公元前11世紀－前9世紀：希臘各部落進入愛琴地區公元前9－前6世紀：希臘各城邦先后形成亞歷山大后期：公元前30－公元640年西羅馬帝國：公元395－476年東羅馬帝國：公元395－1453年（610年改稱拜占廷帝國）公元前11世紀－前6世紀亞歷山大前期：公元前4世紀末－前30年(希臘化時期)羅馬帝國：公元前27－公元395年希臘時期亞歷山大時期波希戰爭（前499－前449）伯羅奔尼撒戰爭（前431－前404）馬其頓帝國：前6世紀－前323年（前337年希臘各城邦承認馬其頓的霸主地位，前334－前323亞歷山大東征）前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書公元330年君士坦丁大帝遷都拜占廷數學史概論（一）論證數學的發端（1）泰勒斯（約625-547B.C.）證明四條定理；泰勒斯定理:半圓上的圓周角是直角；預報日蝕(585B.C.)；測量金字塔的高等。希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區域、馬其頓與色雷斯地區、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數學家們創造的數學。數學史概論泰勒斯他是一位圣賢，又是一位天文學家，在日月星辰的王國里，他頂天立地、萬古流芳。數學史概論（2）畢達哥拉斯（約580-500B.C.）

薩摩斯島—>克洛托內畢達哥拉斯定理(勾股定理);正多面體;黃金分割;“萬物皆數”；不可公度量。abbaPlutarch(約46--120)的面積證明法bababccaaca畢達哥拉斯定理：數學史概論畢達哥拉斯，約前580｜前500數學史概論正多面體作圖五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。五種正多面體的作圖都與畢達哥拉斯學派有關，前三種歸功于畢氏學派，后兩種為畢氏學派晚期學生所作。正十二面體由正五邊形圍成。正五邊形的作圖與著名的“黃金分割”問題有關。黃金分割數學史概論畢達哥拉斯學派的形數●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

“萬物皆數”僅指整數，對數進行分類，分數被看成兩個整數之比。定義了完全數（即因數之和等于該數，如6,28等）、過剩數（即因數之和大于該數）、不足數（即因數之和小于該數）親和數（即

a

是b

的因數之和，

b

也是

a

的因數之和，最小的一對親和數為220和284）等數學史概論三角形數：

N=1+2+3+…+n=n(n+1)/2;正方形數：N=1+3+5+7+….+(2n-1);五邊形數：N=1+4+7+….+(3n-2)=n(3n-1)/2;六邊形數：N=1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n.這是一些等差數列。可以推廣到三維空間去構造多面體數。“形數”體現了數與形結合的思想。數形結合的另一個典型例子:(m2-1)/2,m,(m2+1)/2(

m

為奇整數)給出的畢達哥拉斯三元數組，它們分別表示一個直角三角形的兩條直角邊和斜邊，與勾股定理密切相關。這一公式未能給出全部畢達哥拉斯數組。數學史概論不可公度量(無理數的發現)第一次數學危機任何量都可以表示成兩個整數之比。在幾何上就是：對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段，以它為單位能將給定的線段劃分為整數段。希臘人稱這兩條線段為“可公度量”，意即為有公共的度量單位。是一個不可公度的數希帕蘇斯Hippasus(公元前470年左右）數學史概論11abc勾股定理導致了無理量的發現.假設直角三角形是等腰的,直角邊是1，那么弦是，它不可能用任何的“數”(有理數)表示出來，即直角邊與弦是不可通約的．數學史概論無理數的發現x、y均為偶數x、y互素數學史概論（3）雅典時期

伊利亞學派

代表人物：芝諾；主要貢獻：芝諾悖論

巧辯學派

代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、安提豐(Antiphon,c.BC.480--BC.411)

,布里松主要貢獻：三大幾何作圖問題

柏拉圖學派(雅典學院)代表人物：柏拉圖(Plato,BC.427-BC.347)、梅內赫莫斯(Menaechmus)、蒂諾斯特拉圖斯(Dinostratus)、歐多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347)

