第三篇

運動學

運動學是研究物體運動的幾何性質的科學。也就是從幾何學方面來研究物體的機械運動。運動學的內容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度。

學習運動學的意義：首先是為學習動力學打下必要的基礎。其次運動學本身也有獨立的應用。由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結于參考體上的坐標系稱為參考坐標系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。時間概念要明確：瞬時和時間間隔。運動學所研究的力學模型為：點和剛體。第13章

剛體的基本運動13.1點的運動學

本節將介紹研究點的運動的三種方法，即：矢徑法、直角坐標法和自然法。點運動時，在空間所占的位置隨時間連續變化而形成的曲線，稱為點的運動軌跡。點的運動可按軌跡形狀分為直線運動和曲線運動。當軌跡為圓時稱為圓周運動。表示點的位置隨時間變化的規律的數學方程稱為點的運動方程。本節研究的內容為點的運動方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關系。1.運動方程選取參考系上某確定點O為坐標原點，自點O向動點M作矢量r，稱為點M相對原點O的位置矢量，簡稱矢徑。當動點M運動時，矢徑r隨時間而變化，并且是時間的單值連續函數，即13.1.1矢量法MrO2.速度動點的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導數。13.1.1矢量法

動點的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動點運動軌跡的切線，并與此點運動的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度點的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點的加速度等于它的速度對時間的一階導數，也等于它的矢徑對時間的二階導數。

13.1.1矢量法有時為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導數，加“..”表示該量對時間的二階導數。這組方程叫做用直角坐標表示的點的運動方程。如以矢徑r的起點為直角坐標系的原點，則矢徑r可表示為：13.1.2直角坐標法MrOkijyyxxzz

速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的一階導數。速度13.1.2直角坐標法若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為

加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的二階導數。加速度13.1.2直角坐標法若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為例1

曲柄連桿機構是由曲柄、連桿及滑塊組成的機構。當曲柄OA繞O軸轉動時，由于連桿AB帶動，滑塊沿直線作往復運動。設曲柄OA長為r，以角速度w繞O軸轉動，即j＝wt，連桿AB長為l。試求滑塊B的運動方程、速度和加速度。解：取滑塊B的直線軌跡為x軸，曲柄的轉動中心O為坐標原點。在經過t秒后，此時B點的坐標為：ABOClxwxja整理可得B的運動方程：由此可得滑塊B的速度和加速度：將右邊最后一項展開：這就是自然坐標形式的點的運動方程。13.1.3自然坐標法1弧坐標設動點M的軌跡為如圖所示的曲線，則動點M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點O為參考點，并設點O的某一側為正向，動點M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數量，稱它為動點M在軌跡上的弧坐標。當動點M運動時，s隨著時間變化，它是時間的單值連續函數，即MOs(-)(+)2自然軸系

即以點M為原點，以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的自然坐標系，這三個軸稱為自然軸系。且三個單位矢量滿足右手法則，即13.1.3自然法Mnbtt1t'1tM1在點的運動軌跡曲線上取極為接近的兩點M和M1，這兩點切線的單位矢量分別為t和t1，其指向與弧坐標正向一致。將t1平移到點M，則t和t1’決定一平面。令M無限趨近點M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點M的密切面。過點M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內凹一側。過點M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與t

、n構成右手系。曲線切線的轉角對弧長一階導數的絕對值稱為曲線在M點的曲率。曲率的倒數稱為M點的曲率半徑。曲率MM'△s△jtt'13.1.3自然法13.1.3自然法兩個相關的計算結果(當Δt→0)OMM't"t't△j△s△t3點的速度13.1.3自然法用矢量表示為：

在曲線運動中，點的速度是矢量。它的大小等于弧坐標對于時間的一階導數，它的方向沿軌跡的切線，并指向運動的一方。rr'△rMM'△stv4點的切向加速度和法向加速度13.1.3自然法由于所以4點的切向加速度和法向加速度13.1.3自然法上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數值隨時間的變化率；分矢量an的方向永遠沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時間的變化率。全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式決定：大小：方向：13.1.3自然法

