時域分析法穩定性分析穩定性的概念線性系統穩定的充分必要條件勞斯判據

特殊情況1

特殊情況2系統穩定性的概念一、系統的穩定性定義系統的穩定性定義：系統在受到外作用力作用后，偏離了最初的工作點；而當外作用力消失以后，系統又能返回到原來的工作點，則稱系統是穩定的。在線性系統中，定義為：若線性系統在初始擾動作用下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨向于零（原來的平衡工作點），則稱系統穩定；反之，若在初始擾動作用下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統是不穩定的。二、系統穩定的充要條件線性系統的穩定性取決于系統自身的固有特性，而與外界條件無關。故設線性系統在初始條件為零時，作用一個理想單位脈沖信號 ，這時系統的輸出量為脈沖響應 。這相當于系統在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若時，脈沖響應為，則系統是穩定的。二、系統穩定的充要條件設閉環傳遞函數為由于的拉氏變換為1，設為特征根所以輸出的拉氏變換為拉氏反變換后得二、系統穩定的充要條件分析上式得，當且僅當系統的特征根全部具有負實部時，才能滿足的條件。若特征根中有一個或以上的正實部根，則表明系統不穩定。若特征根有一個或以上的零實部根，而且其余的特征根均具有負實部，則脈沖響應下趨于常數，或趨于等幅振蕩，按照穩定的定義，系統是不穩定的，稱為臨界穩定?？偨Y線性系統穩定的充要條件：閉環系統特征方程所以根，均有負實部；或閉環傳遞函數的極點均嚴格位于s的左半平面。三、勞斯判據根據穩定的充要條件來判別系統的穩定性，需要求出系統的全部特征根。對于高階系統，求跟的工作量很大，因此，希望使用一種間接判斷系統特征根是否全部位于s左半平面的代替方法。勞斯和赫爾維茨分別于1877年和1895年獨立提出了判斷系統穩定的代數判據，稱為勞斯-赫爾維茨穩定判據。三、勞斯判據1、赫爾維茨判據設線性系統的特征方程為則使線性系統穩定的必要條件是：上式各項系數為正。證明：若所有的特征根均在s平面左邊，則有或者說，那么他們的多項式相乘后，系數一定也大于零。注意：該判據為穩定的必要條件，故通常用來判斷系統不穩定的情況，而不能判斷系統穩定。三、勞斯判據2、勞斯判據（1977年由Routh提出的代數判據）①系統的特征方程各項系數均為正；②按特征方程的系數列些勞斯表三、勞斯判據系統穩定的充分必要條件:

特征方程的全部系數都是正數,

且勞斯表第一列元素都是正數在勞斯表中,同一個正整數去除或乘某一行,不會改變勞斯判據的結論位于右半S平面根的個數=勞斯表第一列元素符號改變的次數三、勞斯判據例：三階系統穩定的充要條件是:[例]解:Routh表第一列元素符號改變2次,有2個正實部的根,系統不穩定判穩用ε代表0,此時有一虛根存在,系統是不穩定的.根為:+j,-j,-1,-2解:[例]判穩三、勞斯判據——特殊情況1③勞斯判據使用中的特殊情況

a勞斯表中某行的第一項為零，其余都不為零或不全為零。此時計算時，會使下一行第一個元素無窮大。改進：用（s+a）乘以原特征方程。三、勞斯判據——特殊情況1[例]特征方程為勞斯表：用（s+3）乘以原特征方程新勞斯表為由新勞斯表可知：第一列有兩次符號變化，故系統又兩個實根，系統不穩定。三、勞斯判據——特殊情況2③勞斯判據使用中的特殊情況

b勞斯表中出現全零行。特征方程中存在一些絕對值相同但符號不同的特征根。改進：用全零行上面的一行系數構造一個輔助方程F(s)=0，并將輔助方程對s求導，用所得導數方程系數取代全零行系數。全零行，若要了解根的分布則作輔助方程求導由輔助方程導數系數構成解輔助方程：[例]判穩解:[例]

開環傳遞函數單位負反饋.解:例（華東理工大學2000年）某控制系統如下圖所示，試確定K1，K2使系統閉環穩定。解：系統方程列勞斯表根據勞斯判據，令勞斯表第一列各元均大于0，解出K1，K2的取值范圍

+-+-例（哈爾濱工業大學2000年）系統結構圖如下。

求：為使系統閉環穩定，確定K