數(shù)值積分與數(shù)值微分第1頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在工程問題和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要計(jì)算積分。例如：力學(xué)和電學(xué)中功和功率的計(jì)算，電流和電壓的平均值和有效值的計(jì)算以及一些幾何圖形的面積、體積和弧長(zhǎng)的計(jì)算等等。另外微分方程的求解也是以積分計(jì)算為基礎(chǔ)的。一數(shù)值求積基本思想在高等數(shù)學(xué)中，曾用Newton-Leibniz公式（其中是的一個(gè)原函數(shù)）來(lái)計(jì)算定積分，雖然這一公式比較簡(jiǎn)單，但常常會(huì)遇到下面情況：的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。如其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難。的表達(dá)式不知道，只給出了一張由試驗(yàn)提供的函數(shù)表。第2頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用積分中值定理：即以底長(zhǎng)b-a，高為的矩形的面積恰等于所求曲邊梯形的面積I.這樣，只要對(duì)平均高度提供一種算法，便獲得一種數(shù)值積分方法。如果用兩端點(diǎn)的“高度”與取算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出積分近似公式：對(duì)于這些情況，要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的，這就要求建立積分的近似計(jì)算方法。此外，積分的近似算法又為其它一些數(shù)值方法，例如微分方程數(shù)值解、積分方程數(shù)值解等，提供了必要的基礎(chǔ)。問題是的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出的值。稱為區(qū)間[a,b]上的平均高度。第3頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般地，由定積分定義：積分為和式的極限的“高度”f(c)近似取代高度，則導(dǎo)出中矩形公式：這是熟知的梯形公式（如下圖）而若改用區(qū)間中點(diǎn)第4頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面通過最簡(jiǎn)單的情形做進(jìn)一步分析。如果把區(qū)間[a,b]N等份。節(jié)點(diǎn)：定積分的基本分析步驟是四步：分割、近似、求和、取極限。分割就是把總體（整塊梯形面積）分成若干分量（小曲邊梯形面積），近似就是在每個(gè)分量中用容易計(jì)算的量去代表小曲邊梯形的面積（這是用矩形面積近似曲邊梯形的面積）。求和就是把分量加起來(lái)得到總近似值，最后取極限就得到積分的準(zhǔn)確值。以上分析看出，前三步比較容易，最后一步的計(jì)算比較困難，但現(xiàn)在只是要求近似值，因而可以省掉求極限這一步，只要經(jīng)過前三步就可求得積分近似值，這就是建立數(shù)值積分方法的基本步驟。第5頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即用小矩形面積近似曲邊梯形面積。如下圖示。這稱為左矩形公式。第6頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把每個(gè)小區(qū)間的近似值相加就得到新的積分公式：稱為中矩形求積公式

再把每個(gè)小區(qū)間的分量相加就得梯形求積公式：若在每個(gè)小區(qū)間中用梯形面積近似曲邊梯形面積，第7頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由上述知，計(jì)算積分的問題歸結(jié)為計(jì)算被積函數(shù)f(x)在[a,b]上某些點(diǎn)的值，這就使積分的計(jì)算變得很容易了。現(xiàn)在的問題是如何提高精確度。從求近似積分的三步看來(lái)，前兩步分割與近似是提高求積公式精確度的途徑。第三步求和無(wú)須專門討論。先討論不分割區(qū)間[a,b]時(shí)，哪一種近似得到的求積公式精確度更高。事實(shí)上，對(duì)于不分割區(qū)間而言，用零次多項(xiàng)式近似f(x),然后取積分而得到的矩形公式直觀上看，它比左矩形公式（3）精確些，但總的說來(lái)，上述矩形法和梯形法精度都較低，往往不能滿足實(shí)際計(jì)算的要求，因此需要建立精確度更高的求積公式。分割主要是細(xì)分，從理論上講，分得越細(xì)，精確度越高，但必然增加計(jì)算量，增大舍入誤差。因此，怎樣在一種合適的分割下，使用容易計(jì)算的分量去近似曲邊梯形面積就成為提高求積公式精確度的主要問題。第8頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同樣，用一次多項(xiàng)式近似f(x),取積分而得到梯形公式：而不依賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式。我們的目的就是根據(jù)一定原則,使得求積一般公式（6）具有較高的精確度同時(shí)又計(jì)算簡(jiǎn)單。可以設(shè)想，用更精確的插值多項(xiàng)式p(x)近似f(x),然后以或許會(huì)提高近似積分的精確度，這就是我們建立求積公式的基本思路。這樣得到的公式一般可以寫成:第9頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精確度，自然希望求積公式能夠?qū)Α氨M可能多”的被積函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立，在計(jì)算方法中，常用代數(shù)精度這個(gè)概念來(lái)描述它。定義1：若求積公式卻不一定能準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度m。對(duì)于任意不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，二代數(shù)精度的概念上式右端=即f(x)=1時(shí)上面求積公式準(zhǔn)確成立。

