專題04命題、定理、定義【題型歸納目錄】題型一：命題的概念題型二：命題真假的判斷題型三：命題的結構形式題型四：根據命題的真假求參數【知識點梳理】知識點一：命題1、命題的概念：在數學中，我們把用語言、符號或式子表達的，我們將可判斷真假的陳述句叫作命題．2、命題定義中的兩個要點：“可以判斷真假”和“陳述句”，我們學習過的定理、推論都是命題．3、分類真命題：判斷為真的語句假命題：判斷為假的語句命題的結構：（1）命題的一般形式為“若p，則q”其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結論．（2）確定命題的條件和結論時，常把命題改寫成“若p，則q”的形式．知識點二：定理、定義在數學中，有些已經被證明為真的命題可以作為推理的依據而直接使用，一般稱之為定理．在數學中，我們經常遇到定義．定義是對某些對象標明符號、指明稱謂，或者揭示所研究問題中對象的內涵．例如“兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”．定義的特點是用已知的對象及關系來解釋、刻畫陌生的對象，并加以區別，如“平行四邊形”就是通過“四邊形”與兩組“對邊”分別“平行”來描述的．【典例例題】題型一：命題的概念例1．（2023·高一課時練習）下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱?、抻凶钚〉馁|數嗎？其中是命題的是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【答案】D【解析】命題是能判斷真假的陳述句，由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，②④無法判斷真假，故不是命題，①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，故選：D例2．（2023·高一課時練習）給出下列語句：①．②3比5大．③這是一棵大樹．④求證：是無理數．⑤二次函數的圖象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命題的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】命題是指可以判斷真假的陳述句，所以②⑥是命題，①不能判斷真假，不是命題；③“大樹”沒有界定標準，不能判斷真假，不是命題；④是祈使句，不是命題；⑤是感嘆句，不是命題．故選：A例3．（2023·江蘇·高一專題練習）下列語句為命題的是（

）A． B．你們好！ C．下雨了嗎？ D．對頂角相等【答案】D【解析】因為能夠判斷真假的語句叫作命題，所以ABC錯誤，D正確.故選：D變式1．（2023·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習）唐代詩人王維，字摩詰，在后世有“詩佛”之稱，北宋蘇軾評曰“味摩詰之詩，詩中有畫；觀摩詰之畫，畫中有詩.”在王維《相思》這首詩中，哪一句可以作為命題（）A．紅豆生南國 B．春來發幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思【答案】A【解析】對于A選項，“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以，本句為命題；對于B選項，“春來發幾枝”是疑問句，不是命題；對于C選項，“愿君多采擷”是祈使句，不是命題；對于D選項，“此物最相思”是感嘆句，不是命題.故選：A.變式2．（2023·江蘇·高一專題練習）下列語句是命題的是（

）（1）；（2）畫線段；（3）；（4）A．（1），（2） B．（3），（4） C．（2），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）【答案】B【解析】由可以判斷真假的陳述句為命題，可知（1）、（2）不能判斷真假，（3）、（4）判斷為假，所以（3）、（4）是假命題；故選：B變式3．（2023·高一單元測試）下列語句中不是命題的有（

）①；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？③；④．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【解析】能判斷真假的陳述句是命題，由此可知：①④沒有的范圍，故不能判斷真假，故①④不是命題；②是疑問句，故不是命題；③是陳述句，且錯誤，故是命題；故選：C.題型二：命題真假的判斷例4．（2023·高一課時練習）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程的判別式大于0;④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，對于③，方程的判別式為，故正確，對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，對于⑤，,故正確;故選：C．例5．（2023·廣西賀州·高一校考階段練習）下列命題中假命題的個數是（

）（1）有四個實數解（2）設a，b，c是實數，若二次方程無實根，則ac≥0（3）若，則x≠2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】在（1）中，得或，故，只有兩解，故（1）錯誤；在（2）中無實根，則，即，所以ac≥0是正確的，故（2）正確；在（3）中若，則且，即x≠2成立，故（3）正確；故選：C.例6．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學?？奸_學考試）下列命題中，真命題的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】對于A,如圖,四邊形中,,但對角線互相垂直,所以A錯誤;對于B,菱形的對角線互相垂直且平分,所以B錯誤;對于C,等腰梯形的對角線相等,所以C錯誤;對于D,根據平行四邊形的判定定理,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,所以D正確.故選:D.變式4．（2023·江蘇連云港·高一統考期中）關于x的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和是為1；?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】由題意，假設甲與乙兩個命題為真，則丙和丁兩個命題一定都為假命題，不符合題意；假設命題甲為假命題，由命題乙與命題丙為真，則方程的兩個根分別為和，此時命題丁為假命題；綜上，只有命題乙為假命題，符合題意.故選：B.變式5．（2023·江蘇揚州·高一期末）下列命題中的真命題是（

