新北師大版數學八下第一章三角形的證明教案

第一章三角形的證明第1節等腰三角形一、教學目標：1、通過“探索－發現－猜想－證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發展推理能力。2、進一步了解作為證明基礎的幾條基本事實的內容。3、能夠證明等腰三角形的性質。4、通過探索等腰三角形判定定理的過程，證明并掌握等腰三角形的判定定理。5、探索并證明等邊三角形的性質定理及判定定理。6、探索并證明定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。7、通過實例體會反證法的含義。教學重點：正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。教學難點：能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質時輔助線做法）。等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。四、教學過程：4個課時第一課時三角形全等、等腰三角形的性質一、導入新課1、回顧命題相關知識：題設（條件）、結論；真命題、假命題；2、命題、公理、定理、推論、定義、性質、等量代換二、想一想：P21、三角形全等的公理：SSS、SAS、ASA2、求證：AAS（畫出圖形，寫出已知、求證、證明）3、定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。（AAS）4、“兩角分別相等且其中一角的對邊相等的兩個三角形全等。”這句話對嗎？5、全等三角形判定添加條件題。三、全等三角形的性質：定理：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。四、議一議：P2，等腰三角形的性質1、定理：等腰三角形的兩底角相等。（等邊對等角）2、如何證明？（多種方法：作底邊上的高、中線、頂角平分線）3、推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合。（三線合一）五、例：講解開學第一課的作業。六、練習：P3，1、2，P4，1、2、3、5七、作業：P4，4、6附：1、已知如圖，△ADC是等腰三角形，AD=AC，以AD、AC為斜邊向外作等腰RT△ADE和等腰RT△ACB，M為CD中點，求證：EM=MB。2、如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC。若∠DBC=40°，則求∠A的度數，并求∠DBC與∠A的數關系。第二課時等腰三角形性質舉例、等邊三角形性質一、導入新課1、回顧上節課所學內容，復習等腰三角形的性質。2、引入等邊三角形的性質。二、等腰三角形性質舉例1、例：如圖，AB=BC，AD=DE，BD⊥AC，求證：△ABD≌△CBD。2、例：如圖，AB=BC，AD=DE，BD⊥AC，求證：AE=CE。三、等邊三角形性質1、定理：等邊三角形的三條邊相等，三個角都是60度。2、定理：等邊三角形的高線、中線、角平分線、垂直平分線都重合。3、例：如圖，AB=BC=CA，O為△ABC內部一點，分別作AO、BO、CO的垂線交邊對應的延長線于D、E、F，求證：AD=BE=CF。四、練習：P5，1、2、3，P6，1、2、3五、作業：P6，4、5附：已知如圖，AB=BC=CA，O為△ABC內部一點，分別作AO、BO、CO的垂線交邊對應的延長線于D、E、F，求證：AD=BE=CF。2、如圖所示，已知四邊形ABCD中，AC=BD，∠ACD=90°，DE⊥AC于點E，求證：BE=CD。提示：連接AE、BD，并證明三角形ADE與三角形BDC全等。三、直角三角形的勾股定理1、定理：在直角三角形中，直角邊上的正方形面積等于斜邊上兩個線段所構成的長方形面積的一半。2、定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于直角邊上兩個線段的平方和。3、定理：在直角三角形中，如果三條邊的長度滿足勾股定理，那么這個三角形是直角三角形。4、定理：在直角三角形中，如果兩個角的正弦值的比等于兩個角的余弦值的比，那么這個三角形是直角三角形。5、定理：在直角三角形中，如果一個銳角的正弦值等于另一個銳角的余弦值，那么這個三角形是直角三角形。四、直角三角形的判定1、定理：如果一個三角形的三邊長度滿足勾股定理，那么這個三角形是直角三角形。2、定理：如果一個三角形的兩個角的正弦值的比等于兩個角的余弦值的比，那么這個三角形是直角三角形。3、練習：P25，1、2、3五、逆命題1、定義：逆命題是由原命題的結論和假設交換而得到的命題。2、例子：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余。逆命題：如果一個三角形的兩個銳角互余，那么它是直角三角形嗎？不一定。六、作業P25，4、5、6第二課時直角三角形的全等判定一、導入新課1、你知道什么是全等三角形嗎？2、你知道如何判定兩個三角形全等嗎？二、直角三角形的全等判定1、定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一個直角邊分別相等，那么這兩個三角形全等。2、定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一個銳角邊分別相等，那么這兩個三角形全等。3、定理：如果兩個直角三角形的一個直角邊和另一條邊分別相等，那么這兩個三角形全等。4、定理：如果兩個直角三角形的一個銳角和斜邊分別相等，那么這兩個三角形全等。