第一章

三角形的證明1.4角平分線

北師大版·八年級上冊第2課時

三角形三條內角的平分線

在一個三角形居住區內修有一個學校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請在三角形居住區內標出學校P的位置,P在何處？ABC一、情景導入活動1:畫下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？發現：三角形的三條角平分線相交于一點.二、探索新知活動2：分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發現了什么？發現：角平分線的交點到三角形三邊的距離相等.你能證明這兩個結論嗎？點撥：兩條角平分線相交于一點，證該點也在第三條角平分線上AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG發現：三角形的三條角平分線交于一點，且這點到三邊的距離相等.思路如下：已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，過點P分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F求證：∠A的平分線經過點P，且PD=PE=PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，

點P在BM上，∴PD=PE，同理PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點P在∠A的平分線上.∴∠A的平分線經過點P,且PD=PE=PFD

E

F

A

B

C

P

N

M

A

B

C

P

E

DF三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.符號語言：∵如圖，在△ABC中，

∠B、∠C的平分線相交于點P，

∴∠A的平分線經過點P，且PD=PE=PF.A

三角形三條內角的平分線性質定理例1：如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm，AC的長;EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，三、典例精練知識點一：三角形三邊的垂直平分線（2）證明：由（1）的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.EDABC例1：如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,垂足為E.(2)求證：AB=AC+CD.三、典例精練知識點一：三角形三邊的垂直平分線1.已知，如圖，△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于P，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D、E、F，PD=2cm，則PE=_____，PF=_____.2cm2cm四、課堂練習2．三條公路圍成一個三角形區域，某地區決定在這個三角形區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（）A．三角形的三條角平分線的交點處

B．三角形的三條中線的交點處

C．三角形的三條高的交點處

D．以上位置都不對A四、課堂練習3.如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為()A．110°B．120°C．130°D．140°A四、課堂練習4．如圖，已知△ABC的周長是20，點O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點，且OD⊥BC于D．若OD＝2，則△ABC的面積是（）A．20

B．12

C．10

D．8A四、課堂練習5．如圖，O是△ABC的角平分線的交點，△ABC的面積和周長都為24，則點O到BC的距離為（）A．1

B．2

C．3

D．4B四、課堂練習5．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別為30，40，50，AO，BO，CO分別是三個內角平分線，則S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（）A．3：4：5

B．1：2：3

C．2：3：4

D．1：1：1A四、課堂練習

6.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分線的性質).在Rt△CDF和Rt△EDB中,

CD=ED（已證）,

DF=DB

（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的對應邊相等）.CFAEDB四、課堂練習7.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上中點，連接AM、DM，且AM平分∠BAD，求證：DM平分∠ADC．證明：過M作MN⊥AD于N，∵∠B=90°，AM平分∠BAD，∴BM=NM，∵M為BC的中點，∴BM=CM，∴MN=CM，又∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°=∠MND，∴DM平分∠ADC．四、課堂練習8．如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，求∠BDC的度數；（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面積.解：（1）∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝

∠ABC＝

×60°＝30°，同理，∴∠DCB＝20°∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°﹣30°﹣20°

＝130°，∴∠BDC的度數為130°；四、課堂練習7．如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，求∠BDC的度數；（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面積．（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，

過點D作DH⊥BC，垂足為H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴S△ADC＝

DF?AC＝

×2×4＝4，∴△