一元一次不等式應用題分類訓練(含答案)

一元一次不等式（組）解應用題精講及分類練習在解題時，我們需要識別不等式（組）類應用題的幾個標志：一、下列情況列一元一次不等式解應用題1.應用題中只含有一個不等量關系，文中明顯存在著不等關系的字眼，如“至少”、“至多”、“不超過”等。例如，寧波市電業局進行居民峰谷用電試點，每天8:00至22:00用電千瓦時0.56元（“峰電”價），22:00至次日8:00每千瓦時0.28元（“谷電”價），而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時0.53元。當“峰電”用量不超過每月總電量的百分之幾時，使用“峰谷”電合算。分析：本題的一個不等量關系是由句子“當‘峰電’用量不超過每月總電量的百分之幾時，使用‘峰谷’電合算”得來的，文中帶加點的字“不超過”明顯告訴我們該題是一道需用不等式來解的應用題。解：設當“峰電”用量占每月總用電量的百分率為x時，使用“峰谷”電合算，月用電量總量為y。依題意得0.56xy+0.28y(1-x)<0.53y，解得x<89%。答：當“峰電”用量占每月總用電量的89%時，使用“峰谷”電合算。2.應用題仍含有一個不等量關系，但這個不等量關系不是用明顯的不等字眼來表達的，而是用比較隱蔽的不等字眼來表達的，需要根據題意作出判斷。例如，周未某班組織登山活動，同學們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發。設甲、乙兩組行進同一段路程所用的時間之比為2:3。（1）直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；（2）當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂的路程尚有1.2千米。試問山腳離山頂的路程有多遠？（3）在題（2）所述內容（除最后的問句外）的基礎上，設乙組從A處繼續登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇。請你先根據以上情景提出一個相應的問題，再給予解答（要求：①問題的提出不得再增添其他條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有已知條件）。解：（1）甲、乙兩組行進速度之比為3:2。（2）設山腰離山頂的路程為x千米，依題意得方程為x/3=(x-1.2)/2，解得x=3.6（千米）。經檢驗x=3.6是所列方程的解。答：山腳離山頂的路程為3.6千米。（3）可提問題：“問B處離山頂的路程小于多少千米？”再解答如下：設B處離山頂的路程為m千米（m>1.2）。由于甲、乙兩組速度之比為3:2，所以甲組從山頂到山腰B的時間是乙組從A到B的時間的2倍，即(3.6-1.2)/3=(m-1.2)/2。又因為甲、乙兩組相遇時，他們走過的路程相等，所以m/3=(3.6-m+1.2)/2。解得m<4.5，即B處離山頂的路程小于4.5千米。甲、乙兩組速度分別為3千米/小時和2千米/小時（k＞0）。根據題意，我們可以得出以下不等式：m1.2-m＜0.72（千米）。因此，B處離山頂的路程小于0.72千米。注意到“甲組到達山頂后休息片刻”中加點的四個字，我們可以看出題中隱含著這樣一個不等關系：乙組從A處走到B處所用的時間比甲組從山頂下到B處所用的時間來得少。根據這個關系，我們可以提出符合題目要求的問題且可解得正確的答案。在一元一次不等式組解應用題中，一般會涉及兩個（或兩個以上）不等量的關系，它們是由兩個明顯的不等關系體現出來，一般是講兩件事或兩種物品的制作、運輸等。例如，已知服裝廠現有A種布料70米，B種布料52米，現計劃用這兩種面料生產M、N兩種型號的時裝共80套。已知做一套M型號的時裝需用A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利45元；做一套N型號的時裝需用A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利潤50元。若設生產N型號碼的時裝套數為x，用這批布料生產這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元。我們可以得出以下不等式組：0.6(80-x)+1.1x≤70，0.9(80-x)+0.4x≤52。解之，得40≤x≤44。因為x為整數，所以自變量x的取值范圍是40,41,42,43,44。