技巧貼士技巧貼士《圓》經典考點專題編者引言“圓”是中考十分重要的考點，由于牽涉條件較多，情況較復雜，所以必須要掌握一定的方法，才能做到快速且準確的求解.在這一專題中，主要從以下兩個方面來介紹解答有關“圓”的題目的方法和技巧.(1)補充圓的一些性質，如四點共圓、垂徑定理、弦切角定理、切割線定理等，希望能讓讀者通過了解這些性質，增加對有關圓的問題的敏感度，利于進一步解題.(2)綜合題，其涉及的熱門考點主要有：垂徑定理，計算面積，求函數關系，圓與直線、圓與圓的位置關系等.如圖4—1所示，如圖4—1所示，M、N分別是優弧BACBAC、劣弧BNC的中點,MEXAB于E,NFXAB于弧BNC的中點,BC于D,求證:滿分解答由M、N分別是優弧BAC、劣弧BNC的中點，知MNXBC于D,結合NFXAB于F,則B、F、D、N四點共圓，得NAFD=NBNM.同理，由MEXAB于E,MNXBC于D,知B、D、DEDEE、M四點共圓，得NBMD=NFED,所以△DEFs^BMN,則——=——BNMB要證線段的比例相等，首先想到證線段所在的三角形相似，顯然要證明ADEFs4BMN,而其證明的條件(兩對角相等)分別由兩次“四點共圓”得到.“四點共圓”是指同一平面內的四個點在同一個圓上.本題所使用的判定“四點共圓”的方法為題12后的“思維點評”中方法2,而其性質為“共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等”.B、F、D、N四點共圓是因弧BN所對應的NBFN=NBDN=90°,而B、D、E、M四點共圓是因弧BM所對應的NBDM=NBEM=90°.注意這兩對角韻寫法.ZAFD=NBNM和NBMD=NFED也是因為“四點共圓”的性質，即共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.題2如圖4—2(a)所示，以AABC的邊AB、AC為邊，分別向外作正三角形ABD、正三角Mace,其中dc、be交于f,求ndfe的度數.D圖4r21N,圖4-2（切滿分解答易知△DACsABAE,可得NACD=NAEB,由此可知點A、E、C、F共圓，連接AF,見圖4—2(b),所以NAFE=NACE=60°.同理可得NAFD=NABD=60°,所以ZDFE=ZAFD+ZAFE=120°.本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質以及四點共圓的性質的運用.本題實質上將NDFE分為了兩部分，分別求出特殊角.A、E、C、F共圓是因為NACD=NAEB,使用的判定是題12后的“思維點評”中的方法2.而NAFE=NACE=60°則和題1使用同一個性質.題3求證：三角形的三條高線交于一點.圖4-3卜)圖4-3(切滿分證明設4ABC的高線BE和CF交于H,連接AH交BC于點D,再連接EF,見圖4—3(b).現證三條高交于一點，只需證ADXBC即可，為此連接EF.在四邊形AFHE中，因NAEH+NAFH=180°,則A、F、H、E四點共圓，所以NAHE=NAFE.①同理，B、C、E、F四點共圓，所以NAEF=NABC,NAFE=NBCE.②由①和②得NAHE=/BCE,所以C、E、H、D四點共圓，則NHDC+NHEC=180°.又NHEC=90°,所以NHDC=90°,即ADLBC,所以4ABC的三條高線交于一本題反復用到四點共圓的性質.另外，三條高線交于一點的證明還可參見8年級專題4及本書專題2的其他證法.至于由NAEH+NAFH=180。，得至UA、F、H、E四點共圓的結論，其使用的方法是題12后的“思維點評”中的方法3,而B、C、E、F四點共圓則使用了方法2,有了/AHE=ZBCE,得至UC、E、H、D四點共圓，則又是使用了方法3,最后判定NHDC=90°則使用了性質(2),即圓內接四邊形的對角互補.題4如圖4—4(a)所示，在直角坐標系中，DABCD的邊BC在y軸上，頂點A在x軸上,OA=OB,點D的坐標為(點，出+1),以AB為直徑的圓P交AC于點Q.