主要貢獻：倡導邏輯演繹結構

亞里斯多德學派(呂園學派)代表人物：亞里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)

歐多謨斯主要貢獻：倡導邏輯演繹結構。數學史概論數學的理論化傾向1、三大幾何作圖問題：化圓為方:即作一個與給定的圓面積相等的正方形

安納薩哥拉斯(約BC.500--BC.428)

希波克拉底：解決了化月牙形為方

安提芬：

首先提出用圓內接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方。他從圓內接正方形開始，將邊數逐次加倍，并一直進行下去，則隨著圓面積的逐漸“窮竭”，將得到一個邊長極其微小的內接正多邊形。1882林德曼π的超越性。化圓為方、倍立方、三等分任意角。問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規。數學史概論倍立方:即求一個立方體,使其體積等于已知立方體的兩倍

希波克拉底:對問題的簡化是問題的關鍵進展.

指出倍立方問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項問題,即：

梅內赫莫斯:圓錐曲線的發現(約360B.C.)；雙重比例中項關系等價于方程：數學史概論三等分角:即分任意角為三等分

西比阿斯：發明“割圓曲線”.如果這種曲線能夠作出，那么它不但能夠三等分角，而且可以任意等分角，并且也可以用來化圓為方。1837年法國數學家旺澤爾(P.L.Wantzel)在代數方程論基礎上證明了倍立方和三等分角不可能用尺規作圖。數學史概論2、無限性概念的早期探索芝諾（約公元前490－前430）悖論：

（1）兩分法

（2）阿基里斯

（3）飛箭不動

（4）運動場問題芝諾Zeno數學史概論

③飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。芝諾悖論:

飛矢不動時刻t數學史概論運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。注：前兩個悖論針對于事物無限可分的觀點，而后兩個則矛頭直指不可分無限小量的思想。數學史概論德莫克里特(Democritus，約公元前460—357)：原子論學派的創始人．數學家、哲學家。關于物理、氣象、動物和控學的著作豐富，流傳下來的很少．他到過東方旅行，在埃及住過．認為萬物的始源只有兩個：原子與虛空．“原子”(atom,拉丁文是不可分割的思)是不可分的物質粒子，永遠處于運動狀態之中．在數學方面，德設克利特應用了原子的觀點．他認為線段、面積和立體，是由有限個不可再分的原子構成的．計算體積就等于將這些原子集合起來．數學史概論3、邏輯演繹推理的倡導

柏拉圖學院:“不懂幾何者莫入”

分析法和歸謬法

亞里斯多德學派三段論推理反證法:矛盾律,排中律

數學史概論拉斐爾·圣齊奧(1483-1520)所繪油畫《雅典學派》數學史概論Aristotle亞里士多德，古希臘著名哲學家、自然科學家，西方文藝理論的真正奠基者。公元前384年生于愛琴海北岸的哈爾基迪凱半島上的達吉羅斯，其父是馬其頓國王阿明塔斯二世的御醫。母親法伊斯提來自優卑亞島的哈爾基斯。亞里士多德早年喪父，由監護人“撫養”。17歲赴雅典就讀于柏拉圖的“學園”，受教20年。為學員中出類拔萃者。柏拉圖去世后，亞里士多德曾受馬其頓王之聘，教育太子亞歷山大。回雅典后，亞里士多德在呂刻翁自立學園，專心教育和著述，經常在走廊邊走邊講授，后世稱他的弟子為“逍遙學派”。恩格斯稱他是古代“最博學的人”。數學史概論數學史概論數學史概論數學史概論（二）亞歷山大時期（1）歐幾里得(約300B.C.前后)（2）阿基米德(287-212B.C.)（3）阿波羅尼奧斯(約262-190B.C.)數學史概論歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯系，整理在一個嚴密的系統之中，才能建成宏偉的大廈。《幾何原本》體現了這種精神，它對整個數學的發展產生深遠的影響。阿基米德是物理學家兼數學家，他善于將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。數學史概論歐幾里得，約公元前300數學史概論數學史概論歐幾里得<原本>歷史上第一個公理體系13卷119條定義5條公理,5條公設465條定理幾何學無王者之道現存著作：《原本》、《數據》、《論剖分》、《現象》、《光學》和《鏡面反射》等。失傳著作：《圓錐曲線》、《衍論》、《曲面軌跡》、《辯偽術》等。“原本”的希臘文原意是指一個學科中最重要的定理數學史概論公設：

