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1§1-3復變函數、極限和連續性2定義：設在復平面上已給點集D，如果存在一個法則f使得對于每點z=x+yi∈D,都有確定的復數w=u+vi與之對應,則稱在D上確定一個復變函數，記作:w=f(z)

若依f對于z∈D只有一個確定的w與之對應，則稱f為單值函數。否則，稱f為多值函數。例如，

一、復變函數的概念復變函數w=f(z)常寫成w=u(x,y)+v(x,y)i

為單值函數為多值函數注意：如不特別提醒，我們往后考慮的都是單值函數。3

同實變函數一樣，在上述定義中，我們稱集合D為函數的定義域，稱復數集C的子集G(f(D))為函數的值域，z與w分別稱為函數的自變量(原像)與因變量（像點）。看成變換的復變函數還有入變換、滿變換、反函數等概念，參見教材P30-31頁。以后在點集拓撲中會特別介紹。4例1

求下列區域在映射下的象。(1)圓域；(2)角形域例2

求下列曲線在映射

下的象．

1)以原點為心，2位半徑，在第一象限里的圓弧；2）傾角的直線3)雙曲線5注意:二、復變函數的極限及性質1.上述定義與一元實變函數的極限定義類似，因而后者的極限運算性質對于復變函數也成立。如鏈接-極限性質.ppt6證明7三、函數的連續性8舉例說明如下：9例2證10(1)多項式(2)有理分式函數在復平面內使分母不為零的點也是連續的.11

關于連續函數在有界閉集上的其它性質可以參閱教材P37-3812例3

試證明函數在角形域內連續。證明

設

f(z)=u(x,y)+iv(x,y).顯然區域D為割去原點和負實軸的復平面，且在除去坐標原點外的點連續，只須證明v(x,y)=arg(z)在D連續。13在D內連續。14例4證另一證明見P3615復數平面表示法定義表示法三角表示法曲線與區域球面表示法復數表示法指數表示法復數的運算共軛運算代數運算乘冪與方根本章主要內容向量表示法161707.4.15生于瑞士，巴塞爾1783.9.18卒于俄羅斯，彼得堡L.Euler(歐拉)簡介

Euler是18世紀的數學巨星；是那個時代的巨人，科學界的代表人物。歷史上幾乎可與Archimedes、Newton、Gauss齊名。

他在微積分、幾何、數論、變分學等領域有巨大貢獻。可以說Newton、Leibniz發明了微積分，而Euler則是數學大廈的主要建筑師。17A.deMoivre棣莫佛簡介5.26生于法國1754.

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