(1)求A、B、C三點的坐標.(2)求NACB的度數和OQ的長.(3)求CO、OQ與OQ所圍的陰影部分的面積.圖4-4口)圖圖4-4口)圖4—4(b)滿分解答(1)易證A、B、C三點的坐標分別為A(<3,0),B(0,—J3),C(0,1).c(D,n.⑵因為CM=u%B=1二所以/ACH=601在△COQ與△口1』中，因為ZCrQ=/ACB,/CQO=/BIO、Q、A、B四點共圜），所以△[3s△C4B,可得黑=先.JTlJlJjT-C^又因AB=瓜CC=\,AC=，所以CQ=*⑶鼠加=畀＞8=]x（W十1）乂4=之半里而|^一噂）】所以S&tDQ=連接HXPQ,因為ZGAO=30"，所以4妒Q=60',a皿=爭處=V，Smcfq—卷nX（產=套x（喙）=-j,，所以5理卻處=S.5—（S用機e—8^￡叫）=3+_（匹_.:y3j_3“二2r—4v'3技巧貼士這是一道幾何運算題，由于圖形放置于直角坐標系中，因此可以充分利用坐標來進行解答.由四邊形ABCD是平行四邊形可知其對邊相等，而點D的縱坐標為+1,因此BC的長度也應該是+1.而點D的橫坐標為，且OA=OB,因此OB的長也是%：3，于是OC長應是1.由此可推得A、B、C三點的坐標.顯然也可求得NACB,而OQ的長則可通過△COQs^CAB求得，陰影部分的面積則可通過SAcoq與弓形面積的差求出.第（2）問中用到了O、Q、A、B四點共圓的性質，即四邊形的一個外角等于這個內角所對的角，在圖4—4（b）中，可表示為NCQO=NB,這是證明△COQs^CAB的關鍵.另外，求幾何圖形的陰影部分的面積一般有兩大類：一類是陰影部分是規則圖形，直接用公式代入；另一類是不能直接用公式計算的，我們稱它為復合圖形，這時必須分清它是由哪幾種規則圖形經過組合而成的，然后分別計算，最后再組合起來.本題就是采用復合圖形計算方法來求解的（關于不規則圖形面積的計算將在專題6的題16中提及，本專題的題13、題14也將涉及這部分內容）.題5如圖4—5所示，AB是。O的直徑，AC切。O于點A,且AC=AB,CO交。O于點P,CO的延長線交。O于點F,BP的延長線交AC于點E,連接AP、AF.求證：(1)AF〃BE.(2QACPMFCA.(3)CP=AE.滿分解答(1)由AB是直徑，得NBPA=90。，同理因NPAF=90°,進而有NBPA+NPAF=180。，所以AF〃BE.(2)因為AC切。O于點A,所以NCAP=NAFC(或由弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角知NCAP=NAFC),而ZC是公共角，所以△ACPs^fca.(3)由AF〃BE,得NCPE=NAFC,所以NCPE=/CAP,結合NC是公共角，有△CPEs^CAP,所以CP=PE,CAAP再由AB是直徑，知NBPA=90°,易證△AEPs^BAP,所以AE=PE，又因為ABAPCPAEAEab=ac,所以ca=—=^^,即CP=AE.技巧貼士本題中涉及的性質不少.通過本題,除了了解其中的定理、性質,更要對題目的結構有所總結.一般情況下，前幾問都會為后幾問作鋪墊，例如本題中，有了人尸〃8￡,自然聯想到許多角度相等，這為等量代換提供了依據；而△ACPs^FCA,則暗示了后面一小問的立足點仍舊是相似三角形，并且要從“二次相似”入手，尋找CP=AE各自所在的三角形，前者自然在△CPE'AACP中，后者則更典型，如果結合之前直角的結論，AE顯然存在于“射影定理”中.現在既要有CP=AE,又要有△CPE,△ACP,自然所有的焦點都集中在△CPE.AACP,發現NC是公共角，有了一個角，聯想到之前的結論，問題還是需要集中在“角”和“相似三角形”上，所以用等量代換，得到△CPEs^CAP,接著將表達出CP所在的式子，發現CP=PE,PE這個式子已經很好地說明了“射影定理”的存在，所以自然將CAAPAP