）A． B．集合中最小的數是1C．的解集可表示為 D．【答案】A【解析】顯然成立，故A正確；集合中最小的數是0，故B錯誤；根據集合元素的互異性可知C錯誤；當或時，顯然不成立，故D錯誤.故選：A題型三：命題的結構形式例7．（2023·全國·高一專題練習）將下列命題改寫成“若p，則q”的形式．（1）6是12和18的公約數；（2）當a＞－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不相等的實數根；（3）平行四邊形的對角線互相平分．【解析】（1）若一個數是6，則它是12和18的公約數．（2）若a＞－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不相等的實數根．（3）若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分.例8．（2023·全國·高一專題練習）將下列命題改寫成“若p，則q”的形式.（1）平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行；（2）平行于同一條直線的兩條直線平行；（3）兩個無理數的和是無理數；（4）乘積為正數的兩個數同號；（5）兩個奇數的和是偶數；（6）矩形的四個角相等；（7）等腰三角形的兩個底角相等；（8）直徑所對的圓周角是直角.【解析】（1）在平面內，若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行；（2）若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行；（3）若兩個數是無理數，則它們的和是無理數；（4）若兩個數的乘積為正數，則這兩個數同號；（5）若兩個數是奇數，則它們的和是偶數；（6）若一個四邊形為矩形，則它的四個角相等；（7）若一個三角形為等腰三角形，則它的兩個底角相等；（8）若圓的弦為直徑，則它所對的圓周角是直角.例9．（2023·高一課時練習）寫出下列命題的條件與結論.（1）如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應高相等；（2）如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，那么這兩個三角形全等；（3）若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的四邊相等；（4）若兩條直線被一組平行線所截，則所得的對應線段成比例.【解析】（1）由題意，根據命題的“若，則”形式條件：兩個三角形全等結論：這兩個三角形的對應高相等（2）由題意，根據命題的“若，則”形式條件：兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等結論：這兩個三角形全等（3）由題意，根據命題的“若，則”形式條件：一個四邊形是菱形結論：這個四邊形的四邊相等（4）由題意，根據命題的“若，則”形式條件：兩條直線被一組平行線所截結論：所得的對應線段成比例變式6．（2023·全國·高一專題練習）將下列命題改寫成“若p，則q”的形式.（1）絕對值相等的數也相等；（2）矩形的對角線相等；（3）角平分線上的點到角兩邊的距離相等；（4）兩角分別相等的兩個三角形相似.【解析】（1）條件是：兩個數的絕對值相等，結論是：它們相等．“若p，則q”的形式：若兩個數的絕對值相等，則它們也相等；（2）條件是：兩條線段是一個矩形的兩條對角線，結論是：這兩條線段相等，“若p，則q”的形式：若兩條線段是一個矩形的兩條對角線，則它們相等；（3）條件是：平面上的點在一個角的角平分線上，結論是：這個點到角的兩邊的距離相等．“若p，則q”的形式：若平面上的點在一個角的角平分線上，則這個點到角的兩邊的距離相等；（4）條件是：兩個三角形的兩個角分別相等，結論是：這兩個三角形相似．“若p，則q”的形式：若兩個三角形的兩個角分別相等，則這兩個三角形相似．題型四：根據命題的真假求參數例10．（2023·全國·高一專題練習）已知命題p：實數滿足或．命題：實數滿．若命題是真命題，命題是假命題，求實數的取值范圍．【解析】∵

