計量經濟第二章InroductoryEconometricsLijunJia1第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia2ChapterOutline

本章大綱DefinitionoftheSimpleRegressionModel簡單回歸模型的定義DerivingtheOrdinaryLeastSquaresEstimates普通最小二乘法的推導MechanicsofOLSOLS的操作技巧UnitsofMeasurementandFunctionalForm

測量單位和函數形式ExpectedValuesandVariancesoftheOLSestimatorsOLS估計量的期望值和方差RegressionthroughtheOrigin過原點回歸第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia3LectureOutline

講義大綱SomeTerminology一些術語的注解ASimpleAssumption一個簡單假定ZeroConditionalMeanAssumption條件期望零值假定WhatisOrdinaryLeastSquares

何為普通最小二乘法DerivingOLSEstimates

普通最小二乘法的推導第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia4SomeTerminology

術語注解

Inthesimplelinearregressionmodel,wherey=b0+b1x+u,wetypicallyrefertoyastheDependentVariable,orLeft-HandSideVariable,orExplainedVariable,orresponsevariable,orPredictedvariableorRegressand在簡單二元回歸模型y=b0+b1x+u中，y通常被稱為因變量，左邊變量，響應變量，被預測變量，被解釋變量，或回歸子。第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia5SomeTerminology

術語注解Inthesimplelinearregressionofyonx,wetypicallyrefertoxastheIndependentVariable,orRight-HandSideVariable,orExplanatoryVariable,orControlVariables,orCovariate,orpredictorvariableRegressor在y

對x進行回歸的簡單二元回歸模型中，x通常被稱為自變量，右邊變量，解釋變量，控制變量，協變量，或回歸元。第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia6SomeTerminology

術語注解Equation2.1

y=b0+b1x+uhasonlyonenonconstantregressorx,itiscalledasimplelinearregressionmodel,ortwo-variablesregressionmodel,or

bivariatelinearregressionmodel.

等式y=b0+b1x+u只有一個非常數回歸元。我們稱之為簡單回歸模型，兩變量回歸模型或雙變量回歸模型.第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia7SomeTerminology

術語注解Thecoefficientsb0,b1arecalledtheregressioncoefficientsorparameter.b0isalsocalledtheconstanttermortheinterceptterm,orinterceptparameter.

b1representsthemarginaleffectsoftheregressor,x.

Itisalsocalledtheslopeparameter.b0,b1被稱為回歸系數。b0也被稱為常數項或截矩項，或截矩參數。b1代表了回歸元x的邊際效果，也被成為斜率參數。第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia8SomeTerminology

術語注解

Thevariableuiscalledtheerrortermordisturbanceintherelationship.Itrepresentsfactorsotherthanxthatcanaffecty.

u

為誤差項或擾動項，它代表了除了x之外可以影響y的因素。第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia9SomeTerminology

術語注解Meaningoflinear:linearmeanslinearinparameters,notnecessarilymeanthatyandxmusthavealinearrelationship.Therearemanycasesthatyandxhavenonlinearrelationship,butaftersometransformation,theyarelinearinparameters.Forexample,y=eb0+b1x+u.線性的含義：y和x之間并不一定存在線性關系，但是，只要通過轉換可以使y的轉換形式和x的轉換形式存在相對于參數的線性關系，該模型即稱為線性模型。第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia10Examples

簡單二元回歸模型例子Asimplewageequation2.4

wage=b0+b1(educ)+ub1

:ifeducationincreasebyoneyear,howmuchmorewagewillonegain.上述簡單工資函數描述了受教育年限和工資之間的關系,b1

衡量了多接受一年教育工資可以增加多少.第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia11ASimpleAssumption

關于u的假定

Theaveragevalueofu,theerrorterm,inthepopulationis0.Thatis, E(u)=0 (2.5)Ititrestrictive?我們假定總體中誤差項u的平均值為零.該假定是否具有很大的限制性呢?第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia12ASimpleAssumption

關于u的假定Ifforexample,E(u)=5.Then y=(b0+5)+b1x+(u-5),

therefore,E(u’)=E(u-5)=0.Thisisnotarestrictiveassumption,sincewecanalwaysuseb0

tonormalizeE(u)to0.上述推導說明我們總可以通過調整常數項來實現誤差項的均值為零,因此該假定的限制性不大.第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia13ZeroConditionalMeanAssumption

條件期望零值假定

WeneedtomakeacrucialassumptionabouthowuandxarerelatedWewantittobethecasethatknowingsomethingaboutxdoesnotgiveusanyinformationaboutu,sothattheyarecompletelyunrelated.Thatis E(u|x)=E(u)。我們需要對u和x之間的關系做一個關鍵假定。理想狀況是對x的了解并不增加對u的任何信息。換句話說，我們需要u和x完全不相關。第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia14ZeroConditionalMeanAssumption

