全國初中數(shù)學競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項，其中有且只有一個選項是準確的。請將準確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1．在高速公路上,從3千米處開始,每隔4千米經過一個限速標志牌；并且從10千米處開始,每隔9千米經過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經過這兩種設施,那么第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是（）TOC\o"1-5"\h\z（A）36（B）37（C）55（D）90.已知m=1+j2,n=1一*'2，且（7m2-14m+a）（3n2—6n—7）=8,則a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）9.Rt^ABC的三個頂點A,B,C均在拋物線J=X2上，并且斜邊AB平行于x軸.若斜邊上的高為人則（）（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>2.一個正方形紙片,用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分,再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一,還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片,則至少要剪的刀數(shù)是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007.如圖，正方形ABCD內接于。O,點P在劣弧AB上，連結DP,交AC于點Q.若QP=QO,則QC的值為（）QA(A)2<3-1；(B)2V3；(C).、回+v2；(D)、回+2

P（第5題）P二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）.已知a,b,c為整數(shù)，且a+b=2006,c—a=2005.若a<b,貝Ua+b+c的最大值.如圖，面積為a<b—。的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,a—cc為整數(shù)，且b不能被任何質數(shù)的平方整除，則一廠的值等于.9.29已知ova,,且滿足a+30+a+30+???+a+303030=18,則1。a］的值等于.正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米.甲、乙兩人分別從A9.29已知ova,,且滿足a+30+a+30+???+a+303030=18,則1。a］的值等于.（1］表示不超過x的最大整數(shù)）.小明家電話號碼原為六位數(shù),第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8,成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2,成為一個八位數(shù)的電話號碼.小明發(fā)現(xiàn),他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù),恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是.三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）b.已知工=—,a,b為互質的正整數(shù)（即a,b是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1）,abb2+c2=2a2+16a+14①且a<8,.<2-1<x<、誨—1.⑴試寫出一個滿足條件的x；(2)求所有滿足條件的x.12.設12.設a,b,。為互不相等的實數(shù)，且滿足關系式bc=a2—4a-5求a的取值范圍..如圖，點P為。O外一點，過點P作。O的兩條切線，切點分別為A,B.過點A作PB的平行線，交。O于點C.連結PC,交。O于點E；連結AE,并延長AE交PB于點K.求證：PE?AC=CE?KB.

p.10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中.求n的最小值.2006年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A,B,C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1．在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是（）（A）36（B）37（C）55（D）90答：C解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，19＋36=55，所以第二次同時經過這兩種設施的千米數(shù)是在55千米處．故選C..已知m=1+%'2,n=1-、；2，且（7m2-14m+a）（3n2—6n—7）=8,則a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）9答：C.解：由已知可得m2-2m=1,n2-2n=1.又（7m2-14m+a）（3n2—6n—7）=8,所以（7+a）（3-7）=8解得a=—9故選C..Rt△ABC的三個頂點A,B,C均在拋物線J=x2上，并且斜邊AB平行于x軸.若斜邊上的高為人則（）（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>2答：B.解：設點A的坐標為（a,a2）,點C的坐標為（c,c2）（0/1）,則點B的坐標為（一a,a2）,由勾股定理，得AC2=（c—a）2+（c2—a2）2,AC2+BC2=AB2BC2=(c+a)2+(c2—AC2+BC2=AB2所以(a2—c2)2=a2—c2.由于a2>c2，所以a2—c2所以(a2—c2)2=a2—c2.故選B.4．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是()(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007答：B.解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內角和增加360°.于是，剪過k次后，可得(k+1)個多邊形，這些多邊形的內角和為(k+1)X360°.因為這(k+1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為34X(62—2)X180°=34X60X180°,其余多邊形有(k+1)—34=k—33(個)，而這些多邊形的內角和不少于(k—33)X180°.所以(k+1)X360°三34X60X180°+(k—33)X180°,解得kN2005.當我們按如下方式剪2005刀時,可以得到符合條件的結論.先從正方形上剪下1個三角形,得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形,得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形.再取33個三角形,在每個三角形上剪一刀,又可得到33個三角形和33個四邊形,對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33X58個三角形.于是共剪了58+33+33X58=2005(刀).故選B..如圖，正方形ABCD內接于。0,點P在劣弧AB

上，連結DP,交AC于點Q.若QP=QO,貝UQC的值為（）QA(A)2<3-1;(B)2%；3(C)v3+。2;(D)；3+2答：D.解：如圖，設。O的半徑為r,QO=m,UQP=m,QC=r＋m,QA=r－m．在。O中，根據(jù)相交弦定理，得QA-QC=QP?QD.r2-m2即(r—m)(r+m)=m?QD，所以QD=m連結DO連結DO,由勾股定理，得QD2=DO2+QO2,r2—m22即=r2+m2,3解得m=r所以,QCQAr-m3解得m=r所以,QCQAr-m<3+1

