第18頁/共18頁第二學期高一年級數學期末一、填空題：（1-6題每題4分，7-12題每題5分，共54分）1.在中，，則角的余弦值是___________.【答案】##【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】在中，，則.故答案為：.2.已知點，則直線的一般式方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用點斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】，則直線的方程為，即.故答案為：.3.函數的最大值為，則正數a的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式和正弦函數的圖像和性質即可求解.【詳解】因為函數，由正弦函數的圖像和性質可知，函數的最大值為，因，所以，故答案為：.4.已知為虛數單位，復數，則_________.【答案】【解析】【分析】先根據復數乘法運算求出，再根據復數的模的計算公式即可得解.【詳解】，則.故答案為：.5.若，則在方向上的數量投影為___________.【答案】【解析】【分析】根據投影的定義計算即可.【詳解】由，得，所以在方向上的數量投影為.故答案為：.6.已知為虛數單位，復數的共軛復數為___________.【答案】##【解析】【分析】先根據復數的除法運算化簡，再根據共軛復數的定義即可得解.【詳解】，所以的共軛復數為.故答案為：.7.已知數列{an}的前n項和Sn=n2+1，那么它的通項公式為an=______．【答案】【解析】【分析】當n=1時,a1=S1=2；當時,,檢驗后可得通項公式【詳解】解：當n=1時,a1=S1=12+1=2；當時,,檢驗,當時,,∴不符合∴，故答案為【點睛】本題考查由與的關系求通項公式,解此類問題時需注意檢驗8.函數的單調增區間是______.【答案】【解析】【分析】根據正切函數的單調性即可得出答案.【詳解】解：令，得，所以函數的單調增區間是.故答案為：.9.已知實系數一元二次方程的兩根分別為，且，則實數m的值為___________.【答案】【解析】【分析】利用韋達定理求出，再根據即可得解.【詳解】由題意可得，解得或，，則，解得.故答案為：.10.在年月日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國?各地區代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）.已知正六邊形的邊長為，若點是線段上的動點（包括端點），則的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標系后，用向量的坐標運算進行求解即可.【詳解】連接，，，交于點，則正六邊形被分為個全等的等邊三角形，如圖所示，以為原點，所在直線為軸，過與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系，∵正六邊形的邊長為，∴，，，，∵是線段上的動點（包括端點），∴設，（）∴，∴，，∴，∵，∴當且僅當時，的最小值為.故答案為：.11.在平面直角坐標系中，如果與都是整數，就稱點為整點，下列命題中正確的是______（寫出所有正確命題的編號）①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；②如果與都是無理數，則直線不經過任何整點；③如果直線經過兩個不同的整點，則直線必經過無窮多個整點；④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數；⑤存在恰經過一個整點的直線.【答案】①③⑤【解析】【分析】逐項分析判斷即可，或舉例說明或舉反例判斷或直接證明.詳解】對于①，令，則該直線既不與坐標軸平行又不經過任何整點，故①正確；對于②，取，，直線經過整點，故②錯誤；

對于③，設直線經過整點，，，當時，直線方程為，經過無窮多個整點；當時，則直線斜率，不妨設為，則直線，它經過無數個整點，故③正確；

對于④，當k，b都為有理數時，可能不經過整點，例如，，故④錯誤；對于⑤，直線只經過一個整點，故⑤正確.故答案為：①③⑤12.已知正三角形面積為，D為邊上一點，且.射線沿與夾角為α的方向射到邊上的點E，經反射交邊于點F.射線經邊反射交于點G.若點G在線段上（不包括端點C、D），則α的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】先利用題給條件確定D在邊上的位置，再利用光線反射定理和點關于直線的對稱點即可看求得α的取值范圍.【詳解】正三角形面積為，則正三角形邊長為3，由，可得，則，過點A作，以A為原點分別以所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則，則，則直線的方程為，設點D關于直線的對稱點為，則，解之得故，則關于x軸的對稱點為則，由又由題意可得,則，則,則,則直線的傾斜角為，則，則，又，則故答案為：二、選擇題：（13，14題每題4分，15，16題每題5分，共18分）13.在三角形ABC中，，則B=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，進而求得正確答案.【詳解】三角形ABC中，，由正弦定理得，因為，則B是銳角，所以故選：A14.用數學歸納法證明等式的過程中，由n＝k遞推到n＝k+1時不等式左邊（）A.增加了項B.增加了項C.增加了項D.以上均不對【答案】C【解析】【分析】依題意，由遞推到時，不等式左邊為，與時不等式的左邊比較即可得到答案．【詳解】用數學歸納法證明等式的過程中，假設時不等式成立，左邊，則當時，左邊，所以由遞推到時不等式左邊增加了：．故選：C．15.分形幾何學的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路.圖1是邊長為1的等邊三角形，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……依此進行“n次分形”，其中n為正整數.規定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于30的分形圖，則n的最小整數值是（取）（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數列，從而可得到“n次分形”圖的長度為，列出不等式，結合，即可求解．【詳解】依題意可得“n次分形”圖的長度是“次分形”圖的長度的，由“一次分形”圖的長度為，所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數列，所以“n次分形”圖的長度為，故，即，兩邊取對數得，所以，又，故n的最小整數值是9．故選：B.16.若數列、均為嚴格增數列，且對任意正整數n，都存在正整數m，使得，則稱數列為數列的“M數列”．已知數列的前n項和為，則下列選項中為假命題的是（）A.