1.從任意一點到任意一點可作一直線；2.線段可任意延長；3.以任意中心和直徑可以作圓；4.凡直角都彼此相等；5.若一條直線與兩直線相交，所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。公理：1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，和相等；3.等量減等量，差相等；4.彼此重合的圖形是全等的；5.整體大于部分。數學史概論

卷I,II,III,IV及VI:平面幾何基本內容卷V:比例論無理量引起的麻煩之回避卷VII,VIII,IX:數論卷X:不可公度量分類

卷XI,XII,XIII:立體幾何窮竭法(卷XII)數學史概論比例的定義：設A,B,C,D是任意四個量,其中A和B同類(即均為線段、角或面積等),C和D同類.如果對于任何兩個正整數m和n,關系mA

nB是否成立,相應地取決于關系mC

nD是否成立,則稱A與B之比等于C與D之比,即四量A,B,C,D成比例.數學史概論比例論舉例

定理:如果兩個三角形的高相等,則它們的面積之比等于兩底長之比數學史概論比例定義：A，B；C，D對任何正整數m和n，關系mA

nB

?

mC

nDBmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)；DEn=n(DE)，△ADEn=n(△ADE)。由已證明的結果,可知

△ABmC

△AEnD

?BmC

EnD也就是說m(△ABC)n(△AED)

?m(BC)

n(ED)

據比例定義，有△ABC:△ADE＝BC:DE

數學史概論

窮竭法舉例卷XII命題2:圓與圓之比等于其直徑平方之比(A)圓的面積可以用內接正多邊形面積“窮竭”(正8邊形面積–正4邊形面積)>1/2(圓面積–正4邊形面積)(B)反證法矛盾矛盾必有

數學史概論勾股定理的證明數學史概論1482第一個拉丁文印刷本(威尼斯)1607中譯本<幾何原本>(徐光啟,利瑪竇)缺陷:

(1)某些定義借助于直觀或含混不清；

(2)公理系統不完備.數學史概論阿基米德，公元前287｜前212數學史概論數學史概論（1）阿基米德的著作《拋物線求積法》：研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來。

《球與圓柱》：熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的

。在這部著作中，他還提出了著名的“阿基米德公理”。

《圓的度量》:利用圓的外切與內接96邊形，求得圓周率π為：

＜π＜

，這是數學史上最早的、明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。數學史概論《浮體》：是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數學公式表示浮體平衡的規律。

《論錐型體與球型體》：講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。《平面的平衡》：是關于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。《論螺線》：是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。《砂粒計算》：是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內的砂粒數量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數法，確定了新單位，提出了表示任何大數量的模式，這與對數運算是密切相關的。數學史概論平衡法求球的體積球：圓柱：2R(球體積＋圓錐體積)＝4R圓柱體積圓錐：2R(球體積＋＝球體積＝(設球片半徑r，則有)數學史概論平衡法求拋物線弓形的面積GTHFKAODCMENPWB數學史概論阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）

數學史概論數學史概論圓錐概念:

從與圓不在同一平面上的一點作與圓相交的直線，如果該點固定，把所作直線沿圓周旋轉，……，那么生成的曲面是一圓錐面，固定點是頂點，頂點到圓心的直線是軸，圓稱作圓錐的底。數學史概論圓錐曲線ABC數學史概論（三）亞歷山大后期(1)幾何:海倫《量度》(2)三角學:托勒玫《大成》(3)算術與代數:丟番圖《算術》(4)帕普斯《數學匯編》:希臘數學的安魂曲

希帕蒂婭之