才子教育小學奧數系列才子教育小學奧數系列第24講巧解最值應用問題

巧點晴——方法和技巧生產和生活中有許多最值問題，需要我們結合實際，靈活地選擇方法進行解答。常用解題方法有：①逆推，②列表，③比較等。巧指導——例題精講A級沖刺名校?基礎點晴【例1】有10位小朋友，其中任意5人的平均身高不小于1.5米，那么，其中身高小于1.5米的小貊了多有幾人？分析與解本題從正面似乎很難入手，但當我們抓住關鍵詞“任意5人”、“不小于1.5米”，從反而入手卻很易得解。題目要求的是“身高小于1.5米的小朋友最多有幾人”，我們不妨考慮任意5人中身高不小于1.5米的最少有幾人。由題設“任意5人的平均身高不小于1.5米”，可知任意5人中身高不小于1.5米的至少有1人；否則若身高不小于1.5米的人一個都沒有，其平均身高就不可能大于1.5米。所以任意5人中身高小于1.5米的最多有4人。也可以這樣考慮，反設有5個或多于5個小朋友的身高小于1.5米，我們就從10個小朋友中選這5人出來，他們的平均身高就一定小于1.5米，與題目給定的條件矛盾，所以身高小于1.5米的小朋友最多有4人。答：身高小于1.5米的小朋友最多有4人。做一做工有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？【例2】5個空瓶可以換一瓶汽水。某班同學共喝了161瓶汽水，其中有些是用喝完的汽水瓶換來的，那么，他們至少要買多少瓶汽水？解法院（逆推法）首先弄清楚什么情況下所買的汽水最少，顯然是所有空瓶都換成汽水，最后只剩一個空瓶的情況是買汽水最少的。我們設想最后1瓶汽水是由此個空瓶換來的，而這5個空瓶中的汽水又是由X個空瓶換來的，再推下去，個空瓶的汽水又是由12個5空瓶換來的，這一方案一直沒有花錢買汽水，當然是最優的。從這里可以看出，只要買12瓶5汽水，就可以喝到12＋525＋5＋1=1（5瓶6）汽水，并剩一個空瓶，再買4瓶汽水喝完后加上剩下的一個空瓶又可換一瓶汽水，如此就可喝到161瓶汽水，而只要買12＋54=1（2瓶9）汽水即可。解法2我們將買最少瓶汽水的總是轉換成花最少的錢喝16瓶1汽水的問題。怎樣才能使同學們喝到16瓶1汽車又花錢最少？答案只有一個，就是將所有的汽水瓶全部退給店主換成錢。設每瓶汽水1元錢，喝16瓶1汽車花16元1，每5個空瓶值1元，?余。 個空瓶換321元， 一321128d元，即至少要5 5 5買。2瓶9汽水。解法3根據“5個空瓶可換。瓶汽水”（連汽水帶瓶子）可知，每個空瓶就能換到一瓶汽水（不帶瓶），所以每個空瓶可換1瓶汽4水。也就是說，買一瓶汽水實際能喝到+1瓶汽水。因此，喝4瓶汽水至少要買：+（+1）心（瓶）4答：他們至少要買。2瓶9汽水。做一做2個5空瓶可以換一瓶汽水，某班同學喝了。2瓶0汽水，那么，他們至少要買多少瓶汽水？【例3】某縣農機廠金工車間共有77個工人。已知每天每個工人平均可加工甲種部件5個，或乙種部件4個，或丙種部件3個。每個甲種部件、。個乙種部件和9個丙種部件恰好配成一套。問：分別安排多少個工人加工甲、乙、丙三種部件時，才能使生產出來的甲、乙、丙三種部件恰好都配套？分析與解如果采用直接假設，那么就要用三個字母分別代替加工甲、乙、丙三種部件的人數，這已經超出我們的知識范圍。由題目條件看出，每套成品中，甲、乙、丙三種部件的件數之比是3：1：9，因為是配套生產，所以生產出的甲、乙、丙三種部件的數量之比也應是3：1：9。設每天加工乙種部件X個，則加工甲種部件X個，丙種部件X個。從而可知，加工甲種部件應安排3X人，加工乙種部件應安排人,加工丙種部件應安排3x人。依題意可得方程3X+1X+9X5 4 3317X20X=20將X 依次代入3X，1X和9X，得TOC\o"1-5"\h\z5 4 33X3X（人2,1X1X （人），9X3 （人）。5 5 4 4 3答：加工甲、乙、丙三種部件應分別安排12人、5人和60人。做一做3車過河交渡費3元，馬過河交渡費2元，人過河交渡費1元。某天過河的車、馬數目的比為2：9，馬、人數目的比為3：，共收得渡費94元5。問：這天渡河的車、馬、人的數目各是多少？級培優競賽?