存在等差數列，使得是的“M數列”B.存在等比數列，使得是“M數列”C.存在等差數列，使得是的“M數列”D.存在等比數列，使得是的“M數列”【答案】C【解析】【分析】對于A：取，分析判斷；對于B、D：取，分析判斷；對于C：根據題意結合等差數列的性質分析判斷.【詳解】對于A：例如，則為等差數列，且、均為嚴格增數列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數列”，故A為真命題；對B：例如，則為等比數列，且、均為嚴格增數列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數列”，故B為真命題；對于C：若存在等差數列，使得是的“M數列”，設等差數列的公差為，∵、均為嚴格增數列，則，故，取滿足，可知必存在，使得成立，當時，對任意正整數，則有；對任意正整數，則有；故不存在正整數，使得，故C為假命題；對D：例如，則為等比數列，且、均為嚴格增數列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數列”，故D為真命題；故選：C.【點睛】關鍵點睛：在說明選項C時，只需說明，故取即可.三、解答題：（17，18，19題每題14分，20，21題每題18分，共78分）17.已知平面向量滿足，且．（1）求向量的夾角；（2）若，求實數的值．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)由平方，根據向量數量積的運算方法即可求出cosθ，從而可求θ；(2)由得，根據向量的數量積運算律即可求出λ﹒【小問1詳解】由平方得，∵，∴，解得，∵，∴；【小問2詳解】由(1)知．∵，∴，化簡得，∴，解得．18.歐拉(1707-1783)，他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數e，圓周率，兩個單位——虛數單位i和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0，數學家評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式：，解決以下問題：（1）將復數表示成(，i為虛數單位)的形式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據題意結合復數運算求解；（2）根據題意結合復數的四則運算和模長整理得，再結合正弦函數的有界性分析運算.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】由題意可得：，所以，因為，所以，因此，所以的最大值為2.19.已知是等差數列，是等比數列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前2n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用等比數列、等差數列通項公式計算即可.（2）運用分組求和及等差數列、等比數列求和公式計算即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，則，，，又，可得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，故，以它為通項的數列是以-1為首項、公比為-3的等比數列，所以，所以數列的前2n項和為：.即:數列的前2n項和為.20.已知點P和非零實數，若兩條不同的直線均過點P，且斜率之積為，則稱直線是一組“共軛線對”，如直是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.（1）已知是一組“共軛線對”，求的夾角的最小值；（2）已知點A(0,1)、點和點C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點（A,B,C與P,Q,R均不重合），且直線PR,PQ是“共軛線對”，直線QP,QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；（3）已知點，直線是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點O到直線的距離之積的取值范圍.【答案】（1）最小值為；（2）P(3,3)或；（3）.【解析】【分析】（1）設l1的斜率為k，則l2的斜率為，兩直線的夾角為α，利用夾角公式及基本不等式求最值，即可得到l1，l2的夾角的最小值；（2）設直線PR，PQ，QR的斜率分別為k1，k2，k3，可得，求解可得k1，k2，k3的值，進一步得到直線PR與直線PQ的方程，聯立得P的坐標；（3）設l1：,，其中k≠0，利用兩點間的距離公式可得原點O到直線l1，l2的距離，變形后利用基本不等式求解．【詳解】（1）設的斜率為k，則的斜率為，兩直線的夾角為a，則，等號成立的條件是，所以最小值為；（2）設直線的斜率分別為，則得或.當時，直線的方程為y=，直線的方程為y=，聯立得，P(3,3)；當時，，直線的方程為y=，直線的方程為y=-，聯立得，；故所求為P(3,3)或；（3）設，，其中k，故=由于（等號成立的條件是），故，.【點睛】本題考查兩直線夾角與到角公式的應用，考查點到直線距離公式的運用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．21.在平面直角坐標系中，已知函數的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸.（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應的函數記作.①若動點在圓O上運動，P為圓O外一點，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，求的最小值；②已知常數，且函數在內恰有2023個零點，求常數與值.【答案】（1）（2）①；②，【解析】【分析】（1）根據函數的最小正周期、對稱軸求出參數，即可得解析式；（2）由圖象平移得，①由已知得并確定其軌跡，利用圓的切線性質可得，應用基本不等式求最值，注意取值條件；②由題設知在內恰有2023個根，換元法有得關于的二次方程必有兩不等實根?，進而討論根的分布情況判斷、解的個數，即可確定參數值.【小問1詳解】由三角函數的周期得，故，令，得，由于直線為函數的一條對稱軸，所以，得，由于，即，則，因此；【小問2詳解】將的圖象向右平移個單位得，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變.橫坐標伸長為原來的2倍后，得到，①由已知，則圓O的半徑為1，故，設，則，∴，當且僅當時取等號，故的最小值為；②由題設，易得：，令得：，顯然時不合題意，所以，，令得：，，則關于t的二次方程必有兩不等實根?，則，，所以?異號，（i）當且時，則和在均有偶數個根，從而在也有偶數個根，不合題意；（ii）當，則，此時，當時，只有一根，有兩根，所以