2022-2023學年湖北省宜昌市當陽玉泉中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若滿足約束條件，則的最小值是（

）A．－3

B．0

C．

D．3參考答案：A試題分析：約束條件，表示的可行域如圖，解得，解得，解得，把、、分別代入，可得的最小值是，故選A．

2.已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則實數等于（

）A．3

B．

C.5

D．參考答案：D3.一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h的值為（

） A．

B． C．

D．參考答案：B略4.在△中，角所對的邊分別為，若，則△的面積等于A．10

B．

C．20

D．參考答案：B5.已知定義在區間上的函數的圖像關于直線對稱，當時，，如果關于的方程有解，記所有解的和為，則不可能為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D作函數的圖象，如圖：觀察圖象，可得，若有解，則，①有4解，；②有3解，；③或有2解，，不可能為，故選D.

6.函數的定義域是

(

) A．

B．（1，+） C．（-1，1）∪（1，+∞）

D．（-，+）參考答案：C略7.函數的圖象大致為（

）A

B

C

D參考答案：C8.設雙曲線的方程為，若雙曲線的漸近線被圓M：所截得的兩條弦長之和為12，已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線的左、右焦點，頂點P在雙曲線上，則的值等于A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據垂徑定理求出圓心到直線距離為，再根據點到直線的距離公式可得，得到，即可求出，根據正弦定理可得【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為雙曲線的漸近線被圓：即所截得的兩條弦長之和為，設圓心到直線的距離為，則，即，，，根據正弦定理可得，，故選【點睛】本題考查了雙曲線的簡單性質以及圓的有關性質和正弦定理，考查了直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式，考查了學生的計算能力，屬于中檔題。9.執行如右圖所示的程序框圖，則輸出的的值等于（

）（A）13（B）15（C）36（D）49參考答案：D10.恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重，其數值越小說明生活富裕程度越高．統計改革開放40年來我國歷年城鎮和農村居民家庭恩格爾系數，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列結論錯誤的是（

）A.城鎮居民家庭生活富裕程度不低于農村居民家庭B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮和農村居民家庭生活富裕程度越來越高C.1996年開始城鎮和農村居民家庭恩格爾系數都低于50%D.隨著城鄉一體化進程的推進，城鎮和農村居民家庭生活富裕程度差別越來越小參考答案：C【分析】根據圖象，結合選項，判斷正誤.【詳解】從圖中可知城鎮居民家庭恩格爾系數不高于農村居民家庭的恩格爾系數，所以A選項正確；從圖中可知城鎮居民家庭和農村居民家庭的恩格爾系數都在降低，所以B選項正確；從圖中可知農村居民家庭的恩格爾系數從2001年開始低于50%，所以C選項錯誤；從圖中可知隨著城鄉一體化進程的推進，城鎮和農村居民家庭的恩格爾系數越來越接近，所以D選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查了根據圖象提取信息的能力，屬于容易題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知cos(75°+α)=，則cos（30°﹣2α）的值為．參考答案：【考點】二倍角的余弦；兩角和與差的余弦函數．【專題】三角函數的求值．【分析】利用誘導公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），運算求得結果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，則cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案為．【點評】本題主要考查誘導公式，二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．12.若圓與圓的兩個交點始終為圓的直徑兩個端點，則動點的軌跡方程為

.參考答案：故有．考點：圓與圓相交，圓的性質．13.若滿足約束條件,且取得最小值的點有無數個,則________.參考答案：或略14.如圖，在圓中有結論：“是圓的直徑，直線、是圓過、的切線，是圓上任意一點，是過的切線，則有．”類比到橢圓：“是橢圓的長軸，，是橢圓的焦點，直線、是橢圓過、的切線，是橢圓上任意一點，是過的切線，則有

；參考答案：15.

已知函數f(x)=x2+x+a(a＜0)的區間（0，1）上有零點，則a的范圍是

.參考答案：-2＜a＜016.數列是公差不為0的等差數列，且，則．參考答案：317.若ΔABC的三個內角所對邊的長分別為，向量，，若，則∠等于

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的參數方程為（α為參數），以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為sinθ﹣cosθ=，求直線被曲線C截得的弦長．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）求出曲線C的普通方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，即可將代入并化簡，求曲線C的極坐標方程；（2）直角坐標方程為y﹣x=1，求圓心C到直線的距離，即可求出直線被曲線C截得的弦長．【解答】解：（1）∵曲線C的參數方程為（α為參數），∴曲線C的普通方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲線C表示以（3，1）為圓心，為半徑的圓，將代入并化簡：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐標方程為y﹣x=1，∴圓心C到直線的距離為，∴弦長為．19.已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是PB的中點。（1）求證：BD⊥平面PAC；（3）求證：平面EAD⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-EAD的體積。參考答案：（1）略；（2）略；（3）20.（本題12分）現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；（3）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ.參考答案：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率

3分（2）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則，由于與互斥，故所以，這4個人去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為.

7分（3）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故，

。所以ξ的分布列是ξ024P隨機變量ξ的數學期望

12分21.已知函數f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；（Ⅱ）若函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，（i）求實數a的值；（ii）若對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；函數恒成立問題．【專題】綜合題；壓軸題；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求導函數，利用函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，可得x=1是函數g（x）的極值點，從而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[，3]時，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]時，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再將對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價變形，分類討論，即可求得實數k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）求導函數可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數．∴函數f（x）的最大值為f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函數f（x）的極值點，又∵函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，∴x=1是函數g（x）的極值點，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]時，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．當x∈[，1）時，g′（x）＜0；當x∈（1，3]時，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）為減函數，在（1，3]上為增函數．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]時，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①當k﹣1＞0，即k＞1時，對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②當k﹣1＜0，即k＜1時，對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．綜上，所求的實數k的取值范圍為（﹣∞，]∪（1，+∞）．【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．22.已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）直線y=2上是否存在點M，便得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點M的坐標，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）通過橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面積為，建立關于a，b，c的方程，解出a，b，即求出橢圓的標準方程．（2）對于存在性問題，要先假設存在，先設切線y=k（x﹣m）+2，與橢圓聯立，利用△=0，得出關于斜率k的方程，利用兩根之積公式k1k2=﹣1，求出Q點坐標．【解答】解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面積為，∴=c，=，∴a=2，b=，∴橢圓方程為=1．（2）假設直線y=2上存在點Q滿足題意，設Q（m，2），當m=±2時，從Q點所引的兩條切線不垂直．當