三、練習P26，1、2、3四、尺規作圖1、已知一個直角邊和斜邊，如何用尺規作出這個直角三角形？2、步驟：（1）以直角邊為一邊，斜邊為另一邊作一個直角三角形的正方形。（2）以斜邊為半徑作一個圓，圓心為直角邊的中點。（3）以這個圓與正方形的交點為端點，作出直角邊。3、練習：P27，4五、作業P27，1、2、3三、直角三角形邊1.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.定理：如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。四、議一議：P15，逆命題逆命題是兩個命題的條件和結論剛好相反。例如，如果一個三角形不是直角三角形，那么它的兩條邊的平方和不等于第三條邊的平方。五、想一想：P16，逆定理逆定理是兩個互逆命題都是真命題。例如，如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，并且如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。六、例：已知如圖，矩形AOBC在平面直角坐標系中，A（，23），∠ABC=60°，將△ABC沿AB翻折，C點落到D點處，求D點的坐標。在平面直角坐標系中，矩形AOBC的一個角A（，23），另一個角∠ABC為60°。將△ABC沿AB翻折，C點落到D點處，求D點的坐標。七、練習：P16，1、2、3，P17，1、2、3八、作業：4、5BA2D附：1、在△ABC中，CD⊥AB，且CD=AD·DB，試說明△ABC為RT△。提示：利用勾股定理，AC2=CD2+AD2，BC2=CD2+BD2，因此AC2+BC2=2CD2+AD2+BD2=AB2，所以△ABC是直角三角形。2、折疊長方形ABCD，得到對角線BD，再折疊使AD與BD重合，得到折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的長度。折疊長方形ABCD，得到對角線BD，再折疊使AD與BD重合，得到折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的長度。利用勾股定理，可以得到BD2=82+62=100，因此BD=10。由于AD與BD重合，所以AD=BD=10。又因為AB=8，BC=6，所以AG=AB+GC=AB+BD=8+10=18。3、如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F為BC的中點，BE與DF、DE分別交于點G、H，且∠ABE=∠CBE。（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；（2）求證：BG2-GE2=EA2。（1）由于△ABC是直角三角形，所以AC2=AB2+BC2=2AB2，因此AC=AB√2。又因為BE⊥AC，所以BH=AC/2=AB√2/2。由于三角形ABE和CBE中，∠ABE=∠CBE，且BE公共，因此這兩個三角形全等，所以AE=CE，即AC-AB=BC-AB，所以AC=BC。因此，BH=AC/2=BC/2，即線段BH與AC相等。（2）由于三角形ABE和CBE中，∠ABE=∠CBE，且BE公共，因此這兩個三角形全等，所以AE=CE，即AC-AB=BC-AB，所以AC=BC。因此，BG2-GE2=BE2-DE2=AB2-AE2=EA2。本文主要講解線段垂直平分線的性質和判定定理，以及相關的例題。首先介紹了線段垂直平分線的定義和性質定理，即線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。接著講解了逆定理，即到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。然后通過一個例題來展示如何應用這個定理進行證明。最后，給出另一個例題，并引入了底邊及底邊上的高的概念，介紹了如何用尺規作出等腰三角形和作已知直線的垂線。1、角平分線的性質定理的證明。2、角平分線的判定定理的探索和證明。3、運用角平分線的性質和判定定理解決問題。教學難點1、角平分線的判定定理的探索和證明。2、運用角平分線的性質和判定定理解決復雜問題。教學方法1、講解與演示相結合的方法。2、引導學生探索和發現，激發興趣。3、以例題為主，加強練習和鞏固。教學過程一、引入教師介紹角平分線的概念，引導學生回顧垂線的性質和尺規作圖的基本方法，為后續學習做好鋪墊。二、角平分線的性質定理1、角平分線的性質定理的表述。2、證明角平分線的性質定理。教師通過畫圖和推理，引導學生自己發現和證明角平分線的性質定理。3、應用角平分線的性質定理解決問題。教師提供一些簡單的例題，引導學生運用角平分線的性質定理解決問題。三、角平分線的判定定理1、角平分線的判定定理的表述。2、探索和證明角平分線的判定定理。教師引導學生通過畫圖和推理，自己探索和發現角平分線的判定定理，并進行證明。3、應用角平分線的判定定理解決問題。教師提供一些復雜的例題，引導學生運用角平分線的判定定理解決問題。四、練習與鞏固教師提供一些練習題，讓學生鞏固和加深對角平分線的理解和應用。五、拓展教師介紹一些與角平分線相關的知識，如角平分線的性質在三角函數中的應用等，拓展學生的知識面。六、總結教師對本節課的重點知識進行總結，并強調學生需要在日常學習中加強對角平分線的理解和應用。七、作業布置相應的作業，鞏固和加深學生對角平分線的理解和應用。本次教學內容為角平分線的性質定理及其逆定理。在第一課時中，我們首先導入了新課，讓學生回顧了角的軸對稱圖形、角平分線的概念以及角平分線的尺規畫法。