最短路徑問題

無論是數學的學習還是教學，都須取勢、明道、優術。

Part0：哲語分享1：如圖，學校新修建了一塊長方形的草坪，小路在草坪四周，如果想從A地到B地去，有四種走法可供選擇，你會選擇哪條？小明選擇了2，他說這樣最短，你贊同他的說法嗎？Part1、情境引入——搶答題2：如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P點P為所求的泵站位置，可使輸氣管線最短

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．問到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAlPart2、探索新知——“將軍飲馬問題”實際問題數學問題探索第一步“轉化”在直線l上找一點C，使得CA+CB的和最小探索第二步

點C為飲馬地點將軍所走路線：A→C→B，即AC+CB使AC+CB最小的點C存在嗎？？“猜想”幾何畫板演示.gsp如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l

的什么位置時，AC與CB的和最??？探索第三步同側異側“尋找”?B·lA·B′C同側異側軸對稱

作法：①作點B關于直線l的對稱點B′.②

連接AB′,交直線l于點C.

點C的位置即為所求.證明“路徑最短”B·lA·B′CC′Q1：如何證明“最短”？Q2：如何理解點C′的任意性？你能寫出證明過程嗎？試試吧！探索第四步“證明”Q1:解決上述問題運用了什么知識？回顧1：Q2:在解決問題的過程中運用了什么方法？

Q3:運用上述方法的目的是什么？體現了什么數學思想？兩點之間線段最短(三角形兩邊之和大于第三邊)軸對稱目的：利用軸對稱將同側問題轉化為異側問題數學思想：轉化Part3：應用新知，解決問題點F為所求的點，使△ENF的周長最小如圖，△ABC中，點E在AC上，點N在BC上，在AB上找一點F，使△ENF的周長最小.

EˊF2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）Part4：拓展新知，解決問題實際問題數學問題探索第一步“轉化”A、B兩點在兩條平行直線a、b的異側，在直線a、b上找一條線段MN（MN與兩直線垂直），使得AM+MN+NB的和最小bBAa探索第二步使AM+MN+NB最小的橋MN存在嗎？？“猜想”幾何畫板演示2.gsp探索第三步“尋找”bBAaA′NM作法：1.將點A沿垂直于河岸的方向平移一個河寬到A’，2.連接A’B交河對岸于點N,則MN為所建的橋。此時AM+MN+NB為最短路徑。3.過點N作河岸的垂線交另一條河岸于點M

BAA1MNＮ１Ｍ１你能證明AM+MN+NB是最短的嗎？試試吧！探索第四步“證明”abQ1:解決上述問題運用了什么知識？回顧2：Q2:在解決問題的過程中運用了什么方法？

Q3:運用上述方法的目的是什么？體現了什么數學思想？兩點之間線段最短（三角形兩邊之和大于第三邊）平移目的：利用平移清除“障礙”，化“折”為“直”數學思想：轉化1.二中八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？

Part5：拓展新知，解決問題C′D′MN小明所走路線：C→M→N為所求的最短路線2：如圖，已知A，B是在直線l異側的兩定點，定長線段PQ在l上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長度最短？

Part5：拓展新知，解決問題A’QPPQ為所求的位置，使AP+PQ+QB長度最短Part5：拓展遷移，發散思維