在一元一次不等式組解應用題中，有些情況下兩個不等關系直接可從題中的字眼找到，這些字眼明顯存在著上下限。例如，某校為了獎勵在數學競賽中獲勝的學生，買了若干本課外讀物準備送給他們。如果每人送3本，則還余8本；如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足本。設該校買了m本課外讀物，有x名學生獲獎。根據題意，我們可以得出以下不等式組：3x+8=m，5(x-1)＜m≤5x。解之，得x=3，m=17。因此，該校有3名獲獎學生，買了17本課外讀物。4x+19=6y+46y+4<4(x+1)化簡得到：4x-6y=156y-4x<16由第一個不等式得到4x和6y的奇偶性必須相同，因此4x和6y都是偶數。設4x=2a，6y=2b，則有：a-3b=15/23b-a>-8由于a和b都是整數，所以a必須為奇數，因此只有a=17時滿足條件，此時有b=11，即有17個宿舍，住4*17+19=83個女生。可能有多少間宿舍和多少名學生呢？我們可以得到三個解，分別是10間宿舍，59名學生；11間宿舍，63名學生；12間宿舍，67名學生。這三個解都符合題意，因為最后一間房不是空的就是不滿。在一次20道題的數學測驗中，答對一道題得5分，答錯一道題扣2分，不答不得分。如果有一道題未答，那么這個學生至少要答對14道題才能及格。在一次競賽中有25道題，每道題目答對得4分，不答或答錯則扣2分。如果要求在本次競賽中的得分不低于60分，那么至少要答對19道題。一次知識競賽共有15道題，答對一道題得8分，答錯一道題扣4分，不答不得分。結果神箭隊有2道題沒答，飛艇隊答了所有的題，兩隊的成績都超過了90分。那么神箭隊至少答對12道題，飛艇隊至少答對13道題。在比賽中，每名射手打10槍，每命中一次得5分，每脫靶一次扣1分。要成為優勝者，得到的分數不少于35分。那么至少要中靶8次。有紅、白兩種顏色的球若干個。已知白球的個數比紅球少，但是白球的個數是紅球個數的兩倍減1。如果把每一個白球都記作數2，每一個紅球都記作數3，那么總數為60。求白球和紅球各有幾個？設白球的個數為x，則紅球的個數為(60-2x)/3。根據題意，有不等式7.5＜x＜12。所以，白球的個數在15到24之間，紅球的個數在20到28之間。1、根據題目條件，首先解出方程(60-2x)/3=14，得到x=9，進而得知白球的個數為9，紅球的個數為14。2、題目要求找到一個月數x，使得李明的存款能超過王剛的存款。根據題目條件，列出方程600+500x>2000+200x，解得x>14/3。取x=5，即到第5個月，李明的存款能超過王剛的存款。3、題目要求找到一個人數X，使得兩位家長帶領X名學生去旅游時，選擇甲旅行社更加便宜。根據題目條件，列出方程500*2+0.7*500X=0.8*500（X+2），解得X=4。因此，當學生人數少于4人時，乙旅行社更加便宜；當學生人數等于4人時，甲乙旅行社一樣便宜；當學生人數大于4人時，甲旅行社更加便宜。4、根據題目條件，設后半小時的速度至少為x千米/小時，列出方程50+1/2x≥120，解得x≥140。因此，后半小時的速度至少是140千米/小時。5、根據題目條件，設導火索長為X厘米，列出不等式X/0.8》20，解得X》16。因此，導火索至少需要16厘米長。1、王凱需要在18分鐘內走完家到學校的2.1千米路程。已知他的步行速度為90米/分，跑步速度為210米/分。我們設他至少需要跑x分鐘，那么他走路的時間就是18-x分鐘。根據題意，我們可以列出不等式：210x+90(18-x)≤2100，然后解方程得到x=4。所以，王凱至少需要跑4分鐘才能在規定時間內走完這段路。2、抗洪搶險時，需要向險段運送物資，路程總長為120公里，需要在1小時內送到。已知前半小時已經走了50公里，我們設后半小時的速度為x千米/小時。根據題意，我們可以列出不等式：50+(1-1/2)x≥120，然后解方程得到x≥140。所以，后半小時的速度至少是140千米/小時。3、某人乘坐起價為10元的出租車從甲地到乙地，支付車費為17.2元。每超過5km，就要加價1.2元/公里。我們設甲地到乙地的路程為x公里，根據題意，可以列出不等式：10+1.2(x-5)＜17.2，然后解方程得到10＜x≤11。所以，甲地到乙地的路程超過10公里，但不超過11公里。4、某人乘坐起步價為7元的出租車從A地到B地，支付車費為19元。每超過3km，就要加價2.4元/公里。我們設從A地到B地的路程為x公里，根據題意，可以列出不等式：7+2.4(x-3)＜19，然后解方程得到7＜x≤8。