更上層樓【例4】小朋友們排成一行，從左面第一人開始，每隔2人發一個蘋果；從右面第一人開始，每隔絕人發一個橘子，結果有10人小朋友蘋果和橘子都拿到了。那么，這些小朋友最多有多少人？分析與解蘋果每隔2人發一個，橘子每隔4人發1個。由[3，5]=，1所5以每15個小朋友中就有1人拿到了蘋果和橘子。因此，蘋果和橘子都拿到的個小朋友之間共有5(-)＋1=1個3小6朋友，他們的左邊最多有4個小朋友拿到蘋果，左邊最多有X (2)；而右邊最多有個小朋友拿到橘子，右邊最多有X(人)。結果，最多有12＋13＋610=1(人58)。答：這些小朋友最多有15人8。做一做4有2人人個8小朋友排成一排，王老師從左面第一人開始發一張卡片，然后每隔2人發一張卡片；李老師從右面第一人開始發一朵紅花，然后向左每隔4人發一朵紅花。問：有多少個小朋友卡片和紅花都拿到了？【例5】某金工工廠生產鐵箱子，箱子是由一個鐵框和兩塊鐵板做成的。這次任務由老李和小張承擔，他們的技術情況不同，老李每小時生產9個鐵框，或生產12塊鐵板；小張只能生產鐵板，每小時生產10塊。現要生產63個箱子，問：至少要用多少小時？分析與解生產63個箱子，需63個鐵框，李師傅每小時生產9個鐵框，生產個鐵框要小 （時）。個箱子要用X （塊）鐵板，李師傅生產鐵框的小時，小張已生產鐵板X （塊）。還未生產的有12－670=（5塊6）。二人共同生產塊鐵板要+（+0 + 2=（時）。11所以，李、張二人至少要用+2999（時）。11 11答：至少要用91小時。11做一做5完成一套零件需要一個大零件和三個小零件組成。新機床每小時加工8個大零件，或加工12個小零件；舊機床只能加工小零件，每小時加工10個。現在要加工80套零件，問：至少需要用多少小時？【例6】鋼筋原材料每件長7.米3。每套鋼筋架子需用長2.米9、2.米1和1.米5的鋼筋各一段。問：要做10套0鋼筋架子，至少要用去原材料幾件？分析與解本題的解法極易出錯，為了尋找最佳的解題方法，我們列出各種截割方案：方案①②③④⑤⑥⑦米鋼筋的根數米鋼筋的根數米鋼筋的根數余料數發現方案④、⑤、②較好，根據它們的關系，列出取件方案:方案②④⑤取件數米鋼筋的根數米鋼筋的根數米鋼筋的根數件鋼筋總長為 x （米）。套要用鋼筋總長為（ 9+）x（米）；所剩余料為米一米米（米（一件），于是件為最佳方案。這種題，一般應該怎樣列式，怎樣解答呢？按余料從少到多排列方案，設依次取X 件，根據題意得TOC\o"1-5"\h\z2+ ①+ ②2+ ③由式②一式③，得④米米米余料取件數X將X 代入式①，得 0把代入式①，X4再把X 代入式③，得 。fX即得方程組的解*f所以，一共用去原材料4＋030＋20=（9件0）答：至少要用去原材料90件。做一做6有一批長4.米3的條形鋼材，要截成0.米7和0.米的甲、乙兩種毛坯，要求截出的甲、乙兩種毛坯數量相同。問：如何下料才能使殘料最少？級（選學）決勝總決賽?勇奪冠軍【例7】若干箱貨物總量是19.噸5，每箱質量不超過35千3克。今有載重1.噸5的汽車，問：至少要多少輛，才能把這些貨物一次全部運走？解如果只想到.，只需輛汽車就能將這批貨物一次運走，這是不對的。因為只知道每箱質量不超過35千3克，沒有每箱的具體質量，所以有不確定的因素。為此，我們可以這樣安排車輛：首先把12輛車裝到另外3輛空車上，每車4箱總質量不超過35X （千2）,能被輛車運走。所以把這些貨物一次運走，至少需要汽車12＋1＋3=（16輛）。做一做7噸1貨0物分裝若干箱，每只箱子不超過1噸。為了確保在任何情況下都能一次性將這些貨物運走，那么，載重量為3噸的汽車，最少需配備多少輛？巧練習——溫故知新（二十四）級沖刺名校?基礎點晴盒子1.中裝有10分、20分、25分面值的郵票，其中20分郵票的張數是10分郵票張數的3倍還多1，25分郵票的張數是20分郵票張數的5倍還多3。問：盒子中全部郵票的總面值最少是多少？.電影院一排有50人座位，其中有些座位已經有人，若新來一個人，他無論坐在何處，都有一個人與他相鄰，則原來至少有多少人就座？.有一個正整數的平方，它的最后三位數字相同但不為零，試求滿足上述條件的最小正整數。命題委員會為?年級準備數學奧林匹克競賽試題，每個年級各7道題，而且都恰有4道題跟任何其他年級不同。