,3-1=.v3+2故選D.二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）.已知a,b,c為整數(shù)，且a+b=2006,c—a=2005.若a<b,則a+b+c的最大值為答：5013.解：由a+b=2006,c一a=2005，得a+b+c=a+40n.因為a+b=2006,a<b,a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002.于是，a+b+c的最大值為5013..如圖，面積為a<b-c的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù)，且b不能被任何質數(shù)的平方整除，則—的值等于答：20答：20——m一x2——m2解得x=(2,/3—3)m解：設正方形DEFG——m一x2——m2解得x=(2,/3—3)mx由△ADGs^ABC,可得一m于是x2=(2<3—3)2m2=28v'=-48,由題意，a=28,b=3,c=48，所以"°二一”.b3.正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米.甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A-B-C-D-E-A—…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分.那么出發(fā)后經過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上.答：104．解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400x400x米乙走了46X-50-=368x米.于是368(x—1)+800—400(x—1)>400400x米400x13…所以，12.5Wx<13.5.故x=13,此時t==104.509．已知0<a<1,…口19．已知0<a<1,…口1且滿足aH+L30」2a++30」291O+a+=18，L30」則［10a］的值等于.(1］表示不超過x的最大整數(shù))答：6．TOC\o"1-5"\h\z1229^^：因為0<a+<a+<<a+<2,303030

所以aH30所以aH302aH3029aH30等于0或1.由題設知，其中有18個等于1,所以二0二0,aH3029,a+=1,30」121112所以121112所以0<a+<1,.1Wa+<2.3030故18W30a<19,于是6W10a<?，所以[10a]=6..小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8,成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2,成為一個八位數(shù)的電話號碼.小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是.答：282500.解：設原來電話號碼的六位數(shù)為abcdef，則經過兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為2a8bcdef.根據(jù)題意，有81Xabcdef=2a8bcdef.t己％=bx104+cx103+dx102+ex10+f，于是81xax105+81%=208x105+ax106+%,解得x=125OX(208—71a)._.一...128208因為0Wx<105，所以0W125OX(208—71a)<105，故——<aW——.7171因為a為整數(shù)，所以a=2.于是x=1250X(208—71X2)=82500.所以，小明家原來的電話號碼為282500.三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）

b,,.已知x=-,a,b為互質的正整數(shù)（即a,b是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1）,a且a<8,<2-1<x<v-3—1.（1）試寫出一個滿足條件的x；（2）求所有滿足條件的x.解：（1）x=1滿足條件.5分2,,b（2）因為x=—,a,為互質的正整數(shù)，且a<8,所以a22—1<—<y3—1,即（V2—1）a<b<（%；3—1）a.a當a=1時，（<2—1）x1<b<?3—1）x1,這樣的正整數(shù)b不存在.當a=2時，（五—1）x2<b<（<3—1）x2，故b=1,此時x=1.2當a=3時，（\；2—1）x3<b<（v3—1）x3,故b=2,此時x=2.3當a=4時，（巨—1）x4<b<（<3—1）x4，與a互質的正整數(shù)b不存在.當a=5時，（"”—1）x5<b<（V3—1）x5,故b=3,此時x=3.當a=6時，（Y2—1）x6<b<（<3—1）x6，與a互質的正整數(shù)b不存在.一，一..,...3當a=7時，?2—1）x7<b<（<3—1）x7,故b=3,4,5止匕時x=-,7當a=8時，（\；2—1）x8<b<（\；3—1）x8,故b=5,此時x=58所以，滿足條件的所有分數(shù)為1,215分TOC\o"1-5"\h\z2334所以，滿足條件的所有分數(shù)為1,215分3,5,7,7,7,812.設a,b,c為互不相等的實數(shù)，且滿足關系式b2+c2=2a2+16a+14①bc=a2—4a—5求a的取值范圍.

解法一：由①一2X②得(b-c)2=24(a+1)>0，所以a>—1.當a>—1時，b2+c2=2a2+16a+14=2(a+1)(a+7)>0.又當a=b時，由①，②得c2=a2+16a+14,ac=a2—4a一5將④兩邊平方，結合③得a2(a2+16a+14)=(a2-4a-5)2化簡得24a3+8a2-40a-25=0,故(6a+5)(4a2-2a-5)=0,…5_1土、21解得a=—，或a=.64所以，a的取值范圍為a>—1且aw-5,a中上=164解法二：因為b2+c2=2a2+16a+14,bc=a2-4a-5,所以(b+c)2=2a2+16a+14+2(a2-4a-5)=4a2+8a+4=4(a+1)2,所以b+c=±2(a+1).又bc=a2-4a-5,所以b,c為一元二次方程％2±2(a+1)%+a2-4a-5=0的兩個不相等實數(shù)根，故A=4(a+1)2-4(a2-4a-5)>0，所以a>—1.當a>—1時，b2+c2=2a2+16a+14=2(a+1)(a+7)>0.…10分③④15分⑤……10分另外，當a=b時，由⑤式有a2±2(a+1)a+a…10分③④15分⑤……10分a=a=1一”'21或a=一4即4a2-2a-5=0或一6a一5=0，解得，當a=c時，同理可得a=-5或a=""2164所以，a的取值范圍為a>—1且a豐一-,a豐上口15分64.如圖，點P為。O外一點，過點P作。O的兩條切線，切點分別為A,B.過點A作PB的平行線，交。O于點C.連結PC,交。O于點E；連結AE,并延長AE交PB于點K.求證：PE?AC=CE?KB.證明：因為AC〃PB,所以NKPE=NACE.又PA是。O的切線，所以NKAP=NACE,故NKPE=NKAP,于是△KPEMKAP,KPKE所以——=——，即KP2=KE?KA.KAKP由切割線定理得KB2=KE?KATOC\o"1-5"\h\z所以KP=KB.10