定義3.1

設函數在點的某個領域內有定義.

(1)如果對于該領域內任意的總有，則稱為函數的極大值，并且稱點是的極大值點.3.4.1函數的極值總有，則稱為函數的極小值，并且稱點是的極小值點.(2)如果對于該領域內任意的函數的極大值與極小值統稱為函數的

極值，極大值與極小值值點統稱為極值點.3.4.1函數的極值定理3.5

(極值存在的必要條件)如果在點處取得極值且在點處可導,則

.3.4.1函數的極值

(1)由正變負，則是極大值點；

(2)由負變正，則是極小值點；

(3)不改變符號，則不是極值點.

定理3.6

(極值判別法Ⅰ)設函數在點的鄰域內連續且可導(允許不存在)，當由小增大經過點時，若3.4.1函數的極值例1

求函數的極值．解，令，解得，，.得到三個駐點，沒有導數不存在的點.3.4.1函數的極值無極值極大值極小值3.4.1函數的極值由表可見函數的極大值為，極小值為．例2

求函數的極值．解，3.4.1函數的極值當時，不存在．令，解得.極大值極小值3.4.1函數的極值函數極大值為，極小值為．定理3.7(極值判別法Ⅱ)

設函數在點處有二階導數，且，存在，3.4.1函數的極值

(1)若，則函數在點處取得極大值；

(2)若，則函數在點處取得極小值；

(3)若，則不能判斷是否是極值.3.4.1函數的極值因此，當時，第二判別法失效，只能用第一判別法判斷.3.4.1函數的極值對于的情形：可能是極大值，可能是極小值，也可能不是極值．例如，，是極大值；，，是極小值；，，但不是極值．例3

求函數的極值．解，令，解得，.，，所以是極大值點.的極大值為.3.4.1函數的極值，所以是極小值點.的極小值為.求函數極值的步驟：3.4.1函數的極值

⑤求出各極值點的函數值.

④分別考察每一個駐點或導數不存在的

點是否為極值點,是極大值點還是極小值點；3.4.1函數的極值

②解方程，求出在定義域內的所有駐點；

①求的導數；

③找出在定義域內所有導數不存在的點；對于一個閉區間上的連續函數,它的最大值、最小值只能在極值點或端點上取得．因此,只要求出函數的所有極值和端點值，它們之中最大的就是最大值，最小的就是最小值.3.4.2函數的最大值與最小值3.4.2函數的最大值與最小值

①求出在內的所有駐點和一階導數不存在的連續點，并計算各點的函數值.

②求出端點的函數值和.求最大值和最小值的方法如下：

③比較前面求出的所有函數值，其中最大的就是在上的最大值,最小的就是在上的最小值.例4

求函數在上的最大值與最小值.令，解得，，，3.4.2函數的最大值與最小值解．計算出，，，再算出，，3.4.2函數的最大值與最小值比較這五個函數值，得出在上的最大值為，最小值為

.比較這五個函數值，得出在上的最大值為，最小值為.解，令，解得，，，計算出，，再算出，3.4.2函數的最大值與最小值例5

求函數在上的最大值與最小值.例6

求函數在上的最大值與最小值.令，解得，計算出，再計算出，，解，3.4.2函數的最大值與最小值比較以上三個函數值得出在上的最大值為，最小值為.事實上，有，故是單調增加的，單調函數的最大值和最小值都發生在區間的端點處.3.4.2函數的最大值與最小值特別值得指出的是：在一個區間(有限或無界，開或閉)內可導且只有一個駐點，并且這個駐點是的唯一極值點，那么，當是極大值時，就是在該區間上的最大值；當是極小值時，就是在該區間上的最小值．在應用問題中往往遇到這樣的情形．這時可以當作極值問題來解決，不必與區間的端點值相比較．3.4.2函數的最大值與最小值解設窗框的寬為，則長為

.例7

欲用長的鋁合金料加工一日字形窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能使窗戶面積最大，最大面積是多少？3.4.2函數的最大值與最小值于是窗戶的面積令，求得駐點，3.4.2函數的最大值與最小值．因為，所以是極大值點.由于在區間(0，2)內有唯一的極大值，則這個極大值就是最大值.于是得到，窗戶的寬為，長為時，窗戶的面積最大，最大面積為．

1.最大利潤問題例8

某廠生產某種產品，其固定成本為3萬元，每生產一百件產品，成本增加2萬元．其總收入(單位：萬元)是產量(單位：百件)的函數.，求達到最大利潤時的產量．3.4.3最大值與最小值在經濟問題中的應用舉例解利潤函數為．，令，得(百件).，所以當時，函數取得極大值，因為是唯一的極值點，所以就是最大值點.即產量為300件時取得最大利潤.3.4.3最大值與最小值在經濟問題中的應用舉例

2.最小成本問題例9

已知某個企業的成本函數為，其中－成本(單元：千元)，－產量(單位：噸)，求平均可變成本(單位：千元)的最小值．3.4.3最大值與最小值在經濟問題中的應用舉例解平均可變成本