例如：梯形求積公式的代數(shù)精度m=1，這是因?yàn)椋寒?dāng)f(x)=1時(shí)，上式左端=上式右端=當(dāng)f(x)=x時(shí)，上式左端=第10頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般的，欲使求積公式具有m次代數(shù)精度。只要令它對(duì)于即要求右端=上式左端=綜上即得此求積公式對(duì)f(x)=1和f(x)=x的任一線性組合，即不高于1次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立。即此求積公式代數(shù)精度至少為m=1。即f(x)=x時(shí)，上面求積公式也準(zhǔn)確成立。當(dāng)a≠b時(shí)，左端≠右端因此，由定義知梯形求積公式代數(shù)精度為m=1。

同理可證：矩形求積公式也具有0次代數(shù)精度。第11頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果事先選定求積節(jié)點(diǎn)，如，以區(qū)間［a,b]的等距節(jié)點(diǎn)依次為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取m=n，求解上述線性方程組（７）即可確定系數(shù)從而使求積公式至少有m=n次代數(shù)精度。具體示例在下面一節(jié)中介紹。由插值余項(xiàng)定理，對(duì)于插值型的求積公式其余項(xiàng)為：設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)作f(x)的n次Lagrange插值公式為n次插值基函數(shù)，三插值型的求積公式第12頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1：的求積公式至少有n次代數(shù)精度的充分必要條件是：它是插值型的。因此，對(duì)于插值型求積公式，由上面余項(xiàng)公式（9）可見，對(duì)于次數(shù)≤n的多項(xiàng)式f(x)，其余項(xiàng)R(f)=0，因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。至少具有n次代數(shù)精度，則它必是插值型的，這是因?yàn)椋喝羲哂衝次代數(shù)精度，則對(duì)于n次插值基函數(shù)應(yīng)準(zhǔn)確地有下式成立：反之，若求積公式，即知上式右端實(shí)際上等于因而（8）成立。故為插值型求積公式。綜上所述有：第13頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)將積分區(qū)間[a,b]劃分n等份，構(gòu)造出的插值型求積公式：稱作Newton---Cotes公式，其中稱作Cotes系數(shù)。§2Newton---Cotes公式一Cotes系數(shù)第14頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于是多項(xiàng)式積分，Cotes系數(shù)計(jì)算不會(huì)遇到實(shí)質(zhì)性困難。第16頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這就是拋物線公式，又稱辛浦生——Simpson公式。幾何意義就是用拋物線下的面積近似曲線f(x)下的面積。第17頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這就是柯特斯公式（Cotes)當(dāng)n較大時(shí)，例如n=8時(shí)，系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，而且有正有負(fù)會(huì)使舍入誤差增大，數(shù)值穩(wěn)定性較差，因此實(shí)際計(jì)算并不用n較大的公式，而是將區(qū)間[a,b]分割成若干個(gè)小區(qū)間，對(duì)每個(gè)或幾個(gè)小區(qū)間應(yīng)用n較小的公式去計(jì)算。Cotes系數(shù)表詳見教材.先看Simpson公式，它是二階Newton---Cotes公式,因此至少具有二次代精度。進(jìn)一步用進(jìn)行檢驗(yàn)。按Simpson公式計(jì)算得：作為插值型求積公式，n階Newton---Cotes公式至少具有n次的代數(shù)精度（定理1），那么實(shí)際的代數(shù)精度可否進(jìn)一步提高呢？二偶階求積公式的代數(shù)精度第18頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，直接求積分得：易驗(yàn)證S=I,即Simpson公式對(duì)次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立。易驗(yàn)證此時(shí)S≠I（b≠a時(shí)）因此Simpson公式實(shí)際上具有3次代數(shù)精度。一般的有：

定理2：當(dāng)階n為偶數(shù)時(shí)，Newton---Cotes公式至少有n+1次代數(shù)精度。第19頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引進(jìn)變換x=a+ht,并注意到證明：只要證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Newton---Cotes公式對(duì)第20頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上面已說明Newton---Cotes公式的余項(xiàng)為若n為偶數(shù)，而積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此積分為0，即證畢。（n+1)個(gè)乘積,(u-j)(u+j)為偶函數(shù)，j=0時(shí)，u-j為奇函數(shù)(j=0)。三幾種低階求積公式的余項(xiàng)第21頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n=1即梯形公式的余項(xiàng)為：是依賴于x的函數(shù)，在[a,b]上連續(xù)，而且故可應(yīng)用中值理，從而梯形公式的截?cái)嗾`差為：當(dāng)n=2即Simpson公式的余項(xiàng)。為此，先構(gòu)造一個(gè)次數(shù)的插值多項(xiàng)式H(x)，使?jié)M足：第22頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于證明Simpson公式具有三次代數(shù)精度，因此，Simpson公式對(duì)于這樣構(gòu)造的三次插值函數(shù)H(x)是準(zhǔn)確的：即（由插值條件）此即為Simpson公式求得的f(x)的積分。因此Simpson公式余項(xiàng)為：又可以證明：滿足上面插值條件的多項(xiàng)式H(x)的插值余項(xiàng)為：第23頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月,故積分余項(xiàng)為：當(dāng)n=4，即Cotes公式的積分余項(xiàng)為：

