海洋大學試題答案學年第2學期試題名稱：熱力學與統計物理（A）共2頁第1頁專業年級:學號姓名授課教師名楊愛玲分數一.填空題（共40分）1.N個全同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自由度為r，系統的自由度為（Nr）。系統的狀態可以用（2Nr）維「空間中的一個代表點表示。2對于處于平衡態的孤立系統，如果系統所有可能的微觀狀態數為Q，則每一微觀狀態出現的概率為（1/），系統的熵為kln）。3學年第2學期試題名稱：熱力學與統計物理（A）共2頁第1頁專業年級:學號姓名授課教師名楊愛玲分數一.填空題（共40分）1.N個全同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自由度為r，系統的自由度為（Nr）。系統的狀態可以用（2Nr）維「空間中的一個代表點表示。2對于處于平衡態的孤立系統，如果系統所有可能的微觀狀態數為Q，則每一微觀狀態出現的概率為（1/），系統的熵為kln）。3.玻色統計與費米統計的區別在于系統中的粒子是否遵從（泡利不相容原理）原理，其中（費米）系統的分布必須滿足0WfsW1。4.玻色系統和費米系統在滿足（經典極限條件（或e-a<<1）或ea>>1）條件時，可以使用玻爾茲曼統計。5.dU=￡ad.+￡.da ▽ ▽i11i11給出內能變化的兩個原因，其中（￡da［）項描述傳熱，（￡a嚴/）項描述做功。l i6.對粒子數守恒的玻色系統，溫度下降會使粒子的化學勢（升高）；如果溫度足夠低，則會發生（玻色一一愛因斯坦凝聚的能量U0=（0），壓強p0=（0），熵S,）。這時系統7.8.0=(0)?！?L（P2+p2+p2）+aX2+bx已知粒子遵從經典玻爾茲曼分布，其能量表達式為 2m xyz ，粒子的平均能量為（2kT—b2/4a當溫度（很低）或粒子數密度（很大）時，玻色系統與費米系統的量子關聯效應會很強。如果系統的分布函數為Ps，系統在量子態s的能量為Es，用Ps和Es表示：系統的平均能量為（E=￡pE），（￡p（E—E）2）（如寫成E2-（E）2也得分）。sss）。能量漲落為10.與宏觀平衡態對應的是穩定系綜，穩定系綜的分布函數P具有特點（dP/dt=0或與時間無關等同樣的意思也得分），同時P也滿足歸一化條件。.計算證明題（每題10分，共60分）1.假定某種類型分子（設粒子可以分辨）的許可能及為0，3,23，33，。。。，而且都是非簡并的，如果系統含有6個分子，問:(1)與總能量33相聯系的分布是什么樣的分布分布需要滿足的條件是什么(2)N!-根據公式Q{a「="ma/計算每種分布的微觀態數;(3)能級：￡1，￡2,￡3,￡4,能量值：0，3，23,33,簡并度：1，1，1，1,分布數：a1，電，%確定各種分布的概率。解：分布要滿足的條件為:滿足上述條件的分布有：A：{a}={5,0,0,1,0,...}lB：{%}={4,1,1,0,0,...}C：{a}={3,3,0,0,0,...}i6!

5!^6!

5!^1!x1=6;各分布對應的微觀態數為：。= x1=30;b4!x1X1!_ 6!OC=3^x1=20所有分布總的微觀態數為：。=。a+。B+。C=6+30+20=56p=。/。=6/56=0.107;各分布對應的概率為：Pb=。b/。=30/56=0.536;{=。：/。=20/56=0.357;表面活性物質的分子在液面(面積為A)上做二維自由運動，可以看作二維理想氣體，設粒子的質量為m,總粒子數為N。求單粒子的配分函數Z1；在平衡態，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在x到x+dx,y到y+dy內，動量在px到px+dpx，py到py+dpy內的分子數dN；寫出分子按速度的分布；寫出分子按速率的分布。解：(1)單粒子的配分函數z=-1朋e-W(p*)dxdydpdp=A(2兀mkT)1h2 xyh2dxdydpdpNdxdydpdpTOC\o"1-5"\h\zdN=e-(?+Ps) x——=—e-Ps x——h2Z h21 m 、，，將(1)代入(2)，并對dxdy積分，得分子按速度的分布為dN=N( )e-m(v2+v2)dvdvv 2兀kT xyxym mv2 m mv2有(3)可得分子按速率的分布為：2兀N(_)e2kTvdv=N( )e2kTvdv2兀kT kT定域系含有N個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級ei=-e0，e2=e0,其中8°大于零且為外參量y的函數。求:溫度為T時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之比，并說明在極端高溫和極端低溫時粒子數比的特點；系統的內能和熱容量；極端高溫和極端低溫時系統的熵。解：(1)單粒子的配分函數為：Z]=Ze-psi=e-ps1+e-能2=eP%+e-p%iNe-Ps e阻處于基態的粒子數為：氣= —=N.p*°p;1 0 0處于激發態的粒子數為:N=Ne-Ps2=N一呸一;處于激發態的粒子數為:2Z eps0+e-ps0