試問：其中最多可以有多少道不同的試題（指各個年級加在一起）？5命某城市設立199個9車站，并打算設立若干條公共汽車線路。要求：（1）從任何一站上車，至多換一次車就可以到達城市的任一站；（2）每一個車站至多是兩條線路的公共站。問：這個城市最多可以開辟多少條公共汽車線路？級培優競賽?更上層樓命有23命有23個不同的正整數的和是。5問：這23個數的最大公約數可能達到的最大值是多少？寫出你的結論，并說明理由。命兩個偶數的倒數之和與兩個奇數的倒數之和相等，這樣的偶數對和奇數對要求不同的偶數和奇數。問：滿足這個條件的偶數對的兩個偶數之和的最小值是多少？8.將16拆成若干個自然數的和，再求這些自然數的乘積，要使得到的乘積盡可能大，則這個乘積是多少？9.把200分2成若干個不互不相等的自然數的和，且使這些自然數的乘積最大，該積用乘法形式如何表示？10.個1自0然數的和等于20，0則2這10個自然數的最大公約數可能取的最大值是多少？級（選學）決勝總決賽?勇奪冠軍從123…，這 個自然數中，最多可以取多少個數，使所取出的數中，任意兩個數的和是10的0整數倍？設自然數有下列性質：從，，，…，中任取個不同的數，其中必有兩個數之差等于7這樣的最大不能超過多少？設XXX…X（一）X,若數的尾數恰有個邊續的零，則的最大值是多少？派 是一個自然數，N是一個整數的平方，N是一個整數的2 3立方，則的最小值是多少？※設XXX…X ?。其中，均為自然數，則的最大值為多少？巧總結本節我的收獲是： 。不足之處有：。智慧泉神奇的nn與計算機令數學家們著迷又頭疼的圓周率",終于在上個世紀遇上了強大的對手一一計算機。 年，人們首次用計算機把n算到了小數點第203位7，空破了千位大關。其后圓周率的計算迅速加碼，紀錄一再刷新，萬位、百萬位、千萬位大關相繼被突破。198年4，一對俄羅斯兄弟使用超級計算機將n值推進到小數點后0億位，為此他們獲得了首屆麥克阿瑟基金“天才獎”。他們的計算能夠永無休止地計算n的數值，兄弟倆中的格利高評論他們的工作說：“計算n值非常適合用來測試計算機的各項性能”。n與數字文化n無窮無盡而又無章可循，像一長串“魔鬼”數字，引來了眾多對它癡迷的“追n迷”，形成了獨具特色的n數字文化。每年的月日是舊金山的n節，這一天的下午1 ,舊金山的部分高層都要繞著當地的博物館轉圈，同時嘴里吃著各種餅，因為餅（）在英語里與n（i同音。在美國麻省理工學院，每年秋季足球比賽時，足球迷們都要大聲地歡呼自己最喜歡的數字：“3.15491”!荷蘭人在萊頓彼得教堂的墓地為n建立了一座不可思議的紀念碑，以此來紀念荷蘭數學家馮?瑟倫計算出了"的第位到位數。年諾貝爾文學獎得主維斯拉瓦?申博爾斯卡曾寫了一首名為《n》的詩歌，贊美其堅定不移地向著無限延伸，永遠也算不完。這是因為它不可能化作分數，而化為小數則無窮無盡且無章可循。n與圓石柱劉徽是公元3世紀魏晉時代一位頗負盛名的數學家。據說，有一天，劉徽信步走到一個打石場散心。他看到一群石匠在加工石料。石匠們接到一塊四四方方的大青石，先斫去石頭的四個角，青石變成一塊八角的石頭，然后又再斫掉八個角，石頭變成了十六角形。這樣一斧一鑿地下去，一塊方石就在不知不覺中被加工成了一根光滑的圓石柱了。劉徽幾乎看呆了。突然間，他腦子靈光一閃，趕緊回到房間，立刻動手在紙上畫了一個大圓，然后在圓里畫了個內接正六邊形，用尺子一量，六邊形的周長正好是直徑的3倍。然后，他又在圓里作出內接正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形……他驚喜地發現圓的內接正多邊形的邊數越多，它的周長就和圓的周長越接近，它的面積和圓的面積也越接近。他就用這種方法求圓周率，這就是著名的“割圓術”。利用割圓術，劉徽算出了圓的內接正一百九十二邊形的周長是直徑的倍，即157。157是人類歷史上第一次所求得的比較準確的5050n值。人們為紀念劉徽的功績，就把這個n值稱為“徽率”。后來南北朝時的另一位著名數學家祖沖之，在劉徽研究的基礎上，利用割圓術繼續推算，發現了一個并不復雜的奇民間分數生，它能相當細致地刻畫出圓周率n的值。這一偉大成就遠遠地走到了當時世界的前列，比