(9)由于是依賴于x的函數(shù)，在[a,b]上連續(xù)，且故可利用中值定理：

（8)第24頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由上面截?cái)嗾`差易見，當(dāng)積分區(qū)間[a,b]較大時(shí)，直接使用N-C公式的截?cái)嗾`差增大，積分近似值的精度難以保證。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，為了既提高結(jié)果的精度，又使算法簡(jiǎn)便且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，往往采取復(fù)合求積的方法，即：先將積分區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上利用低階Newton-Cotes公式計(jì)算積分近似值。然后對(duì)這些近似值求和，從而得所求積分的近似值。由此得到一些具有更大實(shí)用價(jià)值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復(fù)合求積公式。四復(fù)合求積法及其收斂性然后在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式即：例如：先將區(qū)間[a,b]n等分，記分點(diǎn)為：（k=0~n)，其中步長(zhǎng)為（k=1,2……n)第25頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式：注意

(10)若在上應(yīng)用Simpson公式：從而可得復(fù)化Simpson公式：第26頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

同理可得復(fù)化Cotes公式注：（12）（11）第27頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理：若f(x)在積分區(qū)間[a,b]上分別具有二階、四階和六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式和復(fù)化Cotes公式的余項(xiàng)分別為：其中ξ∈[a,b]（13）（14）（15）（16）（17）（18）當(dāng)h充分小時(shí)又有：第28頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：只證明復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)，其余由學(xué)生類似可做。由于f’’(x)在[a,b]連續(xù)，從而在每個(gè)小區(qū)間上做積分使用梯形公式時(shí)的截?cái)嗾`差為：（前面已證）而，故（*）即（），而第29頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故#f’’(x)在[a,b]上的連續(xù)性及介值定理知：有ξ∈(a,b),使又由上面（*）式及定積分定義有：可見，當(dāng)h充分小時(shí)有：

其余兩類公式證明與此完全類似，略。第30頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由上定理中余項(xiàng)及近似余項(xiàng)公式可見，只要所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則當(dāng)n∞（即h0)時(shí)，、和都收斂于積分真值（所謂積分真值是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值），而且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。則稱是P階收斂的。定義：對(duì)于復(fù)合求積公式，若當(dāng)h0時(shí)有第31頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于數(shù)值求積公式來(lái)說，收斂階越高，近似值收斂到其值的速度就越快，在相近的計(jì)算工作量（順便提一下，數(shù)值求積計(jì)算工作量的大小，主要取決于計(jì)算函數(shù)值次數(shù)的多少）下，有可能獲得較準(zhǔn)確的近似值。例：利用復(fù)合Newton-Cotes公式計(jì)算的近似值定理：復(fù)合求積公式：梯形、Simpson、Cotes分別具有二階、四階和六階收斂性證：復(fù)合梯形公式的收斂性由上面證明易見。其余兩個(gè)也可類似證明。#第32頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用兩種方法求解。先將積分區(qū)間[0，1]八等分（分點(diǎn)及分點(diǎn)處的函數(shù)值見下表），用復(fù)合梯形公式得：（h=1/8）再將區(qū)間[0，1]四等分，利用復(fù)合Simpson公式得：第33頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩種方法都用到表中九個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算工作量基本相同。但所得計(jì)算結(jié)果與積分真值π=3.14159265相比較，復(fù)合Simpson公式所得近似值遠(yuǎn)比復(fù)合梯形公式所得近似值要精確。因此在實(shí)際計(jì)算中，較多的應(yīng)用復(fù)合Simpson公式。為了便于上機(jī)計(jì)算，常將復(fù)合Simpson公式改寫成：(19)第34頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