接著，我們介紹了角平分線的性質定理，即角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，并提供了證明方法。在此基礎上，我們進一步提出了這個定理的逆命題，即在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，并提供了證明方法。最后，我們通過例題的方式鞏固了學生對角平分線性質的理解和應用。在第二課時中，我們應用了角平分線的性質定理，并通過例題讓學生進一步理解了這個定理的應用。其中，我們證明了三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等的結論。我們還通過一個具體的例子，讓學生掌握了如何利用角平分線的性質求解三角形的邊長。最后，我們通過一個練習和作業的環節，讓學生進一步鞏固了所學內容。總的來說，本次教學主要圍繞角平分線的性質定理及其應用展開，通過引導學生理解定理的證明方法和應用技巧，提高了學生的數學思維和解題能力。AC=AB+BD在圖中，∠APB為60°，PA和PB分別與數軸相交于點F和E。直線MN是∠APB的平分線，并且垂直于數軸于點D，D表示的數為2。如果頂點P沿著直線NM向上平移，那么以下問題需要解答：（1）當PD=3時，求點E表示的實數。（2）在上述圖形平移的過程中，設點E表示的實數為y。①如果PD的長度為x，試求y與x之間的函數關系式。②如果點F表示的實數為m，則y與m之間又有何關系？回顧與思考：一、三角形全等定理：1.SAS定理：如果兩個三角形有兩邊和夾角分別相等，則這兩個三角形全等。2.ASA定理：如果兩個三角形有兩個角和夾邊分別相等，則這兩個三角形全等。3.SSS定理：如果兩個三角形的三條邊分別相等，則這兩個三角形全等。4.AAS定理：如果兩個三角形有兩個角分別相等且其中一組等角的對邊相等，則這兩個三角形全等。5.HL定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，則這兩個三角形全等。二、三角形全等性質定理：1.全等三角形的對應邊相等，對應角相等。2.全等三角形對應邊上的高、中線、角平分線分別相等，周長和面積分別相等。三、證明思路和證明方法：1.綜合法：從已知出發利用公理和已證明的定理進行合情推理和演繹推理。2.反證法。四、等腰三角形：1.性質：①等腰三角形的兩個底角相等，即等邊對等角。②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。③等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等。2.判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。五、等邊三角形：1.性質：①等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等，并且每個角都等于60°。②等邊三角形的三條角平分線、三條中線、三條高互相相等。2.判定：①有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。②三個角都相等的三角形是等邊三角形。六、直角三角形：1.性質：①直角三角形的兩個銳角互余。②勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。③在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。④在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°。2.判定：①有兩個角互余的三角形是直角三角形。②如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。七、線段垂直平分線性質定理：2224、已知∠C=90°，D為AC的中點，DE⊥AB于E，證明BC=BE-AE。根據勾股定理，有BD2=AB2-AD2，又因為AD=CD，所以BD2=AB2-CD2。又因為∠C=90°，所以DE2+CE2=CD2。將這兩個式子代入上式，得到BD2=AB2-DE2-CE2。再根據勾股定理，有BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠AEB。又因為∠AEB=90°，所以cos∠AEB=0，代入上式得到BE2=AB2+AE2。將這個式子代入BD2=AB2-DE2-CE2中，得到BD2=BE2-AE2-DE2，即BC2=BE2-AE2。所以BC=BE-AE。5、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，DE是邊AB上的兩點，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，求△ABC的面積。連接CD，并設CD=x，則DE=x。根據勾股定理，有AE2=AD2+DE2=9+x2，BE2=BD2+DE2=(AB/2)2+x2，所以AB2=4BE2-4x2。又因為AC=BC，所以AB2=2AC2=8AC2，所以8AC2=4BE2-4x2，即AC2=BE2/2-x2/2。又因為∠ACB=90°，所以△ABC的面積為AC·BC/2=AC3/2=AC2·AC/2=AC2·(BE2/4-DE2/4)^(1/2)/2=AC2·[(BE2/2-AC2/2)^(1/2)-x/2]/2=AC2·[(BE2/2-AC2/2)^(1/2)-DE]/2=AC2·[(4-2^(1/2))/2]/2=AC2(2-2^(1/2))/4。