所以，此人從A地到B地經過的路程最多是8公里（含8公里，不含7公里）。5、一個工程隊規定要在6天內完成300土方的工程。第一天完成了60土方，現在要比原計劃提前至少兩天完成。我們設以后幾天內平均每天至少要完成x土方，根據題意，可以列出不等式：(6-1-2)x≥300-60，然后解方程得到x≥80。所以，以后平均每天至少要比原計劃多完成80方土。6、用A型抽水機每分鐘抽1.1噸水，可以在半小時內抽完池水。如果改用B型抽水機，估計在20分鐘到22分鐘之間可以抽完。我們設B型抽水機每分鐘抽x噸水，根據題意，可以列出等式：1.1×30/20=x，然后解方程得到x=1.65。所以，B型抽水機比A型抽水機每分鐘多抽1.65-1.1=0.55噸水。1.根據公式1.1×30/22=1.5噸，計算出1.5≤x≤1.65，表示B型抽水機比A型抽水機每分鐘約多抽0.4~0.55噸水。3.某工人最初三天中每天加工24個零件，計劃在15天里加工408個零件。設以后每天至少加工x個零件，根據題意列方程：3*24+（15-3）*x>408，解得x>28。因此，以后每天至少加工28個零件，才能在規定時間內超額完成任務。4.某車間有組裝1200臺洗衣機的任務，若最多用8天完成，根據計算1200÷8＝150，每天至少要組裝150臺洗衣機。（濃度問題）1.在1千克含有40克食鹽的海水中，加入x克食鹽，使其成為濃度不低于20%的食鹽水。根據公式(40+x)÷(1000+x)≥20%，解得x≥200。因此，至少加入200克食鹽。2.一種滅蟲藥粉30千克，含藥率是15%，現在要用含藥率比較高的同種藥粉50千克和它混合，使混合的含藥率大于20%。設所用藥粉的含藥率為a，根據公式30x15%+50a>20%(30+50)，解得a>0.23。因此，所用藥粉含藥率應大于23%。（增減問題）1.一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超過30cm的限度內，每掛1㎏質量的物體，彈簧伸長0.5cm。根據公式K=m’g/△x'=1×10/0.005=2000N/m，設最多可掛重物為mkg，則根據胡克定律可得m≤20(Kg)。因此，彈簧所掛物體的最大質量為20kg。2.幾個同學合影，每人交0.70元，一張底片0.68元，擴印一張相片0.5元，每人分一張，將收來的錢盡量用完，這張照片上的同學至少有4個。3.某人點燃一根長度為25㎝的蠟燭，已知蠟燭每小時縮短5㎝，求幾個小時以后，蠟燭的長度不足10㎝。根據計算，蠟燭每小時縮短5㎝，因此在3個小時后，蠟燭的長度將縮短15㎝，不足10㎝。當y小于10時，25-5x小于10，解這個不等式得到x大于3。因此，3小時后蠟燭的長度不足10厘米。1.商場購進某種商品m件，每件按進價加價30元售出全部商品的65%，然后再降價10%，這樣每件仍可獲利18元，又售出全部商品的25%。(1)試求該商品的進價和第一次的售價；(2)為了確保這批商品總的利潤率不低于25%，剩余商品的售價應不低于多少元？設進價是x元，(1-10%)*(x+30)=x+18解得x=90元。設剩余商品售價應不低于y元，(90+30)*m*65%+(90+18)*m*25%+(1-65%-25%)*m*y≥90*m*(1+25%)化簡得y≥75元。因此，剩余商品的售價應不低于75元。2.水果店進了某種水果1噸，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半后，為了盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？設按原價的x折出售，那么有：1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+2000化簡得5x≥40，即x≥8。因此，余下的水果可以按原定價的最多8折出售。3.“中秋節”期間蘋果很熱銷，一商家進了一批蘋果，進價為每千克1.5元，銷售中有6%的蘋果損耗，商家把售價至少定為每kg多少元，才能避免虧本？實際價格應該是：1500÷（1-6%）=1600元因此，商家把售價至少定為每千克1.6元才能避免虧本。4.某電影院暑假向學生優惠開放，每張票2元。另外，每場次還可以售出每張5元的普通票300張，如果要保持每場次票房收入不低于2000元，那么平均每場次至少應出售學生優惠票多少張？設應售出x張學生優惠票，當收入等于2000元時：2x+5*300=2000解得x=250。