雖然,我們上面已得到Newton-Cotes低階公式的近似值的誤差估計(jì)，也可根據(jù)精度要求用這些公式確定積分區(qū)間的等份數(shù)，即確定步長(zhǎng)h，但由于余項(xiàng)公式中含有被積函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)，在具體計(jì)算時(shí)往往會(huì)遇到困難，因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常利用誤差的事后估計(jì)法來(lái)估計(jì)近似值的誤差，或確定步長(zhǎng)h。此方法的大致做法是：將積分區(qū)間逐步分半，每分一次就用同一復(fù)合求積公式算出相應(yīng)的積分近似值，并用前后兩次計(jì)算來(lái)判斷誤差的大小。五誤差的事后估計(jì)與步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇第35頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其原理和具體做法如下：

對(duì)復(fù)化梯形公式（10），由其余項(xiàng)公式（13）或（16）可見，當(dāng)f’’(x)在積分區(qū)間上變化不大或積分區(qū)間[a,b]的等分?jǐn)?shù)n較大（即步長(zhǎng)h較小）時(shí)，若將[a,b]的等分?jǐn)?shù)改為2n（即將步長(zhǎng)縮小到原來(lái)步長(zhǎng)的一半），則新近似值的余項(xiàng)約為原近似值余項(xiàng)的1/4，即：（令）此式表明：若用作為積分真值I的近似值，則其誤差約為（20）即有第36頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先算出和，若（ε為計(jì)算結(jié)果的允許誤差），則停止計(jì)算，并取為積分近似值。否則，將區(qū)間再次分半后算出新的近似值，并檢驗(yàn)不等式是否成立，……直到得到滿足精度要求的結(jié)果為止。故將區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算的過程中，可以用前后兩次計(jì)算結(jié)果和來(lái)估計(jì)誤差和確定步長(zhǎng)。具體做法是：對(duì)于復(fù)合Simpson公式（11），復(fù)合Cotes公式（12），由它們的積分余項(xiàng)（14）、（15）或（17）、（18）可見，當(dāng)所涉及的高階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間上變化不大或積分區(qū)間的等份數(shù)n較大時(shí)，第37頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有：和則（21）及（22）

因此，也可以像使用復(fù)合梯形公式求積分近似值那樣，在將積分區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算的過程中，估計(jì)新近似值和的誤差，并判斷計(jì)算過程是否需要繼續(xù)進(jìn)行下去。上述過程很容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第38頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先看復(fù)合梯形公式（10），計(jì)算時(shí)，需計(jì)算n+1個(gè)點(diǎn)（它們是積分區(qū)間[a,b]的n等分的分點(diǎn)）上的函數(shù)值，當(dāng)不滿足精度要求時(shí)，根據(jù)上面提供的方案，就應(yīng)將各小區(qū)間分半，計(jì)算出新近似值。若仍用（10）計(jì)算，就需求出2n+1個(gè)點(diǎn)（[a,b]的2n等分點(diǎn)）上的函數(shù)值。§3Rombeng算法一復(fù)合梯形的遞推化上面介紹的步長(zhǎng)變化的計(jì)算方案，雖然提供了估計(jì)誤差與選取步長(zhǎng)的簡(jiǎn)便方法，但是還沒有考慮到避免在同一節(jié)點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算函數(shù)值的問題，故有進(jìn)一步改進(jìn)的余地。第39頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而實(shí)際上，在這2n+1個(gè)分點(diǎn)中，包含有n+1個(gè)n分點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在計(jì)算時(shí)已算出，現(xiàn)重新來(lái)計(jì)算這些點(diǎn)上的函數(shù)值，顯然是極不合理的。

為避免這種重復(fù)計(jì)算，我們來(lái)分析新近似值與原有近似值之間的關(guān)系。由復(fù)合梯形公式（10）知：注意到在2n分點(diǎn)（k=1,2,……2n-1)中，當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)，即為n分點(diǎn)，k為奇數(shù)時(shí)，才是新增加的分點(diǎn)，將新增加的分點(diǎn)處的函數(shù)值從求和記號(hào)中分離出來(lái)，就有:

第40頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由遞推復(fù)化梯形公式（23）可見，在已計(jì)算出基礎(chǔ)上再計(jì)算時(shí)，只要計(jì)算n個(gè)新分點(diǎn)上的函數(shù)值就行了，這與直接利用復(fù)合梯形公式（10）相比，計(jì)算工作量幾乎節(jié)省一半。例2：由（23）重新計(jì)算的近似值，誤差不超過。(23)第41頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再將各個(gè)小區(qū)間二等分，出現(xiàn)兩個(gè)新分點(diǎn)x=1/4,x=3/4,由（23）得：解：在積分區(qū)間逐次分半的過程中順序計(jì)算積分近似值，并用是否滿足（ε=）來(lái)判斷計(jì)算過程是否需要計(jì)算下去。