PE———作為等量代換，“二次相似”就可以了.AP圖4-63如圖4—6(a)所示，直線MN和。O切于點C,圖4-63AB是。O的直徑，AE，MN、BFLMN,且BF與OO交于點G,垂足分別為E、F,AC是弦.(1)求證：AC平分/BAE.(2)求證：AB=AE+BF.(3)求證：EF2=4AE?BF.(4)如果。O的半徑為5,AC=6,試寫出以AE、BF的長為根的一元二次方程.滿分證明(1)如圖4—6(b)所示，連接BC,則NACB=90°,NACE=NABC.由NEAC=90°—NACE,NBAC=90°—NABC,知NEAC=NBAC,即AC平分ZBAE.圖…㈤圖4-圖…㈤圖4-(2)如圖4—6(c)所示連接OC,則OCLMN.因為AE±MN,BFXMN,所以AE〃OC〃BF.在梯形AEFB中，O為AB的中點，所以OC為梯形的中位線，于是有AE+BF=2OC=AB.⑶在RtAAEC和RtABCF中，因為NEAC+ZACE=90°,而NBCF+NACE=180°—NACB=180°—90°—90°,所以NEAC=NBCF,RtAAEC^RtACFB,AE=EC,FCBF即AE?BF=EC?FC,而EC=FC=；EF,所以EF2=4AE?BF.(4)因為Rt^AECsRt^ABC,所以AC2=AE?AB,AC2又因為AB=10,AC=6,所以AE==.AB同理可得BF=,AE+BF=10,AE?BF=.所以以AE、BF的長為根的一元二次方程為x2—10x+=0.技巧貼士第(1)問中，重點是判斷NEAC=NBAC,由弦切角的定理(同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等)便可得到．第(2)問比較容易入手，由C為切點可聯系到OCLMN,再由梯形中位線定理得到證明．第(3)問可以通過倒推法，從所要證明的結論入手，EF2=4AE-BF可以變形為EF-EF22=AE-BF.再由EC=FC=2EF,得到AE-BF=EC-FC,很容易想到證明所含邊的兩組三角形相似．注意,對于本題的圖形結構,還有以下結論．(1)ZEAC=ZBAC,ZBCF=ZCAB.(2)AC平分NBAE,CB平分NABF.(3)ZCBG=ZCAG,ZCBA=ZCGA.(4)AEOF是等腰三角形，題7如圖4—7(a)所示，。01和。02交于D、E,A在。O1上，AD、AE分別交。02于B、C.求證:AOJBC.￡圖4-7隙)B4-7(b)￡圖4-7隙)B4-7(b)滿分解答如圖4—7(b)所示，連接DE,得NADE=NC.設AO1交。O1于F,由于同圓中同一條弦所對的同側的圓周角相等，所以NAFE=NADE.又NAFE+NFAE=90°,所以NEAF+NC=90°,即AO1XBC.技巧貼士要證兩直線垂直，只要證這兩條直線與斜邊的兩夾角的和等于90°即可，而AOi所在直線存在直徑，通過直徑馬上聯想到直徑所對的圓周角等于90°,兩次出現了90°,通過“圓的內接四邊形的一個外角等于內對角”進行等量代換，使得NEAF+NC=90°,即可得證.還要提醒一下，O1O2垂直且平分DE.這個性質十分重要，后面的題直接用到該結論，這個性質實質是“垂徑定理”，所以，我們經常作的輔助線就是連接公共弦.若半徑分別為6cm和5cm的兩圓相交，且公共弦長6cm,則。01和。02的圓心距為滿分解答由垂徑定理得AH=；AB=3,所以由勾股定理得0]H=JO1A2-AH2=4cm.同理可得02H=3\：'3cm,所以O1O2=O2H+O1H=(3V3+4)cm或OQ2=O2H—O1H=(3<3—4)cm.綜上所述，兩圓的圓心距為(3、；3±4)cm.技巧貼士本題分“弦固定”，“兩圓相交”兩種情況，利用“垂徑定理”計算.事實上，本題如果只計算出0102=02H+01H，馬上便可以得到0102=02H—01H,具體解釋參考專題6的題1、題2.本專題中的題26也屬于這種分類討論的情況.題9如圖4—9(a)所示，已知△ABC是。0的內接三角形，ADXBC于點D,且AC=5,DC=3,AB=4,則。0的直徑等于.圖4r圖4r刎bj滿分解答過點A作圓的直徑AE,交。0于點E,再連接BE,見圖4—9(b).在Rt^ADC中，根據勾股定理，得AD=JAA2—=4.又因為AE是圓的直徑，所以NABE=90°,所以NABE=NADC.又因為NC=NE,所以△ABEs^ADC,所以AB：AD=AE：AC.AB?AC4<2x5因此，AE===5V2.AD4技巧貼士遇到題目中出現圓的直徑的情況，請記住本題的輔助線添加方式：連接AO并延長到E，再連接BE，作出。O的直徑，再利用三角形相似解答.當然，本題還有多種解答方法，有興趣的讀者可以自己試試！題10如圖4—10(a)所示，A、B、C在。O上，NABC=2NC,BP平分NABC,AE±BP于E,求證：AE過圓心O.滿分證明證法一：延長BP交。O于點F,見圖4—10(b).因為NABF=-NABC=NC,所以AB=AF,2由垂徑定理知，AE過圓心O.證法二：作切線AG,G、B在AC同側，見圖4—10(c).圖4-1酰由NGAB=NC及NABF=，NABC=NC,可知AG〃BE.2又因為AE^BP,所以AE±AG于點A,再由垂徑定理知AE過圓心O.技巧貼士遇到要證“一直線過圓心”的情況，就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線，所以補齊圖中圖形，由垂徑定理即可得證.要說明的是，NGAB=NC是由題6中所提及的弦切角的定理（同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等）得到.在題11中，我們還會用到這個定理.題11切割線定理的證明：過。O外一點P作圓的切線PC,割線PBA,求證：PC2=PA-PB.圖值）圖圖值）圖4-1乂5滿分證明連接AC和BC,見圖4—11（b）,由于NPCB=NPAC,而NP公共，所以△PCB^^PAC,故PC：PA=PB：PC,艮口PC2=PA?PB.技巧貼士弦切角定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角（弦切角就是切線與弦所夾的角）.弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半，NPCB=NPAC便是由弦切角定理得到.

