當數學遇上藝術——理性與感性的交融Mathematics&Art第1講黃金美學之旅Mathematics&Art一、神秘的五角星之謎將10棵樹排成5行，而且每行4棵，怎么排法？一、神秘的五角星之謎泥板書上五角星符號一、神秘的五角星之謎畢達哥拉斯極其學派標志中世紀的開普勒曾說：“幾何學里有二個寶庫：一個是畢達哥拉斯定理（即“商高定理”、“勾股定理”）；另外一個就是黃金分割比。前面那個可以比作金礦，而后面那一個可以比作珍貴的鉆石礦。”

二、黃金分割之謎

中世紀的開普勒曾說：“幾何學里有二個寶庫：一個是畢達哥拉斯定理（即“商高定理”、“勾股定理”）；另外一個就是黃金分割比。前面那個可以比作金礦，而后面那一個可以比作珍貴的鉆石礦。”

7（一）黃金分割的由來歐幾里得《幾何原本》數學家帕喬利81．定義：如圖，把任一線段AB分割成兩段，使，這樣就稱線段AB被點C黃金分割（goldensection），點C叫做線段AB的黃金分割點，這樣的比值叫黃金分割比，也稱為中外比。

（二）黃金分割的定義92．求黃金比解：設全段AB長為1，AC為x，則BC等于1-x，于是，就有

解得，其正根為

(常記為φ)（三）黃金分割點的尺規作圖法在正五角星中，每條線中間的點都是這條線段的黃金分割點。例如，上圖中，點C就是線段AB的黃金分割點。在水平地面的A點處豎立一根木桿AB。把一根相同長度的木桿CD斜靠在AB上，其中D點正好是AB的中點。再把一根相同長度的木桿EF斜靠在CD上，其中F點正好是CD的中點。則點C是線段AE的黃金分割點。（四）無處不在的0.618：九種構造黃金分割的方法作等邊三角形ABC。以BC為邊向外作正方形BCDE。以C為圓心，CE為半徑畫弧，與AB所在直線交于點F。則B是線段AF的黃金分割點。作一個3:4:5的直角三角形ABC。作角B的角平分線，與AC交于點D。以D為圓心，DA為半徑作圓，與角平分線分別交于E、F。則E是線段BF的黃金分割點。作等邊三角形ABC。D、E分別是AC、BC的中點。DE的延長線與整個三角形的外接圓交于點F。則E是線段DF的黃金分割點。以AB為半徑，分別以A、B為圓心作圓。BA的延長線與圓A交于點C。以C為圓心，CB為半徑作圓。連接圖中所示的D、E兩點，它與AB交于點F。則F是AB的黃金分割點。作等邊三角形ABC。以它的邊長為半徑，分別以A、B、C為頂點作三個等圓，其中⊙A、⊙B兩圓交于點D，⊙A、⊙C兩圓交于點E。CD與⊙C交于點F。以E為圓心，EF為半徑作弧，與AB交于點G。則G是AB的黃金分割點。三個等圓依次相切，它們又都緊緊地包含在一個半圓中。則半圓的半徑與小圓的直徑是黃金分割比，也就是說圖中B是線段AC的黃金分割點。以AB為半徑，分別以A、B為圓心作圓，兩圓相交于C、D兩點，同時這兩個圓分別與直線AB交于E、F兩點。分別以A、B為圓心，AE、BF為半徑作圓，兩圓相交于點G。由對稱性，C、D、G三點顯然共線。則D是線段CG的黃金分割點。16

1．黃金三角形

（五）黃金結構的幾何圖形17

1．黃金三角形

（五）黃金結構的幾何圖形18

1．黃金三角形

（五）黃金結構的幾何圖形19

2．黃金矩形

（五）黃金結構的幾何圖形20

2．黃金矩形

（五）黃金結構的幾何圖形21

2．黃金矩形

（五）黃金結構的幾何圖形法國昆蟲學家法布爾曾驚嘆：“幾何，以及面積上的和諧，支配著一切。幾何存在于松果鱗片的布置中，也存在與圓網蛛的黏膠絲上；蝸牛的螺旋上升斜線里有幾何，蜘蛛網的念珠里有幾何，行星軌道里也有幾何；幾何到處存在，不管在原子世界里還是在無限遼闊的宇宙中，幾何都是非常高明的！”22

3．黃金圓錐曲線

（五）黃金結構的幾何圖形23

1．黃金分割率的倒數和平方關系（六）黃金分割率的有趣性質φ′=1+φ=1/φ=1.618，即倒黃金分割率

0.618=φ(PHI)黃金分割率

φ=1/（φ+1）φ′=1/φ′+124

2．無窮連分數表達式（六）黃金分割率的有趣性質253．無窮根式表達式（六）黃金分割率的有趣性質三、黃金分割之美三、黃金分割之美帕特農神廟

斷臂維納斯三、黃金分割之美維特魯威人圣徒杰羅姆三、黃金分割之美《蒙娜麗莎》三、黃金分割之美柯布西耶與愛因斯坦《模塊人》三、黃金分割之美華羅庚在廣西深入車間講解優選法三、黃金分割之美《國家地理》封面logo設計百事可樂logo設計三、黃金分割之美蘋果公司的logo設計設