然后將區(qū)間二等分，出現(xiàn)新分點(diǎn)是x=1/2,由遞推公（23）得：

先對(duì)整個(gè)區(qū)間[0，1]使用梯形公式得：第42頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為了便于上機(jī)計(jì)算，我們將積分區(qū)間[a,b]的等分點(diǎn)依次取為：如上例，并將遞推公式改寫為：k=1,2,3,……（24）

這樣不斷將各小區(qū)間二分下去可利用遞推公式（22）依次算出計(jì)算結(jié)果如右表，因?yàn)椋汗?3.14159202是滿足要求的近似值。第43頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Romberg算法是在積分區(qū)間逐次分半的過程中，對(duì)用復(fù)合梯形法產(chǎn)生的近似值進(jìn)行加權(quán)平均，以獲得準(zhǔn)確度較高的近似值的一種方法，具有公式簡(jiǎn)練，使用方便，結(jié)果較可靠的優(yōu)點(diǎn)。

上面介紹的遞推公式（23）或（24），雖然具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但是由它產(chǎn)生的梯形序列{}，其收斂速度卻非常緩慢。如上例中用（23）計(jì)算

的近似值時(shí)，要一直算到才獲得誤差不超過的近似值。因此，用這種方法計(jì)算更復(fù)雜的高精度要求的近似值，顯然是費(fèi)時(shí)、費(fèi)力甚至是不可能的。二Romberg算法第44頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如何提高收斂速度，節(jié)約計(jì)算工作量，自然是我們所最關(guān)心的問題。（1）有可能比更好地接近于積分的真值I如上例中，和為兩個(gè)精度很差的近似值，但如果將它們按（1）作線性組合，所得到的新近似值：由（20）易見，作為積分真值I的近似值，其誤差約為。如果它作為的一種補(bǔ)償，則可期望新即近似值。第45頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的、卻具有7位有效數(shù)字，其準(zhǔn)確度比還高。但計(jì)算僅涉及到9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，其計(jì)算工作量?jī)H為計(jì)算。與這表明在收斂緩慢的梯形數(shù)列的基礎(chǔ)上，若將按（1）作線性組合就可產(chǎn)生收斂速度較快的Simpson序列：：、、關(guān)于（2）的證明：由（23）可知：這種新近似值實(shí)質(zhì)上又是什么呢？可以驗(yàn)證：即：（2）第46頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

故（2）式成立(由上節(jié)（10））（由上節(jié)（11））第47頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）由近似式（22）類似推導(dǎo)可得：同理，由上節(jié)近似式（21）類似推導(dǎo)可得：（3）即將Simpson序列按（3）作線性組合就可產(chǎn)生收斂速度更快的新序列第48頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可以證明：當(dāng)f（x）滿足一定條件時(shí)，Romberg序列比Cotes序列能更快地收斂到積分的真值I。即在Cotes序列的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了一個(gè)稱為Romberg、、...序列的新序列越精確的近似值也就是將收斂速度緩慢綜上可知：在積分區(qū)間逐次分半過程中利用公式可以將粗糙的近似值逐步地“加工”成越來(lái)的梯形序列逐步地“加工”成收斂速度越來(lái)越快的新新序列第49頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例3:利用公式(2).(3).(4)“加工”例2中得到的近似值解:依公式(2),(3),(4)按上圖中計(jì)算順序可得結(jié)果如下表:其中k為二次分?jǐn)?shù).這種加速的方法稱為Romberg算法。其“加工”過程如下圖，其中圓圈中號(hào)碼表示計(jì)算順序。①③②⑥⑤⑩④⑨⑧⒁⑦⒀⑿⑾第50頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意教材中介紹的Richardson外推法，為便于上機(jī)計(jì)算，引用記號(hào)來(lái)表示各近似值，其中k仍代表積分區(qū)間的二次分?jǐn)?shù)，而下標(biāo)m則指出了近似值所在序列的性質(zhì)。如m=0在梯形序列中，m=1在Simpson序列中，m=2在Cotes序列中，引入上面記號(hào)后，Romberg算法所用到的各個(gè)計(jì)算公式可統(tǒng)一化為：