N溫度為T時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之為：n*1出_e寄ePe0, N、出_e寄ePe0極端高溫時：80《kT，節牝1，即處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數基本相同;1N八極端低溫時：80》kT，節牝0,即粒子幾乎全部處于基態。1⑵系統的內能：U=-N罕=-N異n(ePs。+e叫)=Ns°—八,6U、 1,8U、 Ns2熱容量：Cv=(苛)v=一味(吊)v=ITT1—(°*0―°阻)2

e-ps0+eps0(1—(°*0―°阻)2

e-ps0+eps0極端低溫時系統的熵：S=0對弱簡并的非相對論費米氣體，求:(1)粒子數分布的零級近似f0與一級修正項八竺;(2)證明：與零級近似相比，粒子數的相對修正量和內能的相對修正量均正比于°恐。解：費米氣體分布函數為：/= 7￡ 1f=e-a-ps 1￡ 1f=e-a-ps 1+e-a-Psf=e-a-Ps，Af=-e-2a-2Ps1D(s)ds=CVs2ds』Af|D(s)dsJJfD(s)ds~70J]Af|sD(s)ds1 Xe-aJfsD(s)ds0牝°-a-Ps(1—e-a-阮)=e-a-Ps—°-2a-2阮AN

NAUU1°-2a-2psCVs2ds Xe-a1e-a-psCVs2ds金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數密度n，(1)簡述：T=0K時電子氣體分布的特點，并說明此時化學勢％的意義;_=3日(2)證明：T=0K時電子的平均能量0 50，簡并壓強p=2仙；0 5 0(3)近似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。T=0K(1)R0表示T=0K時電子的最能量。電子從8=0的能級開始，先占據低能級，然后占據高能級，從泡利不相容原理。T=0K_U

s=——_U

s=——0⑵J%sfD(s)dsJ%sCVs2dsJ%s2ds30 ；—= =MfD(s)ds J^0CVs2dsJ%s2ds0 023 2n=—un=—口n350 50%

02U2UN2

=—= =3s0（3）T>0K時：f〉1（8〈M）；f=1（8=pt）;f〈1（8》）A 乙 A、. 、.kTT>0K時，只有在口附近kT量級范圍內的電子可躍遷到高能級，對CV有貢獻，設這部分電子的數目為Neff,則Nf-N—。每電子對CV3 3kkT3NkkT3NkkT3NkT的貢獻為3kT九則金屬中自由電子對Cv的貢獻為七=-kxNff=萬N—=?。ā? （kr~）=-y（亍）f f Ce1T……、日日格的熱容量為Cv=3Nk,d—2丁—0（TJ。4I。5）V fUu2 力①，6.固體的熱運動可以視為3N個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡正頻率⑴，內能的表達式為： °i外心kT1，式中的求和遍及所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。（1） 寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡單說明；（2） 用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；（3） 用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3。解：（1）愛因斯坦模型：N個分子的振動簡化為3N同頻率（3）的簡諧振動，每個振子的能級為8n=（n+：）力①；德拜模型：N個分子的振動簡化為3N個簡正振動，每個振子的頻率不同，且有上限3D，D（S）dS=B32dW.（2）愛因斯坦模型：彳=￡"能i=2e3（〃2）=i?祖;l n口 17 3N枷上3N方①Uf朔1嶼=2+*-1廠QU a力① e、/kTCV-（次八一3Nk（kT）2eW/kT—1）2高溫時：e殊/kT-15w/kT,e板kT—1,q—3Nk口