弦切角定理推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.另外，本題關于切割線定理的結論后面會用到，最好能記住并熟練應用.E4-12題12E4-12設0D為Rt^MOP斜邊PM上的高，DCLOP,以O為圓心，OD為半徑畫半圓，分別交PO及其延,一一一一，、一211長線于A、B,見圖4—12.求證：——=——+——.PCPAPB滿分證明設圓的半彳空為小區4RQ.PBX=門則有P/=FA?PE=□*8①，在RtdHJD中.訝P伊—PC?PD=。?卬②而m=萬一/，「=y.所以田=.匕上代人②得白?十二”瓦4-66所以2=￡型=上+工，即2=X_1<ababPCPAPB-技巧貼士題11已經給出了切割線定理，本題是切割線定理囹4-：3的應用.再次強調切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.至于本題的解答，關鍵在于結論的處理.本題的結論能否讓大家回憶起這樣的結論：如圖4—13所示，AB〃CD,AC、BD交于E,EF〃CD交BC于F,1EF11EF+ABCD如圖4—14所示，在^ABC中，DE〃Bc,CD、BE交于點O,過點O作MN〃BC,分別交AB、AC于點M、N.求

證：——+——=—MNBCMN這些結論都是本書專題1第3期練習中的問題，它們都有一個共同點，就是集中于某一條邊上，如—+—=—便集中在公共邊BC上，而本題中的結論是將問題的焦點集ABCDEF中在公共邊BP上，可見，許多問題之間都是相互聯系的!思維點評以上幾題主要是以圓的概念和性質為基礎，研究其在解題中的應用.在學習中，要做到以下幾點.(1)掌握圓周角定理、弦切角定理是推導圓中有關角相等的關鍵.(2)利用圓的性質和勾股等與三角形的邊角關系相結合是解決圓中計算問題的常用方法.(3)熟記圓中一些常用輔助線的作法.(4)重視圓與代數、三角知識的綜合運用.題1到題11主要是圓的一些基本性質在解題中的應用，如解決題5和題6的弦切角知識；題7所用到的“同一條弦所對的同側的圓周角相等及圓的內接四邊形的一個外角等于內對角”等性質；題11、題12的切割線定理的應用.以上的一些知識雖然屬于超綱的內容，但讀者通過了解，能加深對圓問題的認識，從而有利于更好的解題.下面將闡述“四點共圓”及“垂徑定理”，它們在解題時非常重要且應用最多.由題8至題10可知，垂徑定理為：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑圖4-15平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧.圖4-15需要注意以下幾點(見圖4—15).(1)虛線部分為遇到“垂徑定理”必用的輔助線.(2)“勾股定理”經常與“垂徑定理”一起使用.(3)題7、題8中，公共弦的技巧也經常出現.而從題1至題4可知，四點共圓這一技巧主要用于得

出角相等，進而為相似提供幫助.四點共圓有以下三個性質：（1）共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.（2）圓內接四邊形的對角互補.（3）圓內接四邊形的外角等于內對角.以上性質可以根據圓周角等于它所對應弧的度數的一半進行證明，四點共圓常用以下方法進行證明.方法1：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在該底邊的同側，若能證明其頂角相等（同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑）.方法2：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓.還要注意，同斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓，其斜邊為圓的直徑.圖47火0）圖47火0）如圖4—16（a）所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,分別以AC、BC為直徑畫半圓，交于D點，則圖中陰影部分的面積為.（結果保留加，注意有三塊陰影面積）滿分解答連接CD,則有S=4s甲甌—4s三謝形=2s圜—導正方舟

BB圖BB圖4?16(b)圖4=M(€)圖技巧貼士仔細觀察圖4—16(a)可以發現，這個圖形可以看成是兩個以AC、BC為直徑的半圓,以如圖4—16(c)和4—16(d)所示的位置擺放(即將陰影部分重新組合).題14如圖4—17(a)所示，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，分別以AB、BC、CD、DA為半徑畫圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積.滿分解答技巧貼士如圖4—17(b)所示，圖4—17(a)中陰影部分是由四個半圓的重疊部分形成的，將四個

半圓面積相加后，減去正方形的面積，這兩部分面積的差就是陰影部分的面積.題15如圖4—18(a)所示，已知^ABC的內切圓0和各邊分別相切于點E、F、G,ZBAC一一8=60,AO的延長線父BC于D,S^abd=gS^adc，AC=5.(1)求。O的面積.(2)求AD的長.滿分解答(1)因為。O為4ABC的內切圓，D為AO的延長線與邊BC的交點，所以點D到AB、AC的距離相等.又因為SAABD=5sAADC,所以AB=5AC又AC=5,故AB=8.如圖4—18(b)所示，現過B作BH上AC于點H.由NBAC=60°,AB=8,得AH=4,BH=4、*3，于是CH=1,從而BC=bHH2+HC2=7.j(AB-iBC設8。的半徑為f,設為S.%固—*BH=1073jj(AB-iBC卜AC)*r,所以r=v'3，于是&山=-=Mm(2.)由07也--0、用書j十5人”/$曰迪＞=＞與川x：*得到力而以皿一JAD?AC，sin3U”=搟AD,所以必皿=?X?AD=芋AD,因上4-5.44此&J—y^S^abc—梨J3,13100技巧貼士要求圓的面積必然要求出圓的半徑長.由公式S^abc=1(a+b+c)?r聯想到如能求出4ABC的三邊長以及它的面積，則半徑r就可得到.為此，分析已知條件S△abd=8saadc,如果這兩個三角形分別將AB、AC作為底的話，則它們的高是相等的，所以AB=5aC=8.又為了求出BC的長，則要添加輔助線構造直角三角形，為此可過點B作BHLAC,垂足為H.由于NBAC=60°,AB、AC已知，因此可通過勾股定理求出BC,而AD的長可以通過面積法來求得.面積法在數學證明或計算中常被采用，它的依據是圖形在運動或割補的過程中面積的不變性．因此，我們可以借助于同底等高、等底等高等手段構成等積變形，給證明或計算帶來方便．當然，做一點說明，本題中事實上已經涉及了求面積的一個三角比公式，即在4ABC中，S△ABC=2AB?AC.sinA=2AB?BC?sinB=2BC?AC?sinC,本公式在此不做證明，證明時僅需要作相應的垂線即可，但請讀者注意一下，甚至可以記憶一下！題16(2022年浙江省嘉興市中考)如圖4—19(a)所示，已知。O的半徑為1,PQ是。O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個三角形4A1B1cl的頂點A1與點P重合，第二個三角形4A2B2c2的頂點A2是B1C1與PQ的交點，…，最后一個△AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上.(1)如圖4—19(b)所示，當n=1時，求正三角形的邊長a1.(2)如圖4—19(c)所示，當n—2時，求正三角形的邊長a2.(3)如圖4—19(a)所示，求正三角形的邊長an(用含n的代數式表示).Qffi4-19(b)滿分解答⑴設0與B￡交于點D,連接。61,見圖則8二AyD—041=喙幻一1.在口心叫口中，弼=BQ+f辦，即1'弓的/十嚕對—1尸.解得的=圖4-19")圖4-l%e)圖4-19(。⑵設PQ與&G交于點E,連接OBw，見圖4，則年。2A血一=再S-L在用/0汨中，澗=B產+西，即1』（品—（通電一廳,解得由=87313,⑶設股與Eq交于點F,連接小〃見圖4-19①，則沖—在RtAaB在RtAaBBF中OBi=比戶IQF3即I+（名園.一1『，解得技巧貼士本題是找規律的題目.用到了特殊角的三角函數值和勾股定理,題17如圖4—20（a）所示，AB是。O的直徑，過A作。O的切線并在其上取一點C,使AC=AB=d,連接OC交。O于點D,BD的延長線交AC于E,求AE的長.滿分解答控接AD■見圖4-2。6),則/1=/=/機