可見，“加工”效果十分顯著，而“加工”計(jì)算量因只需做少量四則運(yùn)算沒有涉及到求函數(shù)值，故可忽略不計(jì)。03k13.13.13333323.1311763.1415963.141211833.1389883.1415933.1415943.141588三Romberg算法計(jì)算公式的簡(jiǎn)化第51頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可逐行構(gòu)造出一個(gè)三角形數(shù)表---稱為T數(shù)表K0123….…………第52頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(m固定），可以證明：若f（x）充分光滑，則T數(shù)表每一列的元素及對(duì)角線均收斂到所求的積分值I。即：這是因?yàn)椋簳r(shí)，梯形積分公式余項(xiàng)可寫成：若令:經(jīng)過m（m=1，2，…)次加速后，余項(xiàng)取下面形式：此即為Richardson外推法。其中由（5）即知上面兩個(gè)極限成立。可見加速后余項(xiàng)數(shù)量級(jí)下降很快。第53頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、在上面“加工”過程中的系數(shù)和，當(dāng)m4時(shí)，而另一個(gè)系數(shù)則接近于1，也就是新公式與原公式差別不大，但工作量卻大增。因此，在實(shí)際計(jì)算中常規(guī)定m3，即計(jì)算到出現(xiàn)Romberg序列為止。2、可用二維數(shù)組來(lái)存放并參加運(yùn)算，也可用一維數(shù)組。四幾點(diǎn)說明第54頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、對(duì)于積分限為無(wú)窮的積分，可利用變量代換化成有限區(qū)間的積分然后再進(jìn)行計(jì)算。例如：4、若被積函數(shù)有奇異點(diǎn)（間斷點(diǎn)）存在于積分區(qū)間內(nèi)，則可得積分區(qū)間分成小部分，使間斷點(diǎn)在子區(qū)間的端點(diǎn)處。也可用變量代換法處理。令則代入得：

第55頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有可能使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱為

Gauss公式、相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)。機(jī)械求積公式含有2n+2個(gè)待定參數(shù)，適當(dāng)選擇這些參數(shù)一Gauss型求積公式的引進(jìn)§4Gauss型求積公式前面我們限定把積分區(qū)間的等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)，從而構(gòu)造出一類特殊的插值求積公式，即Newton—Cotes公式。這種做法雖然簡(jiǎn)化了算法，但卻降低了所得公式的代數(shù)精度。例如：在構(gòu)造形如的兩點(diǎn)積分公式時(shí)，如果限定求積節(jié)點(diǎn)，那么所得插值型求積公式，其代數(shù)精度僅為1。

第56頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但是，如果我們對(duì)公式（*）中系數(shù)和節(jié)點(diǎn)都不加限制，那么就可以適當(dāng)選取使所得公式的代數(shù)精度m>1。事實(shí)上，若要求（*）對(duì)f（x）=1，x，都準(zhǔn)確成立，滿足方程組：只要易驗(yàn)證，這是代數(shù)精度為m=3的插值型求積公式。解之得：代入（*）得：第57頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：設(shè)p(x)是任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式。則p(x)w(x)的次數(shù)不超過2n+1。因此，如果是Gauss點(diǎn)，則求積分公式（1）對(duì)p(x)w(x)能準(zhǔn)確成立。即有：與任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P（x）均正交，即：定理：對(duì)于插值型求積公式（1），其節(jié)點(diǎn)是Gauss節(jié)點(diǎn)的充分必要條件是：以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式因此，可以想象對(duì)機(jī)械求積公式（1），只要適當(dāng)選擇2n+2個(gè)待定參數(shù)，是可以使其代表精度達(dá)到2n+1的。可以證明，Gauss型求積公式是插值型的。第58頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式f（x），用w（x）除f（x），記商為p(x)，余式為Q（x），P（x）與Q（x）都是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式。f(x)=p(x)w(x)+Q(x),由而求積公式（1）是插值型的，代數(shù)精度至少為m=n，因此對(duì)Q（x）能準(zhǔn)確成立：

但故（2）成立。由（2）得：第59頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）、再利用Gauss點(diǎn)確定求積系數(shù)利用解方程組求Gauss點(diǎn)和權(quán)以確定Gauss公式，需解2n+2個(gè)未知數(shù)的方程組，工作量太大。比較簡(jiǎn)便的做法是：也就是求積公式（1）對(duì)一切次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，因此為Gauss點(diǎn)（k=0，1，…n)。即（有關(guān)Legendre多項(xiàng)式見教材！）二Gauss-Legendre公式（1）、先利用上的n+1次正交多項(xiàng)式確定Gauss點(diǎn)第60頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令它對(duì)f（x）=1準(zhǔn)確成立。即可得出。這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)Gauss-Legendre公式是中矩形公式。若取的零點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式Gauss—Legendre公式余項(xiàng)為：由于Legendre多項(xiàng)式是的正交，因此可取Legendre多多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為求積分公式（*）的高斯點(diǎn)，形如（*）的Gauss積分公式特別地稱作Gauss—Legendre公式。

先考慮前面的例子：再取的兩個(gè)零點(diǎn)構(gòu)造求積公式：第61頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令它對(duì)f（x）=1，x均準(zhǔn)確成立，即從而得兩點(diǎn)Gauss—Legendre公式：類似地，三點(diǎn)Gauss—Legendre公式形式為：Gauss—Legendre公式節(jié)點(diǎn)和系數(shù)詳見教材。第62頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于一般區(qū)間上的積分，也可以利用教材中表格的數(shù)據(jù)寫出Gauss型求積公式。其原理與方法是：先作變量替換，令

