微積分在生活中的應用精品資料微積分在生活中的應用（何杰東 陳新亮連冠才 施楠信工一班 北二830）一.摘要牛頓、萊布尼茲發明微積分以后，人們才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業革命，就有了大工業生產，也就有了現代化的社會。航天飛機、宇宙飛船等現代化交通工具都是在微積分的幫助下制造出來的。微積分在人類社會從農業文明跨入工業文明的過程中起到了決定性的作用。微積分是為了解決變量的瞬時變化率而存在的。從數學的角度講，是研究變量在函數中的作用。從物理的角度講，是為了解決長期困擾人們的關于速度與加速度的定義的問題。 “變”這個字是微積分最大的奧義。因此，了解微積分在生活中的應用對于我們解決實際問題有很大的幫助。二．關鍵詞：物理，經濟，應用。三．引言：通過研究微積分在物理，經濟等方面的具體應用，得到微積分在現實生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數學工具科學地解決問題。獲取資料的途徑主要是互聯網。四（一）在物理中的應用例1，研究物體做勻變速直線運動位移問題時；對于勻速直線運動，位移和速度之間的關系我們都清楚,x=vt，但如果物體的速度大小時刻發生變化，那么物體的位移如何求解呢？此時，微積分就成了我們有利工具。我們可以把物體運動的時間無限細分。在每一份時間內，速度的變化量非常小，可以忽略這種微小變化，認為物體在做勻速直線運動，因此僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝2精品資料根據已有知識位移可求；接下來把所有時間內的位移相加，即“無限求和”，則總的位移可以知道?，F在我們明白，物體在變速直線運動時候的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍圖形的面積；例2，研究勻速圓周向心加速度的方向問題時；根據牛頓第二定律，我們可以知道勻速圓周運動加速度的方向指向圓心；同時利用極限思想，也可以加速度的方向。當圓周上的兩個點無限靠近時，速度變化量也無限的小，因此由 VAVB△V圍成的等腰三角形的底角接近 90，因此速度變化量和速度垂直，而速度又和半徑垂直，因此，勻變速圓周運動中，加速度的方向始終指向圓心。例3.研究變力做功問題時；對于恒力做功，我們可以利用公式直接求出；但對于變力，我們不能利用公式；這種情況下，我們要借助于微積分，我們可以把位移無限細分，在每一個小位移上，力的變化很小，可以看作是恒力，根據公式算出力所作的功；然后把每一個小位移上的功無限求和，那么就可以求出變力做的總功是多少。（二）在經濟上的應用1.1邊際分析在經濟分析中的的應用1.1.1邊際需求與邊際供給設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數 Q ’=f ’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數 Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。1.1.2邊際成本函數僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝3精品資料總成本函數C=C(Q)=C 0+C 1(Q)；平均成本函數=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數C ’=C ’(Q)．C ’(Q 0)稱為當產量為Q 0時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到 Q 0時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減C ’’(Q 0)個單位。1.1.3邊際收益函數總收益函數R=R(Q)；平均收益函數=(Q)；邊際收益函數 R’=R’(Q)．R’(Q 0)稱為當商品銷售量為 Q 0時的邊際收益。其經濟意義為：當銷售量達到Q 0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減 R ’(Q0)個單位。1.1.4邊際利潤函數利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q 0)稱為當產量為Q 0時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q 0時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減 L’(Q 0)個單位。例1某企業每月生產Q（噸）產品的總成本 C（千元）是產量 Q的函數，C(Q)=Q 2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格 2萬元，求每月生產 10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。解：每月生產Q噸產品的總收入函數為：R（Q）=20QL（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q 2-1Q+20）=-Q 2+30Q-20L’(Q)=(-Q 2+30Q-20)’=-2Q+30僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝4精品資料則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；以上結果表明：當月產量為 10噸時，再增產1噸，利潤將增加 1萬元；當月產量為 15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為 20噸時，再增產1噸，利潤反而減少 1萬元。顯然，企業不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢？1.2彈性在經濟分析中的應用1.2.1彈性函數設函數y=f(x)在點x處可導，函數的相對改變量 yy=f(x+ x)-f(x)y與自變量的相對改變量 xx之比，當 x→0時的極限稱為函數 y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數。記為 EyEx?EyEx= lim δx→0yy xx= lim δx→0 y x．xy=f’(x)xf(x)在點x=x 0處，彈性函數值 Ef(x 0)Ex=f’(x 0)xf(x 0)稱為f（x）在點x=x 0處的彈性值，簡稱彈性。 EE xf(x 0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EE xf(x 0)%。1.2.2需求彈性經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝5精品資料對于需求函數Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數， P與Q異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)例2設某商品的需求函數為 Q=e -p5 ，求(1)需求彈性函數；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e -p5 .pe -p5 =p5；(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2η(3)=0.6<1，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少 1%，價格與需求變動的幅度相同。五．結論從以上的例題解決的實際問題中，我們