2021年江蘇省宿遷市修遠中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過雙曲線M：的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C，且|AB|=|BC|，則雙曲線M的離心率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A2.某所學校計劃招聘男教師x名，女教師y名，x和y須滿足約束條件則該校招聘的教師人數最多是

（

）

A．6

B．8

C．10

D．12參考答案：C3.已知某四棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該四棱錐的體積是（

） A． B． C． D．參考答案：【答案解析】A解析：由三視圖可知該四棱錐的底面是長和寬分別為4,2的矩形，高為,所以其體積為，所以選A.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，應先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關系），再利用三視圖與原幾何體的數據對應關系進行解答.4.在中，，，點滿足，則等于A.

B.2

C.3

D.4參考答案：C在上的投影為1，，故選C.5.已知sin（）=，則cos（2）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A【考點】GI：三角函數的化簡求值．【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整體利用誘導公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=﹣故選：A【點評】本題考查三角函數化簡求值，涉及二倍角公式和誘導公式，屬基礎題．6.集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},,則(

)A.{0,1,3,4}

B.{1,2,3}

C.{0,4}

D.{0}參考答案：C7.函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，，則f（x）＞2x+4的解集為（A）（-1，1）

（B）（-1，+）

（C）（-，-1）

（D）（-，+）參考答案：B本題主要考查了.導數在函數中的應用，合理構造函數是解答本題的關鍵，難度較大.令，，即為增函數，又因為，所以，因此的解集為，選B.8.已知=a,且函數y=a++c在上存在反函數，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：答案:C9.下面四個命題中真命題的是（

）①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每15分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在回歸直線方程＝0.4x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量平均增加0.4個單位；④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大.A.①④

B.②④

C.①③

D.②③參考答案：【知識點】命題及其關系A2D根據抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統抽樣，即①為假命題；

兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接近于0；故②為真命題；在回歸直線方程y=0.4x+12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量平均增加0.4個單位，故③為真命題；對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越小，故④為假命題；故真命題為：②③，【思路點撥】根據抽樣方式的特征，可判斷①；根據相關系數的性質，可判斷②；根據回歸系數的幾何意義，可判斷③；根據獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷④．10.某校在暑假組織社會實踐活動，將8名高一年級學生，平均分配甲、乙兩家公司，其中兩名英語成績優秀學生不能分給同一個公司；另三名電腦特長學生也不能分給同一個公司，則不同的分配方案有（）A．36種 B．38種 C．108種 D．114種參考答案：A【考點】計數原理的應用．【專題】排列組合．【分析】分類討論：①甲部門要2個電腦特長學生和一個英語成績優秀學生；②甲部門要1個電腦特長學生和1個英語成績優秀學生．分別求得這2個方案的方法數，再利用分類計數原理，可得結論．【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：①甲部門要2個電腦特長學生，則有3種情況；英語成績優秀學生的分配有2種可能；再從剩下的3個人中選一人，有3種方法．根據分步計數原理，共有3×2×3=18種分配方案．②甲部門要1個電腦特長學生，則方法有3種；英語成績優秀學生的分配方法有2種；再從剩下的3個人種選2個人，方法有33種，共3×2×3=18種分配方案．由分類計數原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種，故選A．【點評】本題考查計數原理的運用，根據題意分步或分類計算每一個事件的方法數，然后用乘法原理和加法原理計算，是解題的常用方法．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為_____．參考答案：【分析】根據四面體是球的內接四面體，結合位置關系，可得棱錐的形狀，以及棱長之間的關系，利用體積公式即可代值計算.【詳解】設該球的半徑為R，則AB＝2R，2ACAB2R，∴ACR，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，所以Rt△ABC面積SBC×ACR2，又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面體P﹣ABC的體積為，∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，所以：球的體積VπR3π×34π．故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球體積的計算，屬基礎題；本題的重點是要根據球心的位置去推導四面體的幾何形態，從而解決問題.12.某程序的框圖如圖所示，執行該程序，若輸入10，則輸出的S為．參考答案：1033略13.一個總體中有60個個體，隨機編號0，1，2，…，59，依編號順序平均分成6個小組，組號依次為1，2，3，…，60．現用系統抽樣方法抽取一個容量為6的樣本，若在第1組隨機抽取的號碼為3，則在第5組中抽取的號碼是

