平面與平面的垂直學習目標1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性質定理，并能利用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.平面和平面垂直是兩個平面相交時的一種特殊位置關系。我們先回憶一下直線與直線垂直的研究思路。思考:如何去刻畫平面與平面之間的位置關系？1.直線與平面垂直的定義如果直線

l

與平面α內的任意一條直線都垂直，則稱直線l和平面α互相垂直.2.直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

垂直于同一個平面的兩條直線平行．a⊥αb⊥αa//b3.直線與平面垂直的性質定理

在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫兩條相交直線的位置關系，進而研究直線與直線互相垂直這種特殊情況.在日常生活中，有很多平面與平面相交的例子．類似地，我們需要先引進二面角的概念，用角刻畫兩個相交平面的位置關系，進而研究兩個平面互相垂直.二面角

直線上的一點將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線．射線射線半平面半平面1.二面角(1)半平面：平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面．(2)二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.lABβα．P．Q(3)二面角的記法：

記作：二面角α-AB-β；

二面角P-AB-Q；

二面角α-l-β或P-l-Q．棱面(4)二面角的畫法Ⅰ.平臥式：ABlABlABCDⅡ.直立式：ABABl根據前面研究異面直線所成的角和直線與平面所成的角的經驗，我們可以用一個平面角來度量二面角的大?。@樣的平面角該如何建構呢？

雖然都是平面與平面相交，但在直觀感覺上，兩平面的“開合程度”并不一樣．比如日常生活中，常說“把門開大一些”，這說明門與墻面所形成的角度有不同的狀態．受此啟發，你認為該怎樣刻畫二面角大小呢？在二面角的棱上任取一點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線形成的角度是唯一確定的嗎？為什么？PAB不能.

因為角的大小會由于所作射線的位置不一樣而不同，而度量一個量的基本要求是“唯一性”．是唯一確定的．在二面角的棱上任取一點，從該點出發，分別在兩個半平面內任作一條射線，可得一個平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。OAB(5)二面角的平面角在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.在二面角的平面角的定義中O點是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點O在棱上的位置有關系嗎？二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.注意：(1)大小與點O的位置無關.(2)二面角的平面角兩邊一定要垂直于棱.二面角的平面角θ的取值范圍是什么？直二面角的定義：我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角．銳二面角直二面角鈍二面角注意區分各種角的取值范圍：異面直線所成角：___________，線面角：____________.(0°,90°][0°,90°]α(β)lA(B)OαβlABOθ=0o二面角的平面角θ的取值范圍為θ=180o0o≤θ≤180o．作出下列各圖中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B—B’C--AADBCl二面角-l-AC⊥lBD⊥lOEOO二面角A--BC--DD

如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.例1(6)求二面角解：如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角.設點H是△BCD的中心，連接AH，則AH⊥平面BCD，且點H在線段BM上.求二面角的平面角的大小的步驟(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點，分別在兩個半平面內向交線作垂線.(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面角.(3)計算：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.(4)結論.將求出的角轉化為面面角反思感悟一“作”二“證”三“計算”四“結論”

（1）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.跟蹤訓練1解：由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.(2)如圖，已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.解如圖，在平面α內，過O作OD⊥BC，垂足為點D，連接AD，設CO＝a.∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD?平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.跟蹤訓∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，在Rt△AOD中，∴∠ADO＝60°，即所求二面角大小是60°.小結二面角二面角一、二面角的定義：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的計算：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個半平面叫做二面角的面。

二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、二面角的平面角必須滿足三個條件2、二面角的平面角的大小與其頂點在棱上的位置無關3、二面角的大小用它的平面角的大小來度量

定義法線面垂直法1、找到或作出二面角的平面角2、證明1中的角就是所求的角3、計算所求的角4、結論一“作”二“證”三“計算”四“結論”

教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說墻面直立于地面上.觀察

教室相鄰的兩個墻面與地面可以構成幾個二面角?分別指出構成這些二面角的面、棱、平面角及其度數．

二面角C-AO-B二面角A-BO-C二面角A-CO-B(2)畫法：如圖畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．定義就是證明面面垂直的一種方法。2.