所以△⑵Es&R。,則器=奈①又因為ZVLDEs△召口八,則倦二瑞.②由①、②及"=",可得AE=CD.又因為△CDEs△<』!>,所以普=用，即AE2=E2=這*g設AE—:r,則CE=d一于是d=+3—工），即有AE=h一在胃匕（（負值已舍去）.技巧貼士在題5中我們就提到，要想解決好問題，需要合理的聯想、結合問題具體分析，多聯想已經學習過的性質和內容，多思考，多練習，在看完題5的一些性質和特點后，還能讓大家想到哪個題目呢？答案就是本題，因為兩個題目都有直徑（都是AB）,都有直徑等于切線（都是AC=AB）,并且在圖形上都有點相似，只是題5提供的條件更多而已.而且觀察發現兩個題目都有△CDEs^CAD,Z1=Z2=Z3=Z4條件也都是因為“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”.再提醒一下，本題的結論AE=W二1d，除了“設參”和“方程”的技巧外，還在2于這個結論和黃金分割有關聯，可見在猜想答案時，除了1、0這些特殊點，還有黃金分割、比例中項這些情況（比例中項的情況請見本書專題1第4期練習6）.題18圖4?卻也）如圖4—圖4?卻也）O為坐標原點，P是反比例函數y=6（x>0）圖像X上的任意一點，以P為圓心、PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B.（1）判斷點P是否在線段AB上，并說明理由.（2）求^AOB的面積.

(3)Q是反比例函數丫=9(x>0)圖像上異X于點P的另一點，請以Q為圓心，QO為半徑畫圓，并與x、y軸分別交于點M、N,連接AN、MB.求證：AN〃MB.滿分解答(1)因為點口在。P上且/.，篁出二9。二故是?P的直徑，所以點P在線段匕(2)過點F作PPI_L工軸,PP?_Ly軸.由題意可知,PP、PPg是AAOB的中位綜故區q綜故區q?可=,X2PPX2PP=12.L.S4-21(b)S4-21(b)圖4一11(6⑶如圖4二210所示，連接MN,則過點Q,且SaioN=%s=12,所以04?08=嫖=窯UMiTjD因為/依洞=NMOH,所以△AINsZ\WB.則ZCHN=/OMB，因此AN//MB.技巧貼士本題的結論，尤其是第(3)問，能否讓大家聯想到什么題目？回憶如下的題目：如圖4—22(a)所示，已知正方形OABC的面積為9,點O為坐標原點，A在x軸上，C在y軸上，B在函數y=—(k>0,x>0)的圖像上，點P(m,n)是x函數y=k(k>0,x>0)圖像上異于B的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足E、x

F.設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面積為S.⑴求點B坐標和k的值....9,(2)當S=—時，求點P坐標(有圖4—22(a)和圖4—22(b)兩種情況).21以上題目是8年級專題3的題4,當時點評到：該題將反比例函數與幾何面積相結合，總結得出以下結論.⑴反比例函數上任一點與原點所形成的矩形面積為k，如本題中的矩形OABC、OEPF面積皆為k.(2)反比例函數上任兩點與原點所形成的三角形面積與這兩點向x、y軸作垂線所形成的梯形面積一致.(3)BP//CE//AF.其中第(3)條就是題18所聯想到的性質，當然，現在第(3)問的關鍵在于通過面積，結合公共角從而得到三角形相似，進而得到平行線.無論如何，平行線在初中學習階段總要不可避免地和相似三角形、面積相等的轉化，還有一次函數斜率相等這些情況聯系在一起.題19已知/人08=60°,半徑為3cm的。P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C.⑴當。P移動到與邊OB相切時，如圖4—23(a)所示，切點為D,求劣弧CD的長.