例2桿AB繞A點轉動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環上的小護環M運動，已知φ＝wt(w為常數)。求小環M的運動方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標系。則即為小環M的運動方程。故M點的速度大小為其方向余弦為故M點的加速度大小為且有MMjRoj例3半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾動)。設輪子保持在同一豎直平面內運動，，試分析輪子邊緣一點M的運動。此處有影片播放取坐標系Axy如圖所示，并設M點所在的一個最低位置為原點A，則當輪子轉過一個角度后，M點坐標為這是旋輪線的參數方程。oRCAxyM點的速度為：當M點與地面接觸，即時，M點速度等于零。oRCAxy如果在物體內任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平行移動，簡稱平移。13.2剛體的平行移動此處有影片播放擺式輸送機的料槽夾板錘的錘頭直線行駛的列車車廂結論：當剛體平行移動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。因此，研究剛體的平移，可以歸結為研究剛體內任一點的運動。13.2剛體的平行移動yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O在剛體運動的過程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運動稱為剛體的定軸轉動，簡稱轉動。該固定不動的直線稱為轉軸。13.3剛體繞定軸的轉動此處有影片播放如圖，兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉角。轉角j是一個代數量，它確定了剛體的位置，它的符號規定如下：自z軸的正端往負端看，從固定面起按逆時針轉向計算取正值；按順時針轉向計算取負值。并用弧度(rad)表示。13.3剛體繞定軸的轉動當剛體轉動時，角j是時間t的單值連續函數，即這就是剛體繞定軸轉動的運動方程。13.3剛體繞定軸的轉動轉角j對時間的一階導數，稱為剛體的瞬時角速度，用w表示:角速度表征剛體轉動的快慢和方向，其單位用rad/s(弧度/秒)表示。角速度是代數量，從軸的正端向負端看，剛體逆時針轉動時角速度取正值，反之取負值。角速度對時間的一階導數，稱為剛體的瞬時角加速度，用字母a表示，即13.3剛體繞定軸的轉動角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數量。如果w與a同號，則轉動是加速的；如果w與a異號，則轉動是減速的。13.3剛體繞定軸的轉動

工程上常用轉速n來表示剛體轉動的快慢。n的單位是轉/分(r/min)，w與n的轉換關系為勻速轉動勻變速轉動

當剛體繞定軸轉動時，剛體內任意一點都作圓周運動，圓心在軸線上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑R等于該點到軸線的垂直距離。動點速度的大小為13.4轉動剛體內各點的速度和加速度設剛體由定平面A繞定軸O轉動任一角度j，到達B位置，其上任一點由O'運動到M。以固定點O'為弧坐標s的原點，按j角的正向規定弧坐標s的正向，于是即：轉動剛體內任一點速度的大小等于剛體角速度與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉動的一方。13.4轉動剛體內各點的速度和加速度13.4轉動剛體內各點的速度和加速度點M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度為：即：轉動剛體內任一點的切向加速度(又稱轉動加速度)的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號決定，當a是正值時，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。13.4轉動剛體內各點的速度和加速度法向加速度為：即：轉動剛體內任一點的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。如果w與a同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉動，這時點的切向加速度at與速度v的指向相同；如果w與a異號，剛體作減速轉動，at與v的指向相反。這兩種情況如圖所示13.4轉動剛體內各點的速度和加速度atat

(1)在每一瞬時，轉動剛體內所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。

(2)在每一瞬時，剛體內所有各點的加速度a與半徑間的夾角q都有相同的值。點的全加速度為：13.4轉動剛體內各點的速度和加速度

例4一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉動方程為

，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當t=1s時，物體A的速度和加速度。解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為求當t=1s時，則為因此輪緣上任一點M的速度和加速度為方向如圖所示。

M點的全加速度及其偏角為如圖。現在求物體A的速度和加速度。因為

上式兩邊求一階及二階導數，則得因此主動輪與從動輪角速度之比稱為傳動比，記為i12。7.4輪系的傳動比1)齒輪傳動即：