條件期望零值假定

SincewehaveassumedE(u)=0,therefore, E(u|x)=E(u)=0.(2.6)Whatdoesitmean?由于我們已經假定了E(u)=0，因此有E(u|x)=E(u)=0。該假定是何含義？第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia15ZeroConditionalMeanAssumption

條件期望零值假定

Intheexampleofeducation,supposeurepresentsinnateability,zeroconditionalmeanassumptionmeans E(ability|edu=6)=E(ability|edu=18)=0.Theaveragelevelofabilityisthesameregardlessofyearsofeducation.在教育一例中，假定u代表內在能力，條件期望零值假定說明不管解釋教育的年限如何，該能力的平均值相同。

第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia16ZeroConditionalMeanAssumption

條件期望零值假定

Question:Supposethatascoreonafinalexam,score,dependsonclassesattended(attend)andunobservedfactorsthataffectexamperformance(suchasstudentability).Thenconsidermodel

score=b0+b1attend+uWhenwouldyouexpectitsatisfy(2.6)?假設期末成績分數取決于出勤次數和影響學生現場發揮的因素，如學生個人素質。那么上述模型中假設（2.6）何時能夠成立？第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia17ZeroConditionalMeanAssumption

條件期望零值假定

(2.6)impliesthepopulationregressionfunction,E(y|x),satisfiesE(y|x)=E(b0/x)+E(b1x/x)+E(u/x

) =b0+b1x.E(y|x)asalinearfunctionofx,whereforanyxthedistributionofyiscenteredaboutE(y|x).(2.6)說明總體回歸函數應滿足E(y|x)=b0+b1x。該函數是x的線性函數，y的分布以它為中心。第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia18....y4y1y2y3x1x2x3x4}}{{u1u2u3u4xyPopulationregressionline,sampledatapointsandtheassociatederrorterms總體回歸線，樣本觀察點和相應誤差E(y|x)=b0+b1x第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia19So：

orUiiscalledstochasticdisturbance,orstochasticerror兩邊取X的條件期望值，可推出E(ui/Xi)=0第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia20DerivingtheOrdinaryLeastSquaresEstimates普通最小二乘法的推導BasicideaofregressionistoestimatethepopulationparametersfromasampleLet{(xi,yi):i=1,…,n}denotearandomsampleofsizenfromthepopulationForeachobservationinthissample,itwillbethecasethat

yi=b0+b1xi+ui回歸的基本思想是從樣本去估計總體參數。我們用{(xi,yi):i=1,…,n}來表示一個隨機樣本，并假定每一觀測值滿足yi=b0+b1xi+ui。第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia21預備知識附錄A5:附錄A7附錄A8第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia22DerivingOLSEstimates

普通最小二乘法的推導

ToderivetheOLSestimatorweneedtorealizethatourmainassumptionofE(u|x)=E(u)=0alsoimpliesthatCov(x,u)=E(xu)=0Why?RememberfrombasicprobabilitythatCov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)由E(u|x)=E(u)=0可得Cov(x,u)=E(xu)=0。第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia23DerivingOLScontinued

普通最小二乘法的推導

Wecanwriteour2restrictionsjustintermsofx,y,b0andb1,sinceu=y–

b0

–

b1xE(y–

b0

–

b1x)=0E[x(y–

b0

–

b1x)]=0Thesearecalledmomentrestrictions可將u=y–

b0

–

b1x代入以得上述兩個矩條件。第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia24DerivationofOLS

普通最小二乘法的推導

Thesampleversionsareasfollows:第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia25DerivationofOLS

普通最小二乘法的推導Giventhedefinitionofasamplemean,andpropertiesofsummation,wecanrewritethefirstconditionasfollows

根據樣本均值的定義以及加總的性質，可將第一個條件寫為第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia26DerivationofOLS

普通最小二乘法的推導第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia27SotheOLSestimatedslopeis

因此OLS估計出的斜率為第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia28OLS推導的思路（1）2.10—2.12—2.14—2.16—2.17（2）2.11—2.13—2.15（3）plug2.17into2.15——2.19第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五InroductoryEconometricsLijunJia29SummaryofOLSslopeestimate

OLS斜率估計法總結

Theslopeestimateisthesamplecovariancebetweenxandydividedbythesamplevarianceofx.Ifxandyarepositivelycorrelated,theslopewillbepositive.Ifxandyarenegativelycorrelated,theslopewillbenegative.Onlyneedxtovaryinoursam