直線與圓的位置關系(二)切線長定理

新課學習PAOB

1、如何過⊙O外一點P畫出⊙O的切線？

如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線。畫一畫

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長OAPB兩條

切線和切線長是兩個不同的概念：

1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；

2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。切線和切線長比一比切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區別與聯系呢？BPOA

已知PA、PB是⊙O切線，A、B為切點，連接OP，把圓沿著直線OP對折,你能發現什么?探究活動一：折一折PAOB

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從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。小結：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法切線長定理

若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能發現什么結論?試一試APOBM探究：PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于⊙O于點D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）寫出圖中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）寫出圖中所有的等腰三角形△ABP△AOB（2）寫出圖中與∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC

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從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。切線長定理∵PA、PB切⊙O于點A、B∴PA=PB,∠APO=∠BPOBPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點，OA=3.（1）若PA=4,則PB=

.OP=

;（2）若∠BPA=60°,∠BPO=,∠BOA=,OP=

,PA=

.練一練C3例1、已知：P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點，BC是直徑。求證：AC∥OPPACBDO

例題講解。PBAO（3）連結圓心和圓外一點（2）連結兩切點（1）連結圓心和切點反思：在解決圓的切線長問題時，往往需要我們構建鉆石圖形。

想一想

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABC三角形的內切圓ABC探究活動二：1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。OABC三角形的內切圓DEF例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD和CE的長。CBAEDFOr解：∵△ABC的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，由切線長定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF14139設AE=AF=x,則CE=CD=14-x,BD=BF=13-x∴(14-x)+(13-x)=9∴x=9∴AE=AF=9,CE=CD=5,BD=BF=4

ABCEGHDFM

∴⊙I即為所求的⊿ABC的圓

作三角形內切圓的方法：性質:

三角形的內心是1：三角形內切圓的圓心，2：是三角形三條角平分線的交點，內心與頂點連線平分內角。3：到三角形三邊的距離相等；4：任何三角形的內心都在三角形的內部三角形內心的性質BACIEFGIE=IF=IG.例2如圖，在△ABC中，點O是內心，若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度數ABCO)1(32)4(名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內心在三角形內部．ABOABCO比一比CCABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內切圓半徑與外接圓半徑.練一練切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點；連接兩切點；連接圓心和圓外一點.三角形內切圓運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.有關概念內心概念及性質應用課堂小結

練習1.如圖所示PA、PB、CD分別切圓O于A、B，E并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周長．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度數C·OPBDAE補充練習1、若直角三角形的兩直角邊分別為6，8，則該直角三角形的外接圓半徑為

。2、若直角三角形的兩直角邊分別為5，12，則該直角三角形的內切圓半徑為

。3、若Rt△的周長為24，面積為48，則該Rt△的內切圓半徑為

。例.如圖，△ABC中,∠C=90o,它的內切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半徑r.OEBDCAF練習2.如圖，AB是⊙O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，(1)求證：OD⊥OC(2)若BC=9，AD=4，求OB的長.

OABCDE·OABCDEFOABCDE選做題：如圖，AB是⊙O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.例3

、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓⊙O分別相切于點L、M、N、P，求證：AD+BC=AB