江西省九江市私立寧達中學2021年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，互不相同的點分別在以O為頂點的三棱錐的三條側棱上，所有平面相互平行，且所有三棱臺的體積均相等，設，若．則

(A)7

(B)8

(C)9

(D)10參考答案：B2.若集合，，則集合不可能是（

）A．B．

C．

D．參考答案：D略3.設函數則（

）A.有最大值

B.有最小值

C.是增函數

D.是減函數參考答案：A略4.，，則=（）A．（0，2] B．（1，2]

C．?

D．（﹣4，0）參考答案：B5.已知函數f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）與g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的圖象上存在關于原點對稱的點，則實數a的取值范圍為（）A．（﹣∞，2） B．（0，） C．（，2） D．（0，2）參考答案：D【考點】函數與方程的綜合運用；函數的圖象．【分析】設出對稱點的坐標，代入兩個函數的解析式，轉化為方程有解，利用函數圖象關系列出不等式求解即可．【解答】解：函數f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）與g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的圖象上存在關于原點對稱的點，設函數f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一點為（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，則（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的圖象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，與y=log2（t+a），t＞0的圖象，如圖：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故選：D．6.函數f（x）＝為奇函數，且在（0，＋）上單調遞增，則a等于（）A、0B、－1C、1D、±1參考答案：C7.函數y=的其中一個對稱中心為(

)A．B．C．（0，0）D．參考答案：A考點：正切函數的奇偶性與對稱性．專題：三角函數的圖像與性質．分析：對于函數y=，令2x﹣=，求得x的值，可得函數的圖象的對稱中心．解答： 解：對于函數y=，令2x﹣=，求得x=π，k∈Z，故函數的圖象的對稱中心為（π，0），k∈Z，故選：A．點評：本題主要考查正切函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．8.如果對于正數有，那么

（

）

A．1

B．10

C．

D．參考答案：D

9.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．9x±4y=0 B．4x±9y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用雙曲線方程的性質求解．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為：=0，整理，得：2x±3y=0．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線簡單性質的合理運用．10.“”是“”的（）條件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分條件

D.不充分不必要參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數在復平面上對應的點在第

象限．

參考答案：四略12.如圖是某算法的程序框圖，若任意輸入中的實數，則輸出的大于的概率為

;參考答案：13.在平行四邊形中，對角線與交于點，，則_________.參考答案：2

14.若是兩個不共線的向量，已知，若，，三點共線，則=參考答案：-8略15.已知某幾何體的三視圖（單位）如圖所示，則此幾何體的體積是

▲

．參考答案：7略16.若變量x，y滿足條件，則目標函數z=2x+y的最小值為．參考答案：﹣3【考點】簡單線性規劃．【分析】首先畫出平面區域，利用目標函數等于直線在y軸的截距得到最最優解位置，求得z的最小值．【解答】解：變量x，y滿足的平面區域如圖：目標函數z=2x+y變形為y=﹣2x+z，當此直線經過圖中A時z最小，由得到A（﹣1，﹣1），所以z=2×（﹣1）﹣1=﹣3；故答案為﹣3；17.設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且當x∈[﹣2，0]時，f（x）=．若函數g（x）=f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在區間（﹣2，6]恰有3個不同的零點，則a的取值范圍是

．參考答案：（，2）考點：根的存在性及根的個數判斷；函數的周期性．專題：計算題；壓軸題；數形結合．分析：由題意中f（x﹣2）=f（2+x），可得函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，又由函數為偶函數，則可得f（x）在區間（﹣2，6]上的圖象，結合方程的解與函數的零點之間的關系，可將方程f（x）﹣logax+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為兩個函數圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．解答： 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4又∵當x∈[﹣2，0]時，f（x）=，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，故函數f（x）在區間（﹣2，6]上的圖象如下圖所示：若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3個不同的實數解則loga4＜3，loga8＞3，解得：＜a＜2，即a的取值范圍是（，2）；故答案為（，2）．點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，關鍵是根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝plnx＋(p－1)x2＋1．

（I）討論函數f(x)的單調性；

（II）當p＝1時，f(x)≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；

（III）證明：ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(n∈N*)．參考答案：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋2(p－1)x＝.當p>1時，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當p≤0時，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；當－1＜p＜0時，令f′(x)＝0，解得x＝，則當x∈時，f′(x)＞0；x∈時，f′(x)＜0.故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．(2)因為x>0，所以當p＝1時，f(x)≤kx恒成立?1＋lnx≤kx?k≥，令h(x)＝，則k≥h(x)max，因為h′(x)＝，由h′(x)＝0得x＝1，且當x∈(0,1)時，h′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0.所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減．所以h(x)max＝h(1)＝1，故k≥1.(3)證明：由(2)知當k＝1時，有f(x)≤x，當k>1時，f(x)<x，即lnx<x－1，令x＝，則ln<，所以ln<，ln<，…，ln<，相加得ln＋ln＋…＋ln<1＋＋…＋，而ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln(n＋1)，所以ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(n∈N*)．19.（本小題滿分12分）

數列{an}的前n項和為，等差數列的各項為正實數，其前n項和為成等比數列．

（I）求數列{an}、的通項公式；

（2）若，當n≥2時，求數列的前n項和An。參考答案：略20.(本題滿分l3分)給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．(I)求橢圓C的方程；(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．參考答案：21.（本小題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上。

(1)求證：DE//平面ABC；(2)求二面角E—BC—A的余弦值；參考答案：解：方法一：（1）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點O，連接BO，DO，則平面ACD平面ABC平面ABC，作EF平面ABC，那么EF//DO，根據題意，點F落在BO上，，易求得所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF；平面ABC，平面ABC，平面ABC…………6分（2）作FGBC，垂足為G，連接EG；平面ABC，EGBC就是二面角E—BC—A的平面角即二面角E—BC—A的余弦值為

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