計量經濟學基礎與應用FunctionalFormsofRegressionModelschaptersix第六章回歸模型的函數形式前言經濟變量間的非線性–〔復合利率，增長率，彈性系數〕主要內容經濟變量的非線性現象〔參數為線性，但變量為非線性〕非線性回歸模型的線性化解各種特殊的回歸模型模型雙對數模型(對數-對數模型)半對數模型/增長率模型線性趨勢模型線性-對數模型倒數模型多項式回歸模型前言傳統回歸模型刻畫解釋變量的絕對增加量與應變量的絕對增加量間的關系擴展函數形式模型刻畫解釋變量的相對增加量與應變量的相對增加量間的關系度量指標斜率—絕對變化量彈性系數—相對變化量

實例價格每變化1個%點，對商品需求的增加量？價格每增加1個貨幣單位，對商品需求的增加量多少個%點？第一節如何度量彈性：雙對數模型考慮如下函數形式〔6-1〕其中，Y是博彩支出，X為個人可支配收入。變量X非線性

恒等式變換令有令，有〔隨機形式〕表達了雙對數。也稱為對數線性(log-linear)模型。第一節如何度量彈性：雙對數模型雙對數模型性質斜率度量了Y對X的彈性，即X一個〔微小〕變化引起Y變化的百分比實踐中應用廣泛。彈性

在微積分中：

第一節如何度量彈性：雙對數模型對數和百分比實踐中，lnX的一個微小變化近似等于X的相對或百分比變化。理由如下：微積分算子d表示無窮小，可寫成時間序列中，第一節如何度量彈性：雙對數模型不變彈性模型：與X取值無關第一節如何度量彈性：雙對數模型博彩支出的例子：Weeklylottoexpenditure(Y)inrelationtoweeklypersonaldisposableincome(X)($)，表9-1第一節如何度量彈性：雙對數模型博彩支出的例子雙對數回歸結果：雙對數模型擬合直線博彩支出的Log-linear模型LnXLnY第一節如何度量彈性：雙對數模型博彩支出的例子線性回歸結果：線性模型擬合直線線性回歸結果第一節如何度量彈性：雙對數模型如何設定模型的函數形式？散點圖，但多元回歸不適宜R2不可以直接比較，也不是好的標準！！永遠第一位的準那么：分析側重點第二節多元對數線性模型三變量對數線性模型偏彈性系數一個典型適用點：柯布-道格拉斯生產函數

規模報酬遞減規模報酬遞增規模報酬不變例一：表9-2〔精要〕RealGDP,employment,andrealfixedcapital,Mexico,1955-1974.第一節如何度量彈性：雙對數模型生產函數例子的雙對數回歸結果：例二：表9-3〔精要〕EnergydemandinOECDcountries,1960-1982.第一節如何度量彈性：雙對數模型OECD國家能源需求例子的雙對數回歸結果：圍繞這個系數能討論什么？第二節如何測定增長率：半對數模型經濟變量增長率：監控經濟運行狀況

考察對象：伴隨解釋變量〔時間〕的增加，應變量的增長率

第二節如何測定增長率：半對數模型復利計算公式

只有解釋變量為對數形式，得名半對數模型！例三：表9-4〔精要〕PopulationofUnitedStates(millionsofpeople),

1970-1999.第二節如何測定增長率：半對數模型美國人口增長率的半對數回歸結果：例三：圖9-3〔精要〕Semilogmodel.第二節如何測定增長率：半對數模型瞬時增長率與復合增長率

稱為瞬時增長率(instantaneousgrowthrate)稱為復合增長率(compoundgrowthrate)

例子中美國人口復合增長率為0.9848%

第三節線性趨勢模型線性趨勢模型

Y對時間t回歸，t按時間順序度量t稱為趨勢變量(trendvariable)斜率為正，稱Y有向上趨勢；反之，有下降趨勢。增長率模型與線性趨勢模型的比較

第三節線性趨勢模型

第四節線性-對數模型線性-對數模型

模型為線性，解釋變量X為對數形式

解釋變量Xt

每變動1%，應變量Yt

的絕對變化量例四：表9-5〔精要〕Quarterlytotalpersonalexpenditureandcategories(billionsofdollars)1993-1?1998-3.第四節線性-對數模型

第五節倒數模型倒數模型(reciprocalmodel)

變量非線性解釋變量Xi無窮增大，應變量Yi的值漸進于應變量存在極值，即增長是有限度的漸近解/最優解〔穩定性〕圖9-4〔精要〕倒數模型:Yi=β1+β2(1/Xi)例五：表9-6〔精要〕Year-to-yearpercentagechangeintheindexofhourlyearnings(Y)andtheunemploymentrate(%)(X),UnitedStates,1958-1969.例五：表9-6〔精要〕美國1958-1969菲利普斯曲線〔倒數模型〕：例五：表9-6〔精要〕美國1958-1969菲利普斯曲線〔線性模型〕：圖9-5〔精要〕ThePhillipscurvefortheUnitedStates,1958-1969;

(a)Reciprocalmodel;(b)linearmodel.例六：表9-7〔精要〕美國共同基金的管理費用與基金凈資產的關系：圖9-6〔精要〕管理費與資產規模例六：表9-7〔精要〕共同基金管理費用與基金凈資產的倒數模型回歸結果：第六節多項式回歸模型多項式回歸模型

參數為線性，而變量卻為非線性，冪次方解釋變量為函數相關，但非“線性相關〞例七：表9-9〔精要〕Cigarettesmokinganddeathsfromvarioustypesofcancer.例七：表9-9〔精要〕吸煙與肺癌死亡人數的關系，多項式回歸第七節過原點回歸過原點回歸模型

模型截距項為零解釋變量之間為函數相關，但非“線性相關〞注意1、當方程中截距項不出現時，估計的殘差之和不一定等于零；2、當方程中截距項不出現時，判定系數有時可能出現負值。

慎用零截距模型，除非有非常強的理論預期！第七節過原點回歸例八：奧肯定律奧肯(Okun)根據美國1947-1960年的數據得到如下結果：失業率的變動率實際產出的增長率，使用實際GDP增長率代理2.5=美國長期產出增長率第七節過原點回歸0例九：投資組合理論的市場模型圖(CAPM)第八節尺度與度量問題：變量數值的單位和尺度大小對回歸結果會有什么影響？現對X和Y進行重新度量新模型第八節尺度與度量比較兩個回歸結果估計量比較結論：尺度變換不影響OLS估