(2)當。P移動到與邊OB相交于點E、F時，如圖4—23(c)所示，EF=4cm,求OC的長.滿分解答(1)因NAOB=60°,如圖4—23(b)所示，連接DP、CP,半徑為3cm的。P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C,故NDPC=120°,則劣弧-g120兀x3八CD的長為=2兀cm.180(2)OC的長可分以下兩種情況.圖4-23|8)連接PE、PC,過點P作PMXEF圖4-23|8)連接PE、PC,過點P作PMXEF于點M,延長CP交OB于點N.圖4-筋傳〕圖4-23⑹圖4-23⑷因EF=4J2cm.故—2戲cm.在RtAEPM中」小1=，一一(2展了=IcnL又因為乙乜加=6。二則上網乂===小+用=5g在RtAOCN中=NC?tanSO'=5X喙=醇0mt②如圖4-23(d)所示，當圓心在3的左側時，連接2下,改,過點？作P同_1即于點交EF于點N.由①口「知，PN=2cm,NC=PC-PN=lent在RtAOCN中，CC=NC?麗30"=1=*皿JJ綜上所述,0C的長為嗜cm或點cm,0J

技巧貼士(1)根據NAOB=60°,半徑為3cm的。P沿邊0A從右向左平行移動，顯然弧CD所對應的圓心角為特殊角，利用弧長公式得出弧CD的長即可.(2)根據OP移動到與邊OB相交于點E、F,利用垂徑定理，由EF=4cm,得出EM=2cm,這是前提.此題主要考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理和弧長計算公式的應用，根據已知得出運動時有兩種情況，分類討論是解決問題的關鍵.題20如圖4—24(a)所示，ZABC=90°,以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E,與AC切于點D,AD=2,AE=1.(1)求△AOD和ABCD的面積.(2)若F是線段BE上任一點，FG±AC,G為垂足，設CG和OF的長分別為x和y,試寫出y與x之間的函數關系式(不要求寫出x的取值范圍).圖4-24(h)圖4-24(h)滿分解答〔】)由切割線定理可得川￥即爐=1乂。+2反?),解得=TOC\o"1-5"\h\z因為8_LAD廝以以皿=得AD■8=AD?3=今占￡Z因為3=CB,在RtZiABC中,/正工十國＞=Ad,所以爐+裁苧=(2卜比/,解得困=3,而就=5.過D作工汨1瓦,垂足為心因為需=祟，所以OH=”于是6s-JJL-E-J/!(_/3?qh』單.25■＜2)如圖4-243)所示，當點F在0』之間，即當AO＜AFAB時，因為',2+y''△八網5少。8,所以蓼=黑，即2「一=與'于是有了=—［工+竽.4rlL2T.J.)JQTLT：5同理，當點F在EQ之間，即當,正＜加＜聞時,有鼻、上"即”=54515■A-IMHH-44技巧貼士計算4BCD的面積時，除了用底乘高的一般方法之外，也可通過相似三角形面積的比來求.至于題中所提及的切割線定理和CD—CB等的性質，則不再強調.如果本題要求求出x的定義域，又該如何進行呢？為此，做以下說明.首先，求出的函數有兩個不同的表達式，它是對點F的不同位置而言的，因此也應該分別求出定義域，我們所采用的方法是通過特殊位置來求解.比如，對第一種情況，當AOWAFWAB時，將點F在0、B之間時的x的值求出

來.顯然，當點F與點B重合時，有BC2=CG?AC,因此CG=gS=2即xN2.當點TOC\o"1-5"\h\zAC555159F與O重合時，x=3,于是對函數y=-一％+,x的取值范圍是—WxW3.445而當F在O、E之間時，可通過點F與點E重合求出x,這時有AE-=AC,AG=AGABAE?AB421515_=-,因此x=CG=AC—AG=—,故對函數y=—%+而言，x的取值范圍AC5544是3<xW21.5綜上所述，特殊值為定義域提供了很好的做法.在題21中，將要涉及特殊值的做法，希望讀者了解.題21如圖4—25(a)所示，在直角坐標系中，點O'的坐標為(2,0),。0'與x軸交于原點O和點A,其中B、C、E三點的坐標分別為B(—1,0)、C(0,3)、E(0,6),且0<6<3.(1)求點A的坐標和經過B、C兩點的直線的解析式.(2)當點E在線段OC上移動時，直線BE與。O'有哪幾種位置關系？求出每種位置關系時b的取值范圍.滿分解答(1)因為點O'的坐標為(2,0),00與x軸交于原點，A點坐標是(4,0).圖4-25㈤所以OO'的半徑為2,于是得到由B、C的坐標知BC圖4-25㈤所以OO'的半徑為2,于是得到圖4-25㈤圖”到。圖4-25(山(2)設RE與㈤。相切于點M,連接則因為RtZkGBEsRi&VffiO',所以原=券,而C/M=2,QB=LW="『&一口^^.—］亍，所以耍=即當右=等時，直線BE與0(7相切.由于0＜方＜3.，顯然當0＜b＜筆時，貪線BE與⑷。相交；當經〈3D0時，直線BE與曰。相離.技巧貼士本題的關鍵是求出直線BE與。O'相切位置時b的取值范圍，它用到了數學中對特殊值(或特殊位置)處理的思想方法.當特殊位置(本題中的相切)解決以后，其他位置只要在此基礎上移動即可求出b的取值范圍.如圖4—25(b)、圖4—25(c)、圖4—25(d)所示，分別表示相切、相離、相交的情況，先求出相切時的臨界值，在此基礎上求出相交、相離的情況的取值范圍.特別要注意的是E點只能在線段OC上移動，故在求相離、相交時要留意.題22如圖4—26(a)所示，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點D為邊BC上一動點(不與B點重合)，過點D作射線DE交AB邊于點E,使NBDE=NA,以D為圓心、DC長為半徑作。D.(1)設BD=x,AE=y，求y關于x的函數關系，并寫出定義域.(2)當。D與AB邊相切時，求BD的長.⑶如果。E是以E為圓心、AE長為半徑的圓，那么當BD為多少時，0D與。E相切？4-26{a)C圖4-26切？4-26{a)C圖4-26㈤滿分解答⑴因為/BDE==/B,所以△即EsZ\3AC,則Fb___￡4nn__5_gE|4=r6^L-25BE一SU'即不內~6'所以，一§一后斗口飛'(2)設切點為H,如圖「1-施小)所示，連接DH,則工歸-6—4過點A作八M工BC于M.因為AB=AC=5,0C=6,所以RM=3tAM=1.而黑=sinB=禁廝以匕*=1得上=乎JOU/\d.ta5(3)因為△BDEsZXBACAB=41所以戊：=BD=J，而。口與0E相切,所以有以下三種情況.①。E=&+心,即工-6一工+5—3,得主=工□1b②DE—7?口一［即7=6—1r—5—22rt得jc=金.③UE=Ke—Re,即工工5—2之一6+為無解.□因為胃=需＜:以=J(僧,所以當BD=需或4時,00與0它相切.04g104技巧貼士第(2)問是直線AB與。D相切，根據題意列出D到AB的距離d,r=CD為已知，若OD與AB邊相切，則可根據d=r建立方程.當然，本題主要通過銳角三角比進行，也可以利用相似三角形證明.第(3)問根據題意列出D、E兩點的距離d,r=CD,R=AE,若。D與。E相切，依據