．參考答案：因為，所以，抽到編號為3、13、23、33、43、53，第5組為43。14.已知是拋物線：的焦點，是上一點，直線交直線于點.若，則

．參考答案：815.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點是F，點M（0，2），線段MF與C的交點是N，過N作C準線的垂線，垂足是Q，若∠MQF=90°，則p=

．參考答案：考點：拋物線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：如圖所示，由∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，可得點N是Rt△MQF的中點，因此N，|NQ|=．解出即可．解答： 解：如圖所示，∵∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，∴點N是Rt△MQF的中點，∴N，|NQ|=．∴=，化為p2=2，解得：p=．故答案為：．點評：本題考查了拋物線的定義、標準方程及其性質、直角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.公比為的等比數列前項和為15，前項和為

.參考答案：17.若常數b滿足|b|>1，則

.參考答案：答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記X表示學生的考核成績，并規定為考核優秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；（Ⅲ）記表示學生的考核成績在區間的概率，根據以往培訓數據，規定當時培訓有效．請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【分析】（Ⅰ）根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結合圖表得到6人中有2個人考核為優，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設這名學生考核優秀為事件，由莖葉圖中的數據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，至少有一人考核成績優秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據表格中的數據，滿足的成績有16個，所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效．19.已知數列滿足，對于所有正整數，有，求使得成立的最小正整數。參考答案：解法一

設，的特征方程為，特征根為，結合，得。由二項式定理得。當為奇數時，；當為偶數時，。于是，即，所以滿足條件的最小正整數為。解法二

下面都是在模意義下的,則,即,因此數列在模意義下具有等差數列的特點。又因為，所以。于是有，因此滿足條件的最小正整數為。20.如圖在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)證明：AC⊥平面BCDE；(2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

參考答案：【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．G12【答案解析】（1）證明：略；（2）.

解析：(1)證明：連接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD，與CB的延長線交于點F，連接AF，則EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直線AE與平面ABC所成的角．在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝.所以，直線AE與平面ABC所成的角的正切值是.【思路點撥】（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四邊形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC==．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性質定理即可得出結論．（Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性質定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的邊角關系即可得出．21.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC=，BB1=2，O是AB1的中點，D是AC的中點，M是CC1的中點，（1）證明：OD∥平面BB1C1C；

（2）試證：BM⊥AB1．參考答案：【考點】LS：直線與平面平行的判定；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）連B1C利用中位線的性質推斷出OD∥B1C，進而根據線面平行的判定定理證明出OD∥平面BB1C1C．（2）先利用線面垂直的性質判斷出CC1⊥AC，進而根據線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BB1C1C，進而可知AC⊥MB．利用證明△BCD∽△B1BC，推斷出∠CBM=∠BB1C，推斷出BM⊥B1C，最后利用線面垂直的判定定理證明出BM⊥平面AB1C，進而可知BM⊥AB1．【解答】證明：（1）連B1C，∵O為AB1中點，D為AC中點，∴OD∥B1C，又B1C?平面BB1C1C，OD?平面BB1C1C，∴OD∥平面BB1C1C．（2）連接B1C，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥平面ABCAC?平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，CC1，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BM?平面BB1C1C，∴AC⊥MB．在Rt△BCM與Rt△B1BC中，==，∴△BMC∽△B1BC，∴∠CBM=∠BB1C，∴∠BB1C+∠B1BM=∠CBM+∠B1BM=90°，∴BM⊥B1C，AC，B1C?平面AB1C，∴BM⊥AB1C，∵AB1?平面AB1C，∴BM⊥AB1．22.(本小題滿分12分)已知函數

（Ⅰ）當時,求函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性；參考答案：解（I）時,,

于是,,

所以函數的圖象在點處的切線方程為，即．

（II）

=，

∵，∴只需討論的符號．