兩平面垂直的定義

在明確了兩個平面互相垂直的定義的基礎上，我們研究兩個平面垂直的判定和性質.先研究平面與平面垂直的判定．這種方法告訴我們，如果墻面經過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.觀察

建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，就認為墻面垂直于地面．這種方法說明了什么道理？類似結論也可以在長方體中發現．如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'經過平面ABCD的一條垂線AA'，此時，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．文字語言：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.這個定理說明了，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.(3).平面與平面垂直的判定定理線面垂直面面垂直圖形語言：符號語言：βaAα線線垂直線面垂直面面垂直例7如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:平面A'BD⊥平面ACC'A'．判定定理應用證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理，其實質歸根結底還是找一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，一定要把定理用符號語言敘述完整.反思感悟例8如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點．求證：平面PAC⊥平面PBC．【課本練習3】在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發現哪些平面互相垂直，為什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．再證：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．

教科書第158頁的例8以及練習的第3題中出現的四面體在中國古代被稱為“鱉臑”，即四個面都是直角三角形的三棱錐．“鱉臑”是用來展示空間垂直關系的經典素材，值得我們關注．四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”；將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”；底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵陽馬鱉臑兩個塹堵組成一個長方體一個陽馬和一個鱉臑組成一個塹堵兩個鱉臑組成一個陽馬

如圖，已知三棱錐S－ABC中，側棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.跟蹤訓練2證明：如圖，作SH⊥AC交AC于點H，連接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中點，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.圖形的折疊問題典例如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝

AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.證明取BE的中點N，CD的中點M，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四邊形BCDE中，CD⊥MN，又∵MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∴BE必與CD相交，又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又∵A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.反思感悟(1)折疊問題，即由平面圖形經過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關問題.解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量.(2)折疊問題要借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，理解所要解決的數學問題，對于平面與平面垂直問題的證明，要有理有據，有邏輯地表達出來，所以，本題充分體現直觀想象與邏輯推理的數學核心素養.歸納小結：

(1)判定面面垂直的兩種方法：

①定義法②根據面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.(3)從面面垂直的判定定理我們還可以看出面面垂直的問題可以轉化為線面垂直的問題來解決.

下面我們研究平面與平面垂直的性質，也就是在兩個平面互相垂直的條件下，能推出哪些結論．

如果兩個平面互相垂直，根據已有的研究經驗，我們可以先研究其中一個平面內的直線與另一個平面具有什么位置關系．αβcAba由此我們得到平面與平面垂直的性質定理。文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：3.平面與平面垂直的性質定理面面垂直線面垂直圖形語言：α⊥βα∩β＝a?a⊥βαβbab?αb⊥a這個定理說明了，可以由平面與平面垂直證明直線與平面垂直.這個定理可以用于解決現實生活中的問題。例如裝修房子時，要在墻壁上畫出與地面垂直的直線，只需在墻面上畫出地面與墻面的交線的垂線即可。A×××C所以直線a與直線b重合，因此a．探究

設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，則直線a與平面α具有什么位置關系？設α∩β＝c．過點P在平面α內作直線b⊥c．由平面與平面垂直的性質定理可知，b⊥β．因為過一點有且僅有一條直線與平面β垂直，追問：在立體幾何中，我們常需過平面外一個點向平面作垂線．這個問題的難點在于確定垂足的位置．探究能給你什么樣的啟發？追問：在立體幾何中，我們常需過平面外一個點向平面作垂線．這個問題的難點在于確定垂足的位置．探究能給你什么樣的啟發？欲確定平面α外一點P在平面α內的射影，可尋找或構造一個過點P且與α垂直的平面β．則根據平面與平面垂直的性質定理，只需過點P向平面α、β的交線作垂線即可．例9.如圖,已知平面,β,⊥β,直線a滿足a⊥β,

a,試判斷直線a與平面的位置關系.baβ解:例10.如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.EPABC∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC,∴PA⊥BC.又PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB證明