d=R+r或R=|H-H建立方程，求解檢驗便可.總之，對兩圓相切類問題需要嚴格按照以下三步解題：(1)列出兩個或三個條件(d,R,r).(2)根據題意列出方程并求解(d=r,d=R+r,d=R-r|).(3)檢驗解是否存在.按照以上步驟做題，就可不必畫圓也能順利求解，并且一目了然.題23已知。O的直徑AB=8,OB與。O相交于點C、D,OO的另外一條直徑CF與OB相交于點E,設。B的半徑為x,OE的長為y.(1)如圖4—27(a)所示，當點E在線段OC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域.(2)當點E在直線CF上時，如果OE的長為3,求公共弦CD的長.(3)設。B與AB相交于點G,試問AOEG能否為等腰三角形？如果能，請直接寫出弧BC的長度(不必寫過程)；如果不能，請簡要說明理由.滿分解答(1)連接BE,因為。O的直徑AB=8,所以OC=OB=2AB=4.因為=的所以=因此△BCEsAOCR,則信=BCOC,因為CElOC-CE-4一刈所以=+，因此》關于e的函數解析式為3=4一[]、定義域為0＜工＜4,⑵作物I.CT.垂足為M,見圖4-27(b),因為(X是⑷H的弦，所以EM='產設兩圓的公共弦6與AB相交于H,則AB垂直平分CD,所以CH=OC?sinZCOB=0B?可口/COB=RW,O當點E在鏤段0c上時，曰l=/cE=/（8—QE）=*X（4—3）=親所以（w=em+，？=3+3=[mbm=/函由一avp三小一行了二空.因此（T）=2CH=2EW=J]%②當點E在線段OF上時,EM=[CE=2（8+儂）=1x（4i3）-乙乙占it所以CM=￡M_0E=._3=L則/聲=^^=/*一（4/=嗎、&&V\占/.占因此⑦=2CH~2BW=3防.綜上所述tCD=-/15或3笈（3）△口￡!；若為等腰三角形.弧訪的長度為或寫心①當點在在線段0（7上晡,8=￡0,設/以上=&,此時如圖4-27（日）所示,/HEC=Z.C=Z.CBO=1即"一3佻由等腰△OEG、等腰△BCE得出），則生0OBC中國+（180由一3分十UW—36）=184,圖6=36”,所以根據弧長公式，弧壇的長度為懸.2西=孺乂2""=9…②當點E在線段QF上時,3=GE.設/BXi=以在△RGE中,/C=ZCEB,則38—1就=時一切出=（苧丫,所以根據弧長公式.弧壇的氏度為:舄陛'口'.■■■■：?….?「?，"2/='1J-X2X4n」"工ooU/圖4-27⑷S4-27(e)技巧貼士第(1)問主要是利用相似三角形解答，顯然求x、y的關系就是在x、y所在的三角形中尋找相似三角形的關系.對于第(2)問，有幾點必須注意：①連接CD，這是因為要求該線段的長，在題7、題8中就已經強調，對于公共弦，經常需要連接，②根據性質，自然先求CH，尋找CH所在三角形為Rt^OCH,那么繼續使用相似三角形或利用三角比sinZCOB即可，此時便可發現CH=BM.第(3)問是在第(2)問的基礎上進行，通過設參、建立方程，從而解決問題.當然，對于等腰三角形，要記得分類討論.題24(1)如圖4—28(a)所示，△ABC的周長為l，面積為S,其內切圓圓心為O,半徑為r,求證：r=里.l(2)如圖4—28(b)所示，在4ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A(—3,0),B(3,0),C(0,4),若4ABC的內心為D,求點D的坐標.(3)與三角形的一邊和其他兩邊延長線相切的圓叫旁切圓，圓心叫旁心，請求出⑵中的4ABC位于第一象限的旁心的坐標.c圖4-28(4c圖4-28(4滿分解答口）如圖4-空所示，連接QA、QB、3，設￡^ABC的三邊分別為*3、匚，則S=E@c+SdBC+S&MB=4-5r+iar+-1-cr=曰（口+8+c）-=W上■￡a■j■人所以r一竿.⑵因為丹（-3.0）,B（3,CO,C（0,4）,所以AB=6,AC=BC=5"=AB+/1C—BC=16,S=二?3=12.由⑴得==竿=綜絲=[,所以q（o號）,（3＞設NE和ZC的外角平分線相交于點「■則點P為旁心t設M為/AC延長線上一點.因為/吹B=2/_PCB=2/CBA,所以工PCB=ZCBA,所以CP〃AB.如圖4—28（d）所示，過點P分別作PE，x軸于點E,PFLCB于點F,貝ljPF=PE=CC=4,在Rt^PFC中，PC=PF