命題為真命題，∴

或又命題為假命題，∴

或，∴

或．所以實數的取值范圍為．例11．（2023·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區喀什第六中學?？茧A段練習）已知，：關于的方程有實數根.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若p為真命題，q為假命題，求實數的取值范圍.【解析】（1）∵關于的方程有實數根，∴，即，∴若q為真命題，實數a的取值范圍為：.（2）∵為真命題，為假命題，∴，解得.∴.例12．（2023·全國·高一專題練習）給定兩個命題，p：對于任意實數都有恒成立；q：關于的方程有實數根；（1）若p為真命題，求實數a的取值范圍；（2）如果p與q中至少有一個為真命題，求實數a的取值范圍；（3）如果p與q中有且僅有一個為真命題，求實數a的取值范圍．【解析】（1）若p為真命題，即對于任意實數都有恒成立，當時，滿足題意，當時，則，解得：，綜上所述：；（2）若為真命題，即關于的方程有實數根，則，解得：，若p與q都是假命題，則，解得：，若p與q中至少有一個為真命題，則；（3）若p與q中有且僅有一個為真命題，則或，解得：或，綜上所述：.變式7．（2023·江蘇·高一專題練習）命題存在實數，使得能成為三角形的三邊長.若命題為假命題，則的取值范圍是______________.【答案】或【解析】當命題為真命題時，可得，即.所以當命題為假命題時，可得或.故答案為：或變式8．（2023·上?！じ咭婚_學考試）若和或都是假命題，則的范圍是__________【答案】【解析】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案為：變式9．（2023·江蘇·高一專題練習）若“方程有兩個不相等的實數根”是真命題，則的取值范圍是_________.【答案】且.【解析】解析由題意知,解得：且.故答案為：且.變式10．（2023·高一課時練習）能夠說明“存在不相等的正數，使得”是真命題的一組的值為______【答案】，【解析】-假設成立，則，當時，，此時、是不相等的正數，故命題為真命題的一組，的值為：，故答案為：，【過關測試】一、單選題1．（2023·重慶·高一?？计谥校┫铝忻}中，是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】A選項：若，滿足，但是，因此是假命題，故A錯誤；B選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故B錯誤；C選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故C錯誤；D選項：因為，則，且，因此，因此是真命題，故D正確，故選：D.2．（2023·江蘇宿遷·高一泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）關于的方程，有四個命題：甲：該方程兩根之和為；乙：是該方程的根；丙：是該方程的根；?。涸摲匠虄筛愄枺绻星抑挥幸粋€假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】若和是該方程的根，則兩根同號，所以乙丙丁不可能同時為真命題，即甲是真命題；因為該方程兩根之和為，則和不可能同時是該方程的根，所以乙丙中有一個假命題，丁為真命題；若甲乙丁為真命題，是該方程的根，得另一根為，此時方程為，符合題意；若甲丙丁為真命題，是該方程的根，得另一根為，此時兩根同號，不符合題意，所以可知丙為假命題.故選：C3．（2023·高一課時練習）下列四個命題中，其中真命題的個數為（

）①與0非常接近的全體實數能構成集合；

②表示一個集合；③空集是任何一個集合的真子集；

④任何一個非空集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】①與0非常接近的全體實數不確定，所以不能構成集合，錯誤；②，正確；③空集是任何非空集合的真子集，錯誤；④對于非空集合，至少有一個元素，所以子集的個數為，正確.故選：C4．（2023·江蘇·高一專題練習）下列命題是假命題的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么【答案】A【解析】對于A，若，那么x可能不屬于B，故A錯誤；對于B，若，則x是集合A和B的公共元素，那么，故B正確；對于C，若，那么，故C正確；對于D，若，那么，故D正確．故選：A．5．（2023·河南濮陽·高一范縣第一中學?？茧A段練習）已知集合，，則下列命題中是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】因為，，則AC選項錯誤；，或，故B對，D錯.故選：B.6．（2023·高一課時練習）已知下列命題：①若，則；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；③對角線互相平分且相等的四邊形是菱形，④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等；⑤若，則，其中正確命題的個數是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【解析】①若，滿足，但，故①錯誤；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，正確；③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故錯誤，④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，正確；⑤若則，故錯誤．故選：C．7．（2023·高一單元測試）甲、乙、丙、丁四人參加數學競賽，四人在成績公布前作出如下預測：甲預測說：我不會獲獎，丙獲獎；

乙預測說：甲和丁中有一人獲獎；丙預測說：甲的猜測是對的；

丁預測說：獲獎者在甲、乙、丙三人中.成績公布后表明，四人的預測中有兩人的預測與結果相符，另外兩人的預測與結果不符已知有兩人獲獎，則獲獎者可能是（

）.A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁【答案】C【解析】∵“甲預測說：我不會獲獎，丙獲獎”，而“丙預測說：甲的猜測是對的”∴甲和丙的說法要么同時與結果相符，要么同時與結果不符.若甲和丙的說法要么同時與結果相符，則丁的說法也對，這與“，四人的預測中有兩人的預測與結果相符，另外兩人的預測與結果不符已知有兩人獲獎，”相矛盾，故錯誤；若甲和丙的說法與結果不符，則乙、丁的預測成立所以甲獲獎，丁不獲獎；丙獲獎，乙不獲獎.故選：C8．（2023·重慶萬州·高一?？茧A段練習）給定下列命題：①“若，則方程”有實數根②若，，則③對角線相等的四邊形是矩形④若，則，中至少有一個為0其中真命題的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】①中，故為真命題；②由不等式的性質知，，，則顯然是真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，故為假命題；④若，則或，則，中至少有一個為0，為真命題.所以①②④是真命題，故選：B二、多選題9．（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學?？茧A段練習）下列命題是真命題的為（

