選修4－1 幾何證明選講第一節 相似三角形的判定及有關性質1．平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．2．平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊的延長線 )所得的對應線段成比例．3．相似三角形的判定與性質(1)判定定理：內容判定定理 1 兩角對應相等的兩個三角形相似判定定理2兩邊對應成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似判定定理3三邊對應成比例的兩個三角形相似(2)性質定理：內容性質定理1相似三角形對應高、中線、角平分線和它們周長的比都等于相似比性質定理2相似三角形的面積比等于相似比的平方結論相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項1．在使用平行線截割定理時易出現對應線段、對應邊對應順序混亂，導致錯誤．2．在解決相似三角形的判定或應用時易出現對應邊和對應角對應失誤．[試一試]1．如圖，F為?ABCD的邊AD延長線上的一點， DF＝AD，BF分別交DC，AC于G，E兩點，EF＝16，GF＝12，求BE的長．解：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.2．在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，求CD的長．BCACAC282解：∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC＝CD，∴CD＝BC＝16＝4.1．判定兩個三角形相似的常規思路(1)先找兩對對應角相等；(2)若只能找到一對對應角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對應成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”．2．借助圖形判斷三角形相似的方法(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或對應邊成比例；(3)有公共邊的可將圖形旋轉，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應邊．[練一練]AD＝1.如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC且DB2，求△ADE與四邊形DBCE的面積的比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE2∴＝AD2.S△ABCABADAD2S△ADE4∵＝2，∴＝3，∴＝，DBABS△ABC9S△ADE4∴＝5.S四邊形DBCE2.如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D點，BC2＝BD·AB，求∠ACB.解：在△ABC與△CBD中，由BC2＝BD·AB，BC AB得BD＝BC，且∠B＝∠B，所以△ABC∽△CBD.則∠ACB＝∠CDB＝90°.考點一 平行線分線段成比例定理的應用1.如圖，在?ABCD中，E是BC上一點，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，求BF∶FD的值．解：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，2∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.即BF∶FD＝5.2.(2013惠·州調研)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC3∶5，DE＝6，求則BF的值．解：由DE∥BC得DE AE 3BC＝AC＝5，∵DE＝6，∴BC＝10.又因為DF∥AC，所以BFBC＝BDAB＝CEAC＝25，即BF＝4.3.如圖，在四邊形 ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求EF＋FG的值．BC AD解：由平行線分線段成比例定理得EFBC＝AFAC，FGAD＝FCAC，故EFBC＋FGAD＝AFAC＋FCAC＝ACAC＝1.[類題通法]比例線段常用平行線產生， 利用平行線轉移比例是常用的證題技巧， 當題中沒有平行線條件而有必要轉移比例時，也常添加輔助平行線，從而達到轉移比例的目的 .考點二 相似三角形的判定及性質[典例] (2013陜·西高考)如圖，弦AB與CD相交于⊙O內一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點 P.已知PD＝2DA＝2，求PE的值．[解]由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED.在△PDE和△PEA中，∠APE＝∠EPD，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，則PDPE＝PEPA，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝6.[類題通法]1．判定兩個三角形相似要注意結合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對應角和對應邊．2．相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等．[針對訓練](2013·山質檢佛)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB6，AC＝4，AD＝12，求BE的值．解：由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△ABE∽△ADC，從而得ADAB＝AE22AC，解得AE＝2，故BE＝AB－AE＝42.考點三射影定理的應用[典例]如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，DF AE交AD于F，求證：AF＝EC.[證明] 由三角形的內角平分線定理得，在△ABD中，DFAF＝BDAB，①AE AB在△ABC中，EC＝BC，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，BD AB即AB＝BC.③DF AB由①③得：AF＝BC，④由②④得：DFAF＝AEEC.[類題通法]1．在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”．2．證題時，要注意作垂線構造直角三角形是解直角三角形時常用的方法．[針對訓練]在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，求tan∠BCD的值．解：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，則AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，∴CD＝3x.BD x 1Rt△CDB中，tan∠BCD＝CD＝3x＝3.[課堂練通考點]1．如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的長．AB∥EM∥DC解： ?E為AD中點，AE＝EDM為BC的中點．又EF∥BC?EF＝MC＝12cm，∴BC＝2MC＝24cm.2．如圖，在四邊形 ABCD中，E是AB上一點，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE的值．解：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，又因為∠ECB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝ 3.3．(2013·東高考改編廣)如圖，在矩形 ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，求ED的值．解：∵tan∠BCA＝BCBA＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，33CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30＝°2.在△ECD中，由余弦定理得ED＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD3232233121＝＋3－2×2×3×2＝2.4.如圖，在△ABC中，F為邊AB上的一點，BF＝m(m，n>0)，取AFnBECF的中點D，連接AD并延長交 BC于點E.求EC的值．解：如圖，作FG∥BC交AE于點G，則FGFDBEABm＋n＝n.CE＝DC＝1，FG＝AFBE m＋n兩式相乘即得EC＝ n .5．在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE與AC交于點F，若△AEF的面積為6cm2，求△ABC的面積．1解：令E＝a，EF＝b，則2ab＝6.由題意知