則將上積分化為上的積分：記，則上式化為：利用表中數(shù)據(jù)，對(duì)于給定的n=1，2，3，4，可以寫出Gauss型公式：第63頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即代入（A）得：其中系數(shù)和節(jié)點(diǎn)可查表得出，由變量替換公式易見，由于求積公式（C）對(duì)變量t不高于2n+1的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，從而求積公式（D）對(duì)自變量x的不高于2n+1的多項(xiàng)式也準(zhǔn)確成立，即（D）是Gauss型求積公式。例：利用四點(diǎn)Gauss求積公式計(jì)算的近似值。解：由教材中表示Gauss型求積公式（D）得：第64頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中a=0，b=1，=-0.86113631，=-0.33998104，將上述各數(shù)據(jù)代入上公式中有：優(yōu)點(diǎn)：在此例計(jì)算過程中，只涉及到四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，可見Gauss型求積公式具有計(jì)算工作量小，所得近似值精確度高的優(yōu)點(diǎn)，是一種高精度的求積公式。Gauss型求積公式的缺點(diǎn)是：當(dāng)n改變大小時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變。雖然可以通過其他資料查到較大n的系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，但應(yīng)用時(shí)卻十分不便。同時(shí)，余項(xiàng)卻涉及到高階導(dǎo)數(shù)（被積函數(shù)的），要利用它們來(lái)控制精度也十分困難。第65頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為克服這些缺點(diǎn)，在實(shí)際計(jì)算中較多地采用復(fù)合求積的方法。例如，先把積分區(qū)間分成m個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間然后，在每個(gè)小區(qū)間上使用同一低階（如二點(diǎn)的，三點(diǎn)的，…）高斯型求積公式算出積分近似值，再相加即將積分的近似值：

其中，由查表可得。同時(shí)在實(shí)際計(jì)算中，還常用相鄰兩次計(jì)算結(jié)果和的關(guān)系式相當(dāng)于相對(duì)誤差）即算出后，觀察是否成立，以判定是否終止計(jì)算。請(qǐng)同學(xué)們據(jù)此編程計(jì)算。來(lái)控制運(yùn)算（當(dāng)時(shí)，第66頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：以為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造次數(shù)的多項(xiàng)式H(x)使?jié)M足條件：由第二章Hermite插值知，H(x)為Hermite插值多項(xiàng)式。由于Gauss公式具有2n+1次代數(shù)精度，則它對(duì)H(x)能準(zhǔn)確成立，即其中定理：對(duì)于Gauss公式（1），其余項(xiàng)為：三Gauss公式的余項(xiàng)第67頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再注意到函數(shù)在上保號(hào)，應(yīng)用積分中值定理即可得結(jié)論。對(duì)比Newton-cotes公式，Gauss不但具有高精度，而且是數(shù)值穩(wěn)定的。Gauss公式之所以能夠保證數(shù)值穩(wěn)定性，是由于其求積系數(shù)具有穩(wěn)定性。證明:由于是n次多項(xiàng)式，因而是2n次多項(xiàng)式，故Gauss公式對(duì)能準(zhǔn)確成立。即的求積系數(shù)全是正的。即定理：Gauss求積公式四Gauss公式的穩(wěn)定性注意到從而上式右端實(shí)際上等于從而有：故定理得證。第68頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月，由于實(shí)際問題中，通常不一定提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，而只是給出含有誤差的數(shù)據(jù)（如：由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制而產(chǎn)生的舍入誤差）。因而實(shí)際求得的積分值為：那么，原始數(shù)據(jù)的誤差對(duì)積分值的影響能否加以控制呢？上面已經(jīng)證明Gauss公式的求積系數(shù)則又由于Gauss公式對(duì)f(x)=1準(zhǔn)確成立,即下面討論求積過程的數(shù)值穩(wěn)定性問題。利用公式計(jì)算積分時(shí)第69頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則由此可以斷定Gauss公式是穩(wěn)定的。，其中稱為權(quán)函數(shù)。考察積分當(dāng)時(shí)即為普通積分。可以仿照處理普通積分的方法討論帶權(quán)的積分。如，求積分公式如果對(duì)于任意次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，則稱之為Gauss型的。上述Gauss公式求積節(jié)點(diǎn)仍稱為Gauss點(diǎn)。同樣地，是Gauss點(diǎn)的充要條件為：是區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式五帶權(quán)的Gauss公式若.且權(quán)函數(shù)則所建立的Gauss求積公稱之為（高斯-切比雪夫公式）式為：第70頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月確定了Gauss點(diǎn)后，再利用Gauss公式2n+1次代數(shù)精確度關(guān)系定

