第4講函數的概念與性質教材核心知識課標要求學業水平評價要求函數的概念用集合語言和對應關系刻畫函數,建立完整的函數概念,體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用,了解構成函數的要素,能求簡單函數的定義域了解、理解函數的表示在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數,理解函數圖象的作用,了解簡單的分段函數并能簡單應用理解、應用函數的單調性與最值借助函數圖象,會用符號語言表達函數的單調性,會求最值,理解它們的作用和實際意義理解、應用函數的奇偶性結合具體函數,了解奇偶性的概念和幾何意義理解、應用1.函數的概念及其表示(1)函數的概念:設A,B是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系f

,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A.其中x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數的定義域;與x的值相對應的y值叫作函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的值域.(2)函數的三要素:定義域、對應關系、值域.(3)函數的表示:解析法、圖象法、列表法.2.函數的單調性與最值(1)增函數、減函數:設函數f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當

x1<x2

時,都有

f(x1)<f(x2)

,那么就說函數f(x)在區間D上是增函數;當

x1<x2

時,都有

f(x1)>f(x2)

,那么就說函數f(x)在區間D上是減函數.(2)函數的最值:設函數f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:①對于任意的x∈I,都有

f(x)≤M(或f(x)≥M)

;②存在x0∈I,使

f(x0)=M

.那么稱M是函數y=f(x)的最大值(或最小值).3.函數的奇偶性(1)定義:如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有

f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),那么函數f(x)就叫作偶(奇)函數.(2)性質:偶函數的圖象關于

y軸對稱,奇函數圖象關于原點對稱.考點一考點二函數的概念及其表示◆角度1.函數的定義域、值域A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.[-3,-2)∪(-2,+∞) D.[-3,2)∪(2,+∞)答案

C

解析

由題可得,要使函數有意義,則

解得x≥-3且x≠-2,所以函數的定義域為[-3,-2)∪(-2,+∞).故選C.考點一考點二例2(2020年7月浙江學考)函數f(x)=2x的值域是(

)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)答案

B

解析

由題可得,x∈R,因為2x>0,所以可知函數的值域為(0,+∞).故選B.考點一考點二(1)函數的定義域是指使得函數有意義的自變量的取值集合,因此可以根據如何使函數有意義來建立不等式或不等式組,通過解不等式(組)來求得函數的定義域,求解過程中要注意函數在實際背景下定義域的可能限制.(2)對于一個函數來說,當其對應關系與定義域確定時,其函數的值域也隨之確定.因此函數的值域要根據函數的定義域與對應關系來處理.常見的求函數值域的方法有觀察法、配方法、換元法等,有時也可以根據函數的圖象直接得到函數的值域.考點一考點二◆角度2.分段函數例3(2019年4月浙江學考)已知函數f(x)=若f(x)=4,則x的值為(

)A.2或-2 B.2或3C.3 D.5答案

C

解析

當|x|≤1時,f(x)=x2=4,解得x=±2,不滿足條件;當|x|>1時,f(x)=x+1=4,解得x=3,滿足條件.所以x的值為3.故選C.考點一考點二考點一考點二例5設函數f(x)=若f(x0)>1,則x0的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案

D解析

當x0≤0時,f(x0)=-1>1,解得-x0>1,所以x0<-1,所以此時有x0<-1;當x0>0時,f(x0)=>1,解得x0>1,所以此時有x0>1.綜上可知,x0<-1或x0>1.故選D.考點一考點二分段函數的求解策略:(1)根據分段函數解析式求函數值首先確定自變量的值屬于哪個區間,其次選定相應的解析式代入求解.(2)已知函數值或函數值范圍求自變量的值或范圍應根據每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.考點一考點二函數的基本性質◆角度1.函數的單調性例6給定下列函數,其中在區間(0,1)上單調遞增的函數是(

)A.y=-x2

B.y=|x2-2x|考點一考點二答案

B

解析

由題可得,函數y=-x2在(0,1)上單調遞減,所以選項A錯誤;函數y=()x+1是減函數,所以選項C錯誤;函數y=x+在(0,1)上單調遞減,所以選項D錯誤;函數y=|x2-2x|在(0,1)上單調遞增,所以可知選項B正確.故選B.考點一考點二例7已知函數f(x)=是R上的增函數,則實數a的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(-∞,1]C.(0,1) D.(0,1]答案

D

解析

因為函數是R上的增函數,所以

解得0<a≤1,所以實數a的取值范圍是(0,1].故選D.考點一考點二熟練掌握函數的單調性的定義以及常見函數的單調性的判斷方法,能夠判斷給出函數的單調性及其單調區間,根據函數的單調性的定義建立不等式(組),求解不等式.考點一考點二◆角度2.函數的奇偶性例8(2018年4月浙江學考)用列表法將函數f(x)表示為x123f(x)-101則(

)A.f(x+2)為奇函數

B.f(x+2)為偶函數C.f(x-2)為奇函數

D.f(x-2)為偶函數答案

A

解析

由題可得,函數f(x)的圖象關于(2,0)對稱,將函數f(x)的圖象向左平移2個單位長度,得到函數f(x+2)的圖象,其圖象關于原點對稱,所以f(x+2)為奇函數.故選A.考點一考點二例9已知函數f(x)是R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2答案

D

解析

方法一

因為函數f(x)是R上的奇函數,所以f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.故選D.方法二

因為函數f(x)是R上的奇函數,所以有f(-x)=-f(x).考點一考點二考點一考點二判斷函數奇偶性的常見方法有定義法、圖象法及性質法;利用函數的奇偶性求解析式的步驟:先在相應區間設定x,然后轉化到已知區間上,并代入已知的解析式,從而得到函數的解析式.考點一考點二◆角度3.函數奇偶性、單調性的綜合例10設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是(

)A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(-2)<f(-3)<f(π)C.f(-3)<f(-2)<f(π) D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案

B

解析

因為函數是偶函數,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又因為當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,所以當2<3<π時,有f(2)<f(3)<f(π),即有f(-2)<f(-3)<f(π).故選B.考點一考點二例11設偶函數f(x),當x≥0時,f(x)=log2(x+2)-2,則滿足f(a)>0的實數a的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案

D

解析

因為函數是偶函數,所以有f(-x)=f(x).設x<0,則-x>0,所以f(x)=f(-x)=log2(-x+2)-2.當a≥0時,f(a)=log2(a+2)-2>0,解得a>2,此時有a>2;當a<0時,f(a)=log2(-a+2)-2>0,解得a<-2.綜上可知,a<-2或a>2.所以實數a的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞).故選D.考點一考點二函數的奇偶性與單調性綜合問題的解題思路:(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性,偶函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相反的單調性.(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知條件,把已知不等式轉化為f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據函數的奇偶性與單調性,列出不等式(組),要注意函數定義域對參數的影響.考點一考點二◆角度4.利用函數的性質考查圖象例12(2020年1月浙江學考)函數f(x)=|x|·sinx的圖象大致是(

)考點一考點二答案

A

解析

對于函數f(x)=|x|·sin