EB＝2a.DF＝3b.1 1∴S△ABC＝2·AB·DE＝2×3a×4b＝

112×2ab＝12×6＝72(cm)．[課下提升考能]1．如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E，F兩點，證明：AF·AD＝AG·BF.證明：因為四邊形 ABCD為平行四邊形，所以 AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA.AF BF從而有AG＝AD，即AF·AD＝AG·BF.2．已知△ABC中，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE相交于點P，求證：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.證明：(1)∵BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，EP BP∴ ＝ .FP CP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.3．如圖，在△ABC中，D是過A作AH∥BE.連接ED并延長交

AC的中點，E是BC延長線上一點，AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的長．解：∵AH∥BE，∴HF＝AF.HE ABHF 1∵AB＝4AF，∴HE＝4，∵HE＝8，∴HF＝2.HD AD∵AH∥BE，∴ ＝ .DE DC∵D是AC的中點，∴HDDE＝1.∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，∴DF＝HD－HF＝4－2＝2.4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.證明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，1 1∴S△ABC＝2AB·AC＝2BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.5．如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AD上的一點，延長BE交AC于點F.若AE＝1，求AF的值．AD 4 AC解：如圖，過點 A作AG∥BC，交BF的延長線于點 G.AE1AE＝1∵＝，∴3.AD4ED又∵△AGE∽△DBE，AG AE 1∴ ＝ ＝.BD ED 3∵D為BC中點，BC＝2BD，AG 1∴ ＝.BC 6AF AG 1 AF 1∵△AGF∽△CBF，∴ ＝ ＝，∴ ＝.FC BC 6 AC 76.如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，E是CD的延長線上一點，1DE＝2CD，BE與AD交于點F.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為 2，求平行四邊形 ABCD的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.S△DEF＝(DE2，S△DEF＝(DE2∴S△ABFS△CEBCE)AB).1又DE＝2CD＝2AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.S△DEF2＝1，S△DEF＝(DE2＝1∴＝(DES△ABFS△CEBCE)9AB)4.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴平行四邊形ABCD的面積S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.第二節 直線與圓的位置關系1．圓周角定理(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．(2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等； 同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑．2．圓內接四邊形的性質與判定定理(1)性質：定理1：圓內接四邊形的對角互補．定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角．(2)判定：判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．3．圓的切線性質及判定定理(1)性質：性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．(2)判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．4．與圓有關的比例線段(1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．1．易混圓心角與圓周角，在使用時注意結合圖形作出判斷．2．在使用相交弦定理、 割線定理、切割線定理時易出現比例線段對應不成比例而失誤．[試一試]1.如圖，P是圓O外一點，過P引圓O的兩條割線PB、PD，PA＝AB＝5，CD＝3，求PC的長．解：設PC＝x，由割線定理知 PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.2.如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點，A，D是⊙O上兩點，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠BAD的值．解：由已知，顯然△EBC為等腰三角形，°－∠E因此有∠ECB＝＝67°，2因此∠BCD＝180°－∠ECB－∠DCF＝81°.而由A，B，C，D四點共圓，得∠BAD＝180°－∠BCD＝99°.1．與圓有關的輔助線的五種作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直徑，作直徑所對的圓周角．(3)有切點，作過切點的半徑．(4)兩圓相交，作公共弦．(5)兩圓相切，作公切線．2．證明四點共圓的常用方法(1)利用圓內接四邊形的判定定理，證明四點組成的四邊形的對角互補；(2)證明它的一個外角等于它的內對角；(3)證明四點到同一點的距離相等．當證明四點共圓以后，圓的各種性質都可以得到應用．3．圓冪定理與圓周角、弦切角聯合應用時，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比，由于圓冪定理涉及圓中線段的數量計算，

所以應注意代數法在解題中的應用．[練一練]1．(2013

·州模擬荊

)如圖，

PA是⊙O

的切線，切點為

A，過

PA的中點

M作割線交⊙

O于點B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，求∠MPB的值．解：由切割線定理得， MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即MB＝MP，MP MC又∠BMP＝∠PMC.故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.2．(2013長·沙一模)如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于點A，點B，且PB＝7，C是圓上一點，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，求AB的值．解：由PA為圓O的切線可得，∠PAB＝∠ACB，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.考點一圓周角、弦切角和圓的切線問題1.(2013天·津高考改編)如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求線段CF的長．解：因為AE是圓的切線，且AE＝6，BD＝5，由切割線定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四邊形 AEBC是平行四邊形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.CACFCA2168又由題意可得△CAF∽△CBA，所以CB＝CA，CF＝CB＝6＝3.2．(2013·東高考改編廣 )如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的長．解：連接OC，則OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，則∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD＝BC，AD＝AB，將AB＝6，ED＝2代入①式，得 CD＝ 12＝2 3，∴BC＝2 3.3．(2014岳·陽模擬)如圖所示，⊙O的兩條切線 PA和PB相交于點P，與⊙O相切于A，B兩點，C是⊙O上的一點，若∠P＝70°，求∠ACB的值．解：如圖所示，連接 OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB.故∠AOB＝110°，1∴∠ACB＝2∠AOB＝55°.[類題通法]1．圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．2．涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角．考點二圓內接四邊形的性質及判定[典例](2013鄭·州模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F，過點G作⊙O的切線，切點為H.(1)求證：C，D，E，F四點共圓；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的長．[解] (1)證明：連接 DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD與Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四點共圓．C，D，E，F四點共圓?GE·GF＝GC·GD(2)?GH2＝GE·GF，GH切⊙O于點H?GH2＝GC·GD又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.[類題通法]證明多點共圓，當它們在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補．[針對訓練]如圖所示，在四邊形

