上海華東師范大學第四附屬中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“a＝3”是“函數f（x）＝－2ax＋2函數在區間內單調遞增”的A．充分不必要條件

B．必要不充分C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.已知全集,集合,,則集合可以表示為

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.設函數f（x）滿足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，則x∈[2，+∞）時，f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值參考答案：B【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】推出f'（x）的表達式，當x=2時，f（2）=，構造輔助函數，求導，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，則g（x）在x=2處取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）單調遞增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，當x＞0時，故此等式可化為：f'（x）=，且當x=2時，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求導g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），當x∈[2，+∞）時，g′（x）＞0，則g（x）在x∈[2，+∞）上單調遞增，g（z）的最小值為g（2）=0，則f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故選：B．4.若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是（

） A． B． C． D．參考答案：B略5.若復數，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是（

）A.z的虛部為 B.C.為純虛數 D.z的共軛復數為參考答案：C【分析】先得到復數的代數形式，然后根據復數的有關概念對給出的四個結論分別進行分析、判斷后可得正確的結論．【詳解】由題意得．對于A，由得復數的虛部為，所以A不正確．對于B，，所以B不正確．對于C，由于，所以為純虛數，所以C正確．對于D，的共軛復數為，所以D不正確．故選C．6.設集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]參考答案：D【考點】對數函數的定義域；交集及其運算．【分析】解指數不等式求出集合A，求出對數函數的定義域即求出集合B，然后求解它們的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故選D．7.不等式的解集為，則函數的圖象大致為（

）

A

B C

D

參考答案：

答案：C8.某程序框圖如圖所示，若輸入輸出的n分別為3和1，則在圖中空白的判斷框中應填入的條件可以為（）A．i≥7？ B．i＞7？ C．i≥6？ D．i＜6？參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序算法可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量n的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得i=0，n=3滿足條件n為奇數，n=10，i=1，不滿足條件，不滿足條件n為奇數，n=5，i=2不滿足條件，滿足條件n為奇數，n=16，i=3不滿足條件，不滿足條件n為奇數，n=8，i=4不滿足條件，不滿足條件n為奇數，n=4，i=5不滿足條件，不滿足條件n為奇數，n=2，i=6不滿足條件，不滿足條件n為奇數，n=1，i=7由題意，此時，應該滿足條件，退出循環，輸出n的值為1．故在圖中空白的判斷框中應填入的條件可以為i≥7？故選：A．9.如圖，與圓相切于點，直線交圓于兩點，弦垂直

于．則下面結論中，錯誤的結論是（

）A．∽ B．

C． D．參考答案：D略10.已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N為(

)(A).x=3,y=－1

(B).(3，－1)(C).｛3，－1｝ (D).｛(3，－1)｝參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計算：=

.參考答案：0【知識點】定積分的應用解析：（x3cosx）dx=x3dsinx=======﹣（﹣3）3sin（﹣3）﹣3?（﹣3）2cos（﹣3）﹣6sin3=﹣27sin3﹣27cos3﹣6sin3=﹣33sin3﹣27cos3．同理,所以=0.故答案為0.【思路點撥】直接利用分步積分求解定積分的值．12.已知等比數列的前項和為，若，則___________

參考答案：3313.2xdx=

．參考答案：3【考點】定積分．【專題】函數思想；導數的概念及應用．【分析】由題意可得2xdx=x2，代值計算可得．【解答】解：由定積分的計算可得：2xdx=x2=22﹣12=3故答案為：3【點評】本題考查定積分的計算，屬基礎題．14.正數滿足，則的最大值為_______.參考答案：15.某同學為研究函數

的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形和，點

是邊上的一個動點，設，則.請你參考這些信息，

推知函數的極值點是

；函數的值域是

.參考答案：略16.若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=．參考答案：50【考點】等比數列的性質．

【專題】計算題；等差數列與等比數列．【分析】直接由等比數列的性質結合已知得到a10a11=e5，然后利用對數的運算性質化簡后得答案．解：∵數列{an}為等比數列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案為：50．【點評】本題考查了等比數列的運算性質，考查對數的運算性質，考查了計算能力，是基礎題．17.在△ABC中，若，則的大小為_________.參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程已知直線的參數方程為，曲線的參數方程為，設直線與曲線交于兩點.（1）求；（2）設為曲線上的一點，當的面積取最大值時，求點的坐標．參考答案：（1）由已知可得直線的方程為

曲線的方程為由，

（2）設當即時最大，19.幾何證明選講如圖所示，已知與⊙相切，為切點，為割線，弦，相交于點，為上一點，且.（1）求證：；（2）求證：.參考答案：考點：1.簡單幾何證明；2.割線定理.

略20.已知函數（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數f(x)的周期為π；②是函數f(x)的對稱軸；③且在區間上單調.（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數f(x)的解析式；（Ⅱ）若，求函數f(x)的值域.參考答案：（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數的值域為.【點睛】本題考查了三角函數的周期，對稱軸，單調性，值域，表達式，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.21.已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1時有極值為0．（1）求常數a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）首先對f（x）求導，由題意可知f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0；（2）利用導數判斷出函數f（x）圖形的單調性后求極值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵f（x）在x=﹣1時有極值0，∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，解得：a=，b=1

經檢驗，合題意．（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．22.甲乙兩家快遞公司其“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規定底薪70元，每單抽成1元；乙公司規定底薪100元，每日前45單無抽成，超過45單的部分每單抽成6元（1）設甲乙快遞公司的“快遞小哥”一日工資y（單位：元）與送貨單數n的函數關系式為f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假設同一公司的“快遞小哥”一日送貨單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名“快遞小哥”，并記錄其100天的送貨單數，得到如下條形圖：若將頻率視為概率，回答下列問題：①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為X（單位：元），求X的分布列和數學期望；②小趙擬到兩家公司中的一家應聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請你利用所學的統計學知識為他作出選擇，并說明理由．參考答案：【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）甲公司規定底薪70元，每單抽成1元；乙公司規定底薪100元，每日前45單無抽成，超過45單的部分每單抽成6元，由此能求出甲乙快遞公司的“快遞小哥”一日工資y（單位：元）與送貨單數n的函數關系式f（n），g（n）．（2）①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為X（單位：元），由條形圖得X的可能取值為100，106，118，130，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．②乙快遞公司的“快遞小哥”日平均送單數為45，從而乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為115元，甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元．由此推薦小趙去乙快遞公式應聘．【解答】解：（1）甲快遞公式的“快遞小哥”一日工資y（單位：元）與送單數n的函數關系式為：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快遞公式的“快遞小哥”一日工資y（單位：元）與送單數n的函數關系式為：．∴