sin/PCFPF

sin/CBO4…，=5，所以P(5,4).0.8圖4-2機d)技巧貼士本題中重要公式仍為S=—(a+b+c)?r=Lr.22第(3)問還有另一種解法：過點B作NB的外角平分線交AD的延長線于點P,則點P為旁心，過點P作PE±x軸于E,連接BD.令P(a,b),由N1=N2、N3=N4得/DBPPEb3=N2+N3=N1+N4=90°,所以Rt^DOBsRt^BEP,故——=——=—，化簡得bBEa-33233=2a—b①，由Rt^AODsRt^AEP,得=/，化簡得2b=a+3②.聯立①、②，解a+3b得a=5,b=4,所以P(5,4).對于本題，還要說明一點，建立直角坐標系，通過數形結合的技巧來解決綜合題，是初中數學中十分好的一種方法，在題26的解答中，我們會再次用到這種方法.題25如圖4—29(a)所示，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,點E是CD上的動點，以AE為直徑的。O與AB交于點F,過點F作FGXBE于點G.(1)當E為CD中點時，①tan/EAB的值為:②求證：FG是。O的切線.(2)試探究BE能否與。0相切？若能，求出此時DE的長；若不能，請說明理由.滿分解答AD⑴①tanNEAB=tanNAED==—.DE5②在矩形ABCD中，AD=BC,ZADE=ZBCE,又CE=DE,所以△ADEs△BCE,貝UAE=BE,ZEAB=ZEBA.連接OF,則OF=OA,所以NOAF=NOFA,OF〃BE,因為FGLBE,所以FGLOF,因此FG是。O的切線.(2)若BE能與。O相切，因為AE是。O的直徑，所以AELBE,則NDEA+NBEC=90°.又NEBC+NBEC=90°,所以NDEA=NEBC,則Rt^ADEsRt^ECB,所以ADDE=.ECCB設DE=x，則EC=5-x,AD=BC=3,得—^==9，整理得x2—5x+9=0,因為5—x3b2—4ac=25—36=-11<0,所以該方程無實數根，所以點E不存在，BE不能與。O相切.技巧貼士證明FG是。O的切線的另一種解法提示：連接EF、DF,證四邊形DFBE是平行四邊形，如圖4—29(c)所示.第(2)問，還有另一種解法：若BE能與。O相切，因為AE是。O的直徑，則AE上BE,NAEB=90°.設DE=x，則UEC=5—x,由勾股定理得AE2+EB2=AB2,即(9+x2)+[(5—x)2+9]=25,整理得X2—5x+9=0,因為b2—4ac=25—36=—11<0,故該方程無實數根，所以點E不存在，BE不能與。O相切.綜上所述，對于第(2)問，無論哪種解答方法，其基本做法都是設參，接著利用其所在的圖形的幾何性質來進行解答，第一種解法是相似三角形的模型(此處題目中給出的圖形和模型略有區別)，第二種解法則利用了勾股定理，這個很容易想到，因為有了直角的暗示.最后還要提醒一下，請不要想當然認為BE能與。O相切，如果BE真能與。O相切，那NAELBE,此時再畫。O,發現永遠無法畫出符合條件的。O.題26在Rt△ABC中，ZACB=90°,tanZBAC=1，點D在邊AC上(不與A、C重合)，2連接BD,F為BD的中點.(1)若過點D作DELAB于E,連接CF、EF、CE,見圖4—30(a).設CF=kEF,則k一.(2)若將圖4—30(a)中的4ADE繞點A旋轉，使D、E、B三點共線，點F仍為BD的中點，見圖4—30(b),求證：BE—DE=2CF.(3)若BC=6,點D在邊AC上靠近點A的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD的中點，求線段，CF長度的最大值.

ffi4-30(h)BQ4-30(bJffl4-3fl(c)ffi4-30(h)BQ4-30(bJffl4-3fl(c)備用圖滿分解答(1)在RtADBC中，CF=|dB；在RtADBE中，EF=：DB,所以CF=EF,因止匕k=1.(2)如圖4—30(d)所示，因tanZBAC=1，則AE=2DE.2除了對頂角，還已知DELAB,所以NACB=90°,NAEB=90°,所以NEAC=NCBF.如圖4—30(e)所示，構造△CEAs^CGB,此時NECG=90°.因為AC=2BC,所以AE=2BG,BG=DE,而點F為BD的中點，在BD的兩端同時減去等量(即BG=DE),則點F也為EG的中點.結合NECG=90°,所以如圖4—30⑴所示，EG=2CF,WBE—DE=BE—GB=EG,所以BE—DE=2CF.A圖4-30]d}圖4-翻㈤圖"30(f)(3)如圖4—30(g)所示，在4CFM中，FM與CM是定長，根據兩邊之和大于第三邊，CF<FM