ABCP

中，線段

AP與

BC

的延長線交于點

D，已知

AB＝AC

且A，B，C，P四點共圓．PC PD(1)求證：AC＝BD；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．解：(1)證明：因為點 A，B，C，P四點共圓，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因為∠DPCPC PD＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因為∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以AB＝BD，PC PD又因為AB＝AC，所以AC＝BD.(2)因為AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°.由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以APAC2AC＝AD，所以AP·AD＝AC＝16.考點三 與圓有關的比例線段[典例] (2013遼·寧模擬)如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AB＝2AC.(1)求證：BE＝2AD；(2)當AC＝1，EC＝2時，求AD的長．[解] (1)證明：連接 DE，因為四邊形 ACED是圓的內接四邊形，所以∠ BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，BE DE所以BA＝CA，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分線，所以AD＝DE，從而BE＝2AD.(2)由已知得 AB＝2AC＝2，設AD＝t(0<t<2)，根據割線定理得，BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，11解得t＝2，即AD＝2.[類題通法]1．應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質、與圓有關的相似三角形等．2．相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關的比例線段的計算與證明．解決問題時要注意相似三角形知識與圓周角、弦切角、圓的切線等相關知識的綜合應用．[針對訓練](2014·州模擬鄭)如圖，已知⊙O和⊙M相交于A，B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧BD的中點，連接AG分別交⊙O，BD于點E，F，連接CE.2求證：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GF＝EF2.AG CE證明：(1)連接AB，AC，∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF＝∠AGD＝90°.∵G為弧BD的中點，∴∠DAG＝∠GAB＝∠ECF.CE EF∴△CEF∽△AGD，∴AG＝GD，∴AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GAB＝∠FDG，又∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF.2

2

2EF GD GF EF由(1)知CE2＝AG2，∴AG＝CE2.[課堂練通考點

]1．(2013·州模擬惠)如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC經過圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點O逆時針旋轉 60°得到OD，求PD的長．解：∵PA切⊙O于點A，B為PO的中點，∴∠AOB＝60°，∴∠POD

＝120°.在△POD

中，由余弦定理，得

PD2＝PO2＋DO2－12PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－2)＝7，故

PD＝

7.2．(2014江·南十校聯考)如圖，在圓的內接四邊形 ABCD

中，∠ABC90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，求BC的長．解：連接AC.因為∠ABC＝90°，所以AC為圓的直徑．又∠ACD＝∠ABD30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝2.3．(2013·州模擬廣)如圖，已知AB是⊙O的一條弦，點P為AB上一點，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝4，PB＝2，求PC的長．解：如圖，延長 CP交⊙O于點D，因為 PC⊥OP，所以 P是弦CD的中點，由相交弦定理知 PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2 2.4．(2013新·課標卷Ⅰ)如圖，直線 AB為圓的切線，切點為角平分線BE交圓于點 E，DB垂直BE交圓于點 D.

B，點

C在圓上，∠

ABC

的(1)證明：DB＝DC；(2)設圓的半徑為 1，BC＝

3，延長

CE交

AB

于點

F，求△BCF

外接圓的半徑．解：(1)證明：如圖，連接

DE，交

BC

于點

G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因為DB⊥BE，所以DE為直徑，則∠DCE＝90°，由勾股定理可得 DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，3故DG是BC的中垂線，所以 BG＝2.設DE的中點為 O，連接BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，3所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于 2.[課下提升考能]1．(2013·寧高考遼)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.π由AB為⊙O的直徑，得 AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝2；π又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.2．(2013·蘇高考江)如圖，AB和BC分別與圓 O相切于點 D，C，AC經過圓心 O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連接OD.因為AB和BC分別與圓 O相切于點 D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.BC AC所以OD＝AD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．如圖所示，直線AB過圓心O，交圓O于A，B兩點，直線AF交圓O于點F(不與B重合)，直線l與圓O相切于點C，交直線AB于點E，且與AF垂直，交AF的延長線于點G，連接AC.求證：(1)∠BAC＝∠CAG；(2)AC2＝AE·AF.證明：(1)連接BC，因為 AB是直徑，所以∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠AGC＝90°.因為GC切圓O于點