值得指出的是：運(yùn)用正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)構(gòu)造Gauss求積公式，這種方法只針對(duì)某些特殊的權(quán)函數(shù)才有效。構(gòu)造Gauss公式的一般方法是利用代數(shù)精度的概念用代定系數(shù)法求解。現(xiàn)舉一例加以說明：設(shè)要構(gòu)造下列形式的Gauss公式：令它對(duì)準(zhǔn)確成立，得：的正交多項(xiàng)式是切比雪夫多項(xiàng)式，因此求積公式（*）的Gauss點(diǎn)是n+1次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即為：由于區(qū)間[-1，1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)第71頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而所構(gòu)造的Gauss求積公式為：例1：選取常數(shù)a，求使積分公式的代數(shù)精度盡量高，并問其代數(shù)精度為幾次？解：取f(x)=1.則對(duì)上求積公式，左端六綜合例題解此方程組得：f(x)=x.則，左端=第72頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令左端=右端左端=再取故，當(dāng)取時(shí)，求積公式具有3次代數(shù)精度。例2若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分問積分區(qū)間要多少等分才能保證有6位有效數(shù)字？解：由復(fù)化梯形公式截?cái)嗾`差（13）式知第73頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于該積分有一位整數(shù)，所以要求使近似積分有6位有效數(shù)字，只需取n滿足：（有效數(shù)字定義見第一章，表示不超過某一位數(shù)字的一半）即即因此，至少要將[0，1]區(qū)間212等分。若將同一問題改為復(fù)化Simpson公式，則由復(fù)化Simpson公式截?cái)嗾`差（14）式同樣可得：由此可見，Simpson公式復(fù)化型比復(fù)化梯形公式計(jì)算量少得多。的近似值，要求誤差例3用Romberg求積法計(jì)算第74頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：此時(shí)積分限為a=0,b=1.而(本例主要說明Romberg過程）

①．②．③．④．⑤．⑥．⑦．⑧．⑨．⑩．第75頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如此繼續(xù)算得：由于這個(gè)實(shí)例表明,Romberg求積法計(jì)算過程不便于手工計(jì)算，但由于計(jì)算程序具有規(guī)律性，不必存儲(chǔ)求積系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，而且精度較高，因此適合于在電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。用Romberg方法計(jì)算時(shí)，是把區(qū)間逐次分半的，因此有時(shí)稱該法為逐次分半加速法。例4構(gòu)造三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss-Legendre求積公式，并給出余項(xiàng)估計(jì)式。解：由于三次Legendre多項(xiàng)式為：第76頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其三個(gè)零點(diǎn)分別為：令它對(duì)準(zhǔn)確成立則三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：余項(xiàng)為：（節(jié)點(diǎn)數(shù)）第77頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，若要計(jì)算的近似值，則由上積分公式得：上述積分準(zhǔn)確值為：若利用三點(diǎn)Simpson求積公式。則可見在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的情況下，Gauss求積公式的精度是相當(dāng)高的。例5給出計(jì)算積分的兩點(diǎn)計(jì)算公式，第78頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月使得對(duì)f(x)為三次多項(xiàng)式時(shí)精確成立。解：設(shè)取為二次多項(xiàng)式，對(duì)w（x）上式應(yīng)精確成立：顯然則但因而即第79頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不妨令且于是令積分公式對(duì)f（x）=1，x準(zhǔn)確成立得：解之得a=b=故所求積分公式為：顯然，由上述過程知，積分公式對(duì)精確成立。可驗(yàn)證：從而積分公式對(duì)也準(zhǔn)確成立。第80頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令（奇函數(shù)積分）而因此積分公式對(duì)準(zhǔn)確成立。

例6求下列求積公式的代數(shù)精度解：設(shè)為任意實(shí)數(shù)則而第81頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即積分公式對(duì)任意3次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立。又取，則而右端故其代數(shù)精度為3次。

例7建立下述形式的求積公式并確定它的代數(shù)精度：解：由于有4個(gè)待定系數(shù)一般應(yīng)對(duì)三次多項(xiàng)式精確成立。可取得：第82頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故所求積分公式為：第83頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故所得積分公式具有3次代數(shù)精度。例8導(dǎo)出下述形式的求積公式：解：它有4個(gè)待定系數(shù)，應(yīng)該對(duì)三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立。取得：第84頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月易驗(yàn)證，它對(duì)不精確成立，因此具有3次代數(shù)精度。第85頁(yè)，課件共97頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值微分就是用離散方法近似地求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。按照Taylor展開原理可得§5數(shù)值微分其中h為一增量。上面幾個(gè)公式是很實(shí)用的，下面我們?cè)?/p>