北京第一八四中學高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，設函數(shù)的最大值為M，最小值為N，那么（）A.2020 B.2019 C.4040 D.4039參考答案：D【分析】通過分離分子可得，計算可得，利用函數(shù)的單調性計算可得結果．【詳解】解：，又是上的增函數(shù)，，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的單調性的判斷和運用，注意解題方法的積累，考查運算能力，屬于中檔題．2.函數(shù)y=sin(πx+φ)(φ＞0)的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，則tan∠APB=（

）A.10

B.

C.

D.8參考答案：D3.某同學在研究函數(shù)＝＋的性質時，受到兩點間距離公式的啟發(fā)，將變形為＝＋，則表示（如圖），

①的圖象是中心對稱圖形；②的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的值域為[，＋∞）；④方程有兩個解．上述關于函數(shù)的描述正確的是（

）A.①③

B.③④

C.②③

D.②④參考答案：C略4.||=（A）2 （B）2 （C） （D）1參考答案：C略5.同時具有性質“①最小正周期是，②圖象關于對稱，③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是A． B． C． D．參考答案：A6.函數(shù)的大致圖象為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其中個位數(shù)為0的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，點P是兩曲線的一個公共點，e1，e2又分別是兩曲線的離心率，若PF1PF2，則的最小值為(

)A.

B.4

C.

D.9參考答案：C【知識點】橢圓及其幾何性質雙曲線及其幾何性質H5

H6由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實軸為2a2，

令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2a2，①

由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②

又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③

①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，④

將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22=+=+=+≥+2=．【思路點撥】由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a1，雙曲線實軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結合雙曲線和橢圓的定義推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．9.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=π，則tan（a2+a12）的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的性質和誘導公式即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．則tan（a2+a12）==﹣．故選B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質和誘導公式，屬于基礎題．10.三棱錐P—ABC的側棱PA、PB、PC兩兩垂直，側面面積分別是6，4，3，則三棱錐的體積是(

)A.4

B.6

C.8

D.10參考答案：答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為邊BC上一點，滿足＝2，則·＝

．參考答案：略12.設是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為

參考答案：略13.如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

參考答案：【知識點】三視圖G2解析：由三視圖可知該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐構成，所以其體積為圓柱的體積減去圓錐的體積為:.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，可先分析原幾何體的特征再進行求值.14.函數(shù)的值域是_________.參考答案：(0,+∞)【分析】先求得函數(shù)的定義域,再由可求得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的定義域為,又,故函數(shù)的值域是.故答案為:.【點睛】(且,).15.不等式有解，那么實數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：【分析】分，和三種情況討論，求得的最小值，即可得到本題答案.【詳解】設，當時，；當時，；當時，；可知在單調遞減，在單調遞增，單調遞增，所以，，又有解的等價條件為，即，所以m的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查絕對值不等式能成立的問題.16.若函數(shù)f（x）=aex﹣x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)零點的判定定理．【分析】對f（x）求導，討論f′（x）的正負以及對應f（x）的單調性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；【解答】解：∵f（x）=aex﹣x，∴f′（x）=aex﹣1；下面分兩種情況討論：①a≤0時，f′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是減函數(shù)，不合題意；②a＞0時，由f′（x）=0，得x=﹣lna，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）﹣0+﹣f（x）遞減極小值﹣lna﹣1遞增∴f（x）的單調減區(qū)間是（﹣∞，﹣lna），增區(qū)間是（﹣lna，+∞）；∴函數(shù)y=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），滿足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），滿足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，滿足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，滿足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣e）+（ln﹣e）＜0；∴a的取值范圍是（0，e﹣1）．故答案為：（0，）．【點評】本題考查了導數(shù)的運算以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與零點問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想和分析問題、解決問題的能力．17.已知，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A箱裝有編號為的五個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同），B箱裝有編號為的兩個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同）,甲從A箱中任取一個小球，乙從B箱中任取一個小球，用分別表示甲，乙兩人取得的小球上的數(shù)字.（1）求概率；（2）設隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望.參考答案：略19.（本題滿分13分）在直角坐標系，橢圓的左、右焦點分別為.其中也是拋物線的焦點，點M為在第一象限的交點，且.（I）求橢圓的方程；（II）若過點D（4，0）的直線交于不同的兩點A、B，且A在DB之間，試求BOD面積之比的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）依題意知，設.由拋物線定義得，即.………………1分將代人拋物線方程得，

………………2分進而由及，解得.故橢圓的方程為．

………………5分（Ⅱ）依題意知直線的斜率存在且不為0，設的方程為代人，整理得

………………6分由，解得.

………………7分設,則

………………8分令，則且.

………………9分將代人①②得，消去得，即．

………………10分由得，所以且,解得或.………………12分又，∴故與面積之比的取值范圍為．………………13分20.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相同的單位長度，已知直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=2，點P關于極點對稱的點P'QUOTEp?的極坐標為（1）寫出圓C的直角坐標方程及點P的極坐標；（2）設直線I與圓C相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化方法寫出圓C的直角坐標方程；利用點P關于極點對稱的點P'的極坐標為，得到點P的極坐標；（2）設直線I與圓C相交于兩點A、B，將代入x2+y2=4，得：，即可求點P到A、B兩點的距離之積．【解答】解：（1）圓C的極坐標方程為ρ=2，直角坐標方程為x2+y2=4；點P關于極點對稱的點P'的極坐標為，則P（）；（2）點P化為直角坐標為P（1，1）將代入x2+y2=4，得：，所以，點P到A、B兩點的距離之積．【點評】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數(shù)方程的運用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．21.某市為控制大氣PM2.5的濃度，環(huán)境部門規(guī)定：該市每年的大氣主要污染物排放總量不能超過55萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知該市2013年的大氣主要污染物排放總量為40萬噸，通過技術改造和倡導綠色低碳生活等措施，此后每年的原大氣主要污染物排放最比上一年的排放總量減少10%.同時，因為經濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加大氣主要污染物排放量萬噸.（I）從2014年起，該市每年大氣主要污染物排放總量（萬噸）依次構成數(shù)列，求相鄰兩年主要污染物排放總量的關系式；（II）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）若該市始終不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