）A．{x∈N|x3+1=0}不是空集B．若a<0，則|a|>0C．相似三角形的對應角相等D．若整數m是偶數，則m是合數【答案】BC【解析】對于選項A，x∈N，x3≥0，所以{x∈N|x3+1=0}是空集，為假命題，故選項A錯誤；對于選項B，若a<0，則|a|>0，為真命題，故選項B正確；對于選項C，相似三角形的對應角相等，為真命題，故選項C正確；對于選項D，2為偶數，但是2是質數，故選項D錯誤；故選：BC.10．（2023·江蘇·高一專題練習）給出以下四個命題，其中真命題是:（

）A．命題“若互為相反數，則”B．命題“兩個全等三角形的面積比等于周長比的平方”C．命題“若，則有實根”D．命題“若是正整數，則都是正整數”【答案】ABC【解析】顯然選項A正確，兩個全等三角形的面積比與周長的平方比均為，所以選項B正確；當時，，所以方程有實根，C正確；取，則是正整數，但不是正整數，故D錯誤.故選：ABC11．（2023·江蘇·高一專題練習）下列命題為真命題的是（

）A．集合有兩個子集B．若，則C．集合里面有6個元素D．平面直角坐標系中第二、四象限的點的集合可以表示為【答案】AD【解析】A：，則有2個子集，正確；B：當，則，故錯誤；C：的自然數元素有，而，共有無數個元素，錯誤；D：若點坐標為，第二象限的點有，第四象限的點有，故第二、四象限的點的集合可以表示為，正確.故選：AD12．（2023·山東·高一統考期中）下列命題中，是真命題的是（

）A．，B．存在一個四邊形，其內角和不等于360°C．，D．至少有一個實數，使【答案】ACD【解析】逐一分析各個選項，即可求得答案.對于A：，故A為真命題；對于B：對于平面內任意的四邊形，其內角和都為360°，故B為假命題；對于C：，解得x=-1或x=-2，故C為真命題；對于D：，解得x=-1，故D為真命題.故選：ACD三、填空題13．（2023·高一課時練習）下列四個命題，其中真命題是______．（填序號）①若，則x，y互為相反數；

②面積相等的三角形全等；③若，則有實數解；

④若，則．【答案】①③【解析】若，則x，y互為相反數，敘述正確，故①為真命題；面積相等的三角形不一定全等，故②為假命題；若，則，故有實數解，則③為真命題；若，則，故④為假命題.故答案為：①③.14．（2023·高一課時練習）下列命題：①如果實系數一元二次方程滿足，那么這個方程有實根；②如果，那么除以的余數是或；③設，如果是的倍數，那么中至少有一個是的倍數；④已知a，，若，則.其中是假命題的序號為___________.【答案】③④【解析】對于①，方程為一元二次方程，；當時，若，則，方程有實根；①正確；對于②，若，則，則除以的余數是；若，則，則除以的余數是；綜上所述：如果，那么除以的余數是或，②正確；對于③，若，，，則是的倍數，但此時均不是的倍數，③錯誤；對于④，若，則，④錯誤.故答案為：③④.15．（2023·高一課時練習）若a、b、c、d是實數，則下列是真命題的是______.（填所有真命題的序號）①如果，且，那么；②若果，那么或；③如果，那么；④如果，那么，其中n是正整數.【答案】①【解析】如果，且，那么由推不出或，如由推不出，如時由推不出，如時故答案為：①16．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）判斷命題“已知，若是奇數，則是奇數”是真命題還是假命題？___________.【答案】真命題【解析】若為奇數，可設，則，此時為奇數，合乎題意；若為偶數，可設，則，此時為偶數，不合乎題意.綜上所述，已知，若是奇數，則是奇數，原命題為真命題.故答案為：真命題.四、解答題17．（2023·江蘇·高一專題練習）判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若，是任意實數，則；(2)若，是實數且，則；(3)若，則有兩個不相等的實數根；(4)若有兩個不相等的實數根，則實數．【答案】(1)假命題(2)真命題(3)真命題(4)假命題【分析】利用特殊值判斷（1），根據完全平方數的非負性判斷（2），根據一元二次方程根的判別式求出方程有兩個不相等實數根時參數的取值范圍，即可判斷（3）（4）；（1）當時，故命題“若，是任意實數，則；”為假命題；（2）因為，是實數所以，，又，所以所以，故命題為真命題；（3）若方程有兩個不相等的實數根，則，解得，所以當時方程有兩個不相等的實數根，故命題“若，則有兩個不相等的實數根；”為真命題；（4）若方程有兩個不相等的實數根，則，解得，故命題“若有兩個不相等的實數根，則實數．”為假命題；18．（2023·江蘇·高一專題練習）判斷下列命題的真假，并說明理由.(1)如果，那么x與y同號或x?y中至少一個為零；(2)若x，，，，則，.【解析】(1)因為，所以，所以，所以，所以與同號，或、中至少一個為零，故命題為真命題；(2)因為x