6、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是邊AB上的兩點，AD=a，BE=b，DE=c，∠DCE=45°，證明a2+b2=c2。連接CD，并設CD=x，則DE=x。根據勾股定理，有AE2=AD2+DE2=a2+x2，BE2=BD2+DE2=(AB/2)2+x2=b2+x2，所以AB2=4BE2-4x2=4AC2，即AC2=BE2/4-x2。又因為∠ACB=90°，所以AC2+BC2=AB2=4BE2-4x2，即AC2+AC2=BE2-x2，即2AC2=b2-a2+c2，即a2+b2=c2。7、已知△ABC中，AB=AC，點D、E分別為BC、AC上一點，且AD=AE，證明∠BAD=2∠EDC。連接BE，交AC于F。因為AB=AC，所以∠BAC=∠BCA，又因為AD=AE，所以∠EAD=∠CAB，所以∠BAD=∠BAC-∠EAD=∠BCA-∠CAB=∠ACB。又因為∠ECD=45°，所以∠BCE=45°，所以∠FCE=∠FEC=22.5°，所以∠FED=45°-22.5°=22.5°。又因為AD=AE，所以∠DAE=∠EAD=∠CAB，所以∠EDF=∠BAC-∠DAE-∠FEC=∠BCA-∠CAB-2∠FEC=∠ACB-2∠FEC，即∠EDF=2∠FED，所以∠EDC=∠FEC=22.5°，即∠BAD=2∠EDC。8、如圖，在ΔABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點，BE、CF交于點M。（1）如果AB=AC，證明ΔDEF是等邊三角形；連接EM、FM，因為∠A=60°，所以∠BEC=30°，所以∠EMC=60°，所以∠EMF=90°，所以EM=FM。又因為BD=DC，所以∠BDE=∠EDC，所以∠DEF=2∠BEC=60°，所以ΔDEF是等邊三角形。（2）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的長度。設BE=x，則CE=AC-x，因為∠A=60°，所以∠BEC=30°，所以BE/CE=tan30°=1/√3，解得x=4√3。9、如圖，在等腰RT△ABC中，∠ACB=90°，D為BC中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE延長線于F，連接CF。（1）證明AD⊥CF；連接AF。因為RT△ABC是等腰△ABC，所以AC=BC，所以∠BAC=∠BCA，又因為DE⊥AB，所以∠ADE=∠BCA，所以∠BAC=∠ADE。又因為BF∥AC，所以∠BAC=∠FBC，所以∠ADE=∠FBC。又因為BF∥AC，所以∠BFC=∠ABC=90°，所以BF⊥CF，所以∠FBC=∠FCB，所以∠ADE=∠FCB。又因為DE⊥AB，所以∠ADE+∠BAC=90°，所以∠FCB+∠BAC=90°，所以∠ACF=90°，即AD⊥CF。（2）判斷△ACF的形狀，并說明理由。因為AD⊥CF，所以∠ACF=90°，又因為AC=BC，所以△ACF是等腰直角△，即△ACF是45°-45°-90°三角形。10、已知如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE，證明AB=CD。（1）連接BD，因為E是BC的中點，所以DE=EB，所以∠CDE=∠BED，又因為∠BAE=∠CDE，所以∠BAE=∠BED，所以AB=BE。又因為E是BC的中點，所以CD=2BD-BC，又因為AB=BC，所以CD=2BD-AB，即CD=2AD-AB，又因為∠BAE=∠CDE，所以△BAE∽△CDE，所以AB/CD=AE/CE，又因為AE=2AD-DE=2AD-EB=2AD-AB，CE=2CD-ED=2CD-EB=2CD-AB，所以AB/CD=(2AD-AB)/(2CD-AB)，解得AB=CD。（2）連接AA'，因為E是BC的中點，所以DE=EB，所以∠CDE=∠BED，又因為∠BAE=∠CDE，所以∠BAE=∠BED，所以AB=BE。又因為E是BC的中點，所以CD=2BD-BC，又因為∠BAE=∠CDE，所以△BAE∽△CDE，所以AB/CD=AE/CE，又因為∠BAE=∠CDE，所以∠AEE'=∠CDD'，所以△AEE'∽△CDD'，所以AE/CD'=EE'/DD'，又因為E是BC的中點，所以DD'=BD-CD/2，EE'=AE/2，所以AE/CD'=(AE/2)/(BD-CD/2)，即AE/(2BD-CD)=AE/2/BD，解得AB=CD。1.在圖（1）中，如果點P在邊BC上，那么h1=h2，h3=h。2.如果點P在△ABC內部，上述結論不再成立。h1、h2、h3之間的關系需要重新推導。13.已知∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，如圖所示。如果E、F分別在AB、AC上，且BE=AF，則需要證明△DEF為等腰直角三角形。如果E、F分別在AB、AC延長線上，仍有BE=AF，其他條件不變，則需要證明△DEF是否仍為等腰直角三角形。14.已知如圖，△ABC中，AB=AC，CE/BD=CG/BD，點G在AC的延長線上。需要證明DF=GF。15.如圖所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點E、B、C共線。需要證明：(1)AE=CD；(2)∠APC=60°；(3)△MBN為等邊三角形；(4)MN∥CE；(5)PB平分∠EPC；(6)如果將△DEB繞點B逆時針旋轉一定的角度，AE是否等于CD。16.已知如圖，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=