因此，平均每場次至少應出售250張學生優惠票。5.某中學需要刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學校自刻，出租用刻錄機需120元外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費）。問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇，才能使費用較少？如果刻錄的張數少于30張，那么到電腦公司刻錄比較合適；如果刻錄的張數等于30張，那么兩種方式都可以考慮；如果刻錄的張數大于30張，那么自刻比較便宜，并且刻錄的張數越多，自刻的成本越低。因此，如果刻錄的張數大于30張，那么學校應該自己刻錄光盤。某工程隊需要招聘150名工人，其中甲工種和乙工種的月工資分別為600元和1000元。要求乙工種的人數不少于甲工種人數的2倍。問甲、乙兩種工種各應招聘多少人，才能使每月所付的工資最少？解：設乙工種招聘x人，則甲工種招聘150-x人。由于要求乙工種人數不少于甲工種人數的2倍，因此有x≥2(150-x)，解得x≥100。工資W為600(150-x)+1000x=400x+90000。由于400>0，所以當x=100時，W最小，為130000元。因此甲、乙工人各應招聘50人、100人，此時每月所付的工資最少為130000元。學校圖書館準備購買80本定價分別為8元和14元的雜志和小說，計劃用錢在750元到850元之間。那么14元一本的小說最少可以買多少本？設14元一本的小說可以買x本，則8元一本的小說可以買80-x本。根據題意，有750≤14x+8(80-x)≤850。化簡得110≤6x≤210，解得18.33≤x≤21。取整數得知，14元一本的小說最少可以買19本，最多可以買21本。有一個兩位數，其十位上的數比個位上的數小2，已知這個兩位數大于20且小于40，求這個兩位數。解法1：設十位上的數為x，個位上的數為x+2，原兩位數為10x+(x+2)。由題意可得20<10x+(x+2)<40，解得1<x<3。因為x為正整數，所以x=2或x=3，分別代入可得原兩位數為24或35。解法2：設十位上的數為x，個位上的數為y，原兩位數為10x+y。由題意可得y=x+2，且20<10x+y<40。化簡得11x+2<y<11x+4，解得1<x<3。因為x為正整數，所以x=2或x=3，分別代入可得原兩位數為24或35。方案二：在寒假后售出。假設該批產品的售價為p元，方案一中每天能售出q件，方案二中每天能售出r件，且r=q-200。已知該批產品共有1000件，學期長度為100天，寒假長度為50天，且假設銷售量與時間成正比，即每天售出的件數相同。現已知方案一中每天售出的件數比方案二多10件，求p的值。解：根據題意，可列出以下方程組：q*100=1000r*50=1000r=q-200(q+10)*100*(p/1000)=(q*50)*(p/1000)化簡得：q+10=5q-100解得：q=55代入r=q-200得：r=-145代入q*100=1000得：p=18答：該批產品的售價為18元。方案一是將該批產品的投入資金和已獲利30000元進行再投資，到學期結束時再投資又可獲利4.8％。方案二是在學期結束時售出該批產品，可獲利35940元，但要付投入資金的0.2％作保管費。問題是當該批產品投入資金是多少元時，方案一和方案二的獲利是一樣的，以及按所需投入資金的多少討論方案一和方案二哪個獲利多。對于方案一，學期末時獲利為（80000+30000）×4.8%=5280元，加上學期初的30000元，總共獲利35280元。對于方案二，保管費為80000×0.2%=160元，從獲利中扣除保管費后剩余35780元。因此，當成本為80000元時，方案二獲利更多。設新產品成本為Y元時，兩種方案獲利相等，可以列方程：（Y+30000）×4.8%+30000=35940-Y×0.2%，解得Y=90000。因此，當新產品成本為90000元時，兩種方案獲利相等。該園林的門票每張10元，推出了A、B、C三種年票。A年票每張120元，持票進入不用再買門票；B類每張60元，持票進入園林需要再買門票，每張2元，C類年票每張40元，持票進入園林時，購買每張3元的門票。問題是如果只選擇一種購買門票的方式，并且計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，找出可使進入該園林的次數最多的購票方式，并求一年中進入該園林至少多少次，購買A類年票才