第14講指數與指數塞的運算

1.根式

⑴根式的概念如果存在實數X,使得》”="(">1,〃€川)，那么稱X為”的〃次方根.式

子仍叫做根式，其中〃叫做根指數，。叫做被開方數.

(2)根式的性質

①當〃為奇數時，有仃=a；②當〃為偶數時，有折7=|“|=["'""7；

[一aM<U

③負數沒有偶次方根；④零的任何正次方根都是零；

2.幕的有關概念

⑴正整數指數幕的定義：a"=?"k—：W(〃eN*)

n

(2)零指數幕/>=1;

⑶負整數指數鬲("O,peN*)；

⑷正分數指數鬲/=叱(a>0,〃?,〃€"*,且〃>1)；

--1

⑸負分數指數幕。"=/(〃>0,機,〃€汽,,且">1)；

(6)0的正分數指數鬲等于0,0的負分數指數幕無意義.

3.有理指數塞的運算性質

⑴a"=a'"(a>°，r，se。)；(2)(ar)s=an(a>0,r,seQ)；

(3)(ab)r=ar-br(a>0,6>0,re0).

例1.利用分數指數幕和根式的轉化求下列各式的值.

(1)3255⑵/；(3)(-)-3；(4)g-j.

【答案】(1)2；⑵27；⑶27；(4)1

例2.用分數指數基的形式表示下列各式.

⑴L.布；⑵/?竹;⑶日訪

【答案】⑴/；⑵)；⑶/

例3,求下列各式的值.

⑴；(2)7H7；⑶

⑷丸-力3；⑸也-2)4;(6)而-S，.

【答案】(1)一3；(2)8；(3)TT-2；(4)a-b；(5)2；(6)\a-b\

例4.化簡求值.

(21Y21A<15\

⑴2球序一6/63卜_3a6b6(2)(V25-V125)4-V25；

41

a，-803b

(4)

I1

4涼+2病+6

…)

⑸閶+0.L+段丫一3萬。+青(6)f>1Y-IP)

a4b2a3b③

\7

4

【答案】(1)4〃；(2)5%_5;(3)a;⑷。；(5)100；(6)a

~b

［解析］⑴原式―5不§%=4。;

-3

/23\22_13_|

⑵原式=5i-52-5^=5r2-5r2=5^-5；

i14

9x-x-x4

⑶原式=,(。9)6>a36

a3-Sa3ba3-Sa3ha3；a2一8ab

⑷原式=2i~i2。------------------二Q;

---------r--------Ta—8b'

463+2a3b3+a3枷+2〃3〃+〃3〃一2萬3

2

113+衛5937

⑸原式=V4------z-+=-+100+——3+—=100

0.124831648

54

(6)原式涼涼

27

ah2a3b&a3b3

3二

例5.已知求>+.+2的值:

X2+X-2+3

【答案】|2

!!(1.1Y/、2

【解析】.../+/5=3，,x+xT=x2+x2-2=7,x2+x~2=(x+x-})-2=47,

2_2X2+x-2-

X-X2X2+X-1+2

x2-l-x2+2_^J1)_3x(71)+2_2.

x2+x-2+3x2+x-2+347+35

例6.已知優+/*=",其中a>O,xeR,試用“將下列各式分別表示出來:

⑴/+/；⑵a。箕

【答案】(1)471；(2)(〃-1)，7工2

［解析］(1)vax+a~x=u,a>0,xeR,

X,_____________________

xx

a"+Q-5=\la+a+2=+2；

3x3xxx\______

(2)a2+q_2=q2+Q2(優_］+尸)=(〃_1)+2.

跟蹤訓練

1,下列各式中成立的是（）

A.（2）B.y（-3）"=V-3C而+V=(x+y尸D.&^=如

【答案】D

2.計算［（一2尸］；的結果是（）

L10--V20.—|

A.72B.-

【答案】B

3,若（2x-6廣"“=1,則x的值為（)

7

A.2B,3C.2或3D.2或5

【答案】D

【解析】???。°=1（。*0）,1*=1（6e7?）,（-iy=：l(c為偶數)，

?（2x-6^0=。或或

??1-5x+62i=l2X-6=-Hi.f-5x+6為偶數,

7

解得x=2或x=j,故選D.

4,若0<；，則化簡也。-l）2的結果是（

)

A.J2a-1B.72a-IC.J-2aD.-V1-2a

【答案】C

【解析】2a-1<0,

^(2a-l)2=7|2a-l|=Vl-2a,故選C.

5,若#4片-44+1=拜工,則實數“滿足()

A.a=-B.。=0或。=—C.。=0D.tz<-

222

【答案】B

【解析】???#l-2a=246-4〃+1=52”心0,.-.1-2^>0,2^-1<0,

=，(l-2a)3=(l-2a)2,即2a(1-2°丫=0,

故"0或a=g,選B.

6.已知10"=2《,10”=衣，則10%"=()

A.啦B.夜C.1D.無答案

【答案】A

,3

o3.3,々3，I、？，5、)I

【解析】io"、'=1()2J10/=(10"J.00)=2^-23=2^=Q,：

V)\J

7,若3"=8,3"=5,則3卜=.

2

【答案】n

【解析】3：2"=M=2.

8.計算化簡:

(1)(0.027)5-(6-)5+(2>/2P+-3-1；

2|