專題4有理數的乘方一、乘方的應用【典例】有人說，將一張紙對折，再對折，重復下去，第43次后紙的厚度便超過地球到月球的距離，已知一張紙厚0.006cm，地球到月球的距離約為3.85×108m，用計算器算一下這種說法是否可信．【解答】解：對折43次后，這張紙的厚度為0.006×243≈5.28×1010（cm）＝5.28×108（m），∵5.28×108m＞3.85×108m，∴這種說法是可信的．【鞏固】1883年，康托爾構造的這個分形，稱作康托爾集，從數軸上單位長度線段開始，康托爾取走其中間三分之一而達到第一階段，然后從每一個余下的三分之一線段中取走其中間三分之一而達到第二階段，無限地重復這一過程，余下的無窮點集就稱做康托爾集，上圖是康托爾集的最初幾個階段，當達到第n個階段時，余下的所有線段的長度之和為（）A．2n3 B．23 C．(2【解答】解：根據題意知：第一階段時，余下的線段的長度之和為23第二階段時，余下的線段的長度之和為23×23=第三階段時，余下的線段的長度之和為23×23×…以此類推，當達到第n個階段時（n為正整數），余下的線段的長度之和為（23）n故選：C．二、等比數列求和【典例】閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數，請寫出計算過程）【解答】解：（1）設S＝2+22+…+220，則：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案為：221﹣2．（2）設S＝1+12S＝2+1+12S﹣S＝（2+1+12+122+?+∴S＝2-1故答案為：2-1（3）設S＝1+a+a2+a3+…+an，則：aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．∴S=a【鞏固】計算：【解答】設，則，，鞏固練習1．已知（a+1）2＝25，且a＜0，|a+3|+|b+2|＝14，且ab＞0，則a+b＝（）A．﹣19 B．﹣9 C．13 D．3【解答】解；∵（a+1）2＝25，∴a+1＝±5，∴a＝﹣6或4，∵a＜0，∴a＝﹣6，∵|a+3|+|b+2|＝14∴b+2＝±11，b＝9或﹣13，∵ab＞0，a＜0，∴b＜0，b＝﹣13，∴a+b＝﹣6﹣13＝﹣19．故選：A．2．若a，b，c均為整數且滿足（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因為a，b，c均為整數，所以a﹣b和a﹣c均為整數，從而由（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1可得|a-b|=若|a-b|=1|a-c|=0從而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣b|+|b﹣a|+|a﹣a|＝2|a﹣b|＝2．若|a-b|=0|a-c|=1從而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣a|+|a﹣c|+|c﹣a|＝2|a﹣c|＝2．因此，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝2．故選：B．3．如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不為整數；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不為整數；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得：2n＝252，n不為整數；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故選：D．4．若|a+b+1|與（a﹣b+1）2互為相反數，則a與b的大小關系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b【解答】解：∵|a+b+1|與（a﹣b+1）2互為相反數，∴|a+b+1|+（a﹣b+1）2＝0，∴|a+b+1|＝0，（a﹣b+1）2＝0，即a+b+1＝0，a﹣b+1＝0，∴a＝﹣1，b＝0，∴﹣1＜0，即a＜b．故選：C．5．很多整數都可以表示為幾個互異的平方數之和，例如30＝12+22+32+42＝12+22+52，現將2012表示為k（k為正整數）個互異的平方數之和，則k的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：2012＝392+212+72+12，∴k的最小值是4．故選：C．6．計算：[-75×(-【解答】解：原式＝[75×52-7．若（x+1）2與|xy+2|互為相反數，則：1(x+2)y+【解答】解：∵（x+1）2與|xy+2|互為相反數，∴（x+1）2＝0，|xy+2|＝0，∴x＝﹣1，y＝2．代入原式可得11×2故答案為201020118．試寫出所有3個連續正整數立方和的最大公約數，并證明．【解答】解：設三個連續的正整數的立方和為f（n）＝（n﹣1）3+n3+（n+1）3＝3n3+6n＝3n3﹣3n+9n＝3n（n﹣1）（n+1）+9n又∵當n≥2時，（n﹣1）n（n+1）是三個連續的整數的積，所以必是3的倍數，所以3n（n﹣1）（n+1）能被9整除．∴f（n）能被9整除∴三個連續的正整數的立方和的最大公約數是9．9．已知a，b為正整數，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數值．【解答】解：∵a，b為正整數，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值為正整數，顯然有a≥2，當a＝2時，b只能為1，此時M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數值不超過4；當a＝3時，b只能為1或2，若b＝1，則M＝18，若b＝2，則M＝7；當a＝4時，b只能為1或2或3，若b＝1，則M＝38，若b＝2，則M＝24，若b＝，3，則M＝2；若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5為奇數，∵3a2是偶數，又偶數減奇數才得奇數，∴a是偶數，b是偶數．此時3a2﹣ab2被4整除所得余數為3，2b+5被4整除所得余數為1，故①式不可能成立，即M≠1．故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數值為2．10．日常生活中，我們使用的是十進制數，而計算機使用的數是二進制數（數位的進位方法是“逢二進一”），有時候也會用到三進制數（數位的進位方法是“逢三進一”）．如三進位制數201可用十進制數表示為2×32+0×3+1＝19；二進位制數1011可用十進制數表示為1×23+0×22+1×2+1＝11．（1）現有三進位制數a＝221，二進位制數b＝10111，試比較a與b的大小關系．（2）填空：將十進制數18用二進制數表示為．（3）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖是一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數．求孩子出生的天數．【解答】解：（1）三進位制數a＝221用十進制數表示為2×32+2×3+1＝25，二進位制數b＝10111用十進制數表示為24+22+1×2+1＝23，所以a＞b．（2）因為18＝24+2，所以十進制數18用二進制數表示為10010．故答案為：10010．（3）圖中的數為6+2×7+3×72+73＝510，即孩子出生510天．11．閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12+1（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數，請寫出計算過程）【解答】解：（1）設S＝2+22+…+220，則：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案為：221﹣2．（2）設S＝1+12S＝2+1+12S﹣S＝（2+1+12+122+?+∴S＝2-1250，故答案為：（3）設S＝1+a+a2+a3+…+an，則：aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．∴S=a12．老財主臨終前將全部銀元分給他的四個兒子．老大分得全部銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環；老二分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環；老三分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環；老四分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環；余下的銀元又分成4等份，四個兒子各得一份，多出的1枚銀元給了丫環．問老財主至少要有多少塊銀元才夠分．【解答】解：從每次分得的銀元都多出一枚可知，只要增加3枚銀元，則每次分到的都是4的倍數，共分了5次4的倍數，所以至少