2023/6/91高等數學2023/6/92第十一章

第一節常數項級數的概念和性質

目錄上頁下頁結束一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質三、級數收斂的必要條件*四、柯西審斂原理2023/6/93問題：芝諾悖論——阿基里斯與烏龜如果讓阿基里斯（achilles,古希臘神話中善跑的英雄）和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前面1000米開始.假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠追不上烏龜.

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家芝諾（zeno）用他的無窮,連續以及部分和的知識,引發出一個著名的悖論：

目錄上頁下頁結束2023/6/94芝諾的理論依據是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍前于他100米,于是一個新的起點產生了,阿基里斯必須繼續向前追,當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍前于他10米,阿基里斯只能再追向那10米.

目錄上頁下頁結束1000m100m10m2023/6/95就這樣,烏龜會制造出無窮個起點,他總能在起點和自己之間制造一個距離,不管這個距離有多小,但只要烏龜不停的奮力向前爬,阿基里斯就永遠也追不上烏龜.這個結論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻是沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？相信學過本節內容之后,大家都能解釋這個問題了.

目錄上頁下頁結束2023/6/96

目錄上頁下頁結束劉徽魏晉時期著名數學家“割之彌細,所彌失少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣”引例.

用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.一、常數項級數的概念3世紀中期魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術,由此求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數值.這個數值是當時世界上圓周率計算的最精確的數據.“割圓術”就是以“圓內接正多邊形的面積”來無限逼近“圓面積”.劉徽形容他的“割圓術”說：2023/6/97

目錄上頁下頁結束依次作圓內接正邊形,

這個和逼近于圓的面積A.設a0

表示即內接正三角形面積,

ak

表示邊數增加時增加的面積,

則圓內接正引例.

用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.2023/6/98定義1：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數,其中第

n

項叫做級數的一般項,級數的前

n

項和稱為級數的部分和.次相加,簡記為

目錄上頁下頁結束2023/6/99構成一個數列，稱為部分和數列.當n依次取1,2,3,···時根據這個數列有沒有極限，引進級數的收斂與發散的概念.

目錄上頁下頁結束2023/6/910定義2：如果級數的部分和數列有極限，如果沒有極限，記為并稱級數的和為，則稱無窮級數收斂，即則稱級數發散.當級數收斂時,稱差值為級數的余項.顯然

目錄上頁下頁結束2023/6/9例1.

討論等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數收斂,從而則部分和因此級數發散.其和為11

目錄上頁下頁結束2023/6/92).若因此級數發散;因此n為奇數n為偶數從而綜合1)、2)可知,時,等比級數收斂;時,等比級數發散.則級數成為不存在,因此級數發散.12

目錄上頁下頁結束2023/6/9下面解決一開始提出的芝諾悖論問題阿基里斯需要追趕的全部路程為這是一個公比的幾何級數,它的和為如果賽程比這個距離短,則烏龜勝；如果賽程恰好等于這個距離,則雙方平分秋色；否則,阿基里斯就要在距離起點處追上并超過烏龜.13

目錄上頁下頁結束2023/6/9二、無窮級數的基本性質性質1.

若級數收斂于S,則各項乘以常數

c

所得級數也收斂,證:

令則這說明收斂,其和為cS.

說明:

級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.14

目錄上頁下頁結束2023/6/9性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為證:

令則這說明級數也收斂,其和為說明:性質2表明收斂級數可逐項相加或相減.15

目錄上頁下頁結束2023/6/9推論1:

若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.證:用反證.

設收斂,發散.若收斂,則也收斂,

發散相矛盾.這與級數例如:是發散的這是因為是發散的,是收斂的.16

目錄上頁下頁結束2023/6/9若二級數都發散,不一定收斂,例如,定發散.也不一收斂,發散.17

目錄上頁下頁結束2023/6/9性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.證:

將級數的前k項去掉,的部分和為數斂散性相同.當級數收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數18

目錄上頁下頁結束2023/6/9性質4.收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證:

設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數的部分和序列為原級數部分和序列的一個子序列,推論:

若加括弧后的級數發散,則原級數必發散.注意:

收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.但發散.因此必有例如,用反證法可證例如19

目錄上頁下頁結束2023/6/9例3.判斷級數的斂散性:解:

考慮加括號后的級數發散(后證),從而原級數發散.20

目錄上頁下頁結束2023/6/9三、級數收斂的必要條件

設收斂級數則必有證:推論:

若級數的一般項不趨于0,則級數必發散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數發散.21

目錄上頁下頁結束2023/6/9注意:并非級數收斂的充分條件.例4.

調和級數雖然證明此級數發散.證:(反證法)

假設調和級數收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.22

目錄上頁下頁結束2023/6/9證2:(幾何證法)

123nn+10故23

目錄上頁下頁結束2023/6/9例5.

判斷下列級數的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(1)發散.24

目錄上頁下頁結束2023/6/9因為進行拆項相消這說明原級數收斂,其和為(2)25

目錄上頁下頁結束2023/6/9

例6(課堂練習)判別級數的斂散性.解:故原級數收斂,其和為26

目錄上頁下頁結束2023/6/9的充要條件是:*四、柯西審斂原理(略)定理.有證:設所給級數部分和數列為因為所以,利用數列的柯西審斂原理(第一章第六節)

即得本定理的結論.27

目錄上頁下頁結束2023/6/9例6.解:有利用柯西審斂原理判別級數28

目錄上頁下頁結束2023/6/9當n﹥N

時,都有由柯西審斂原理可知,級數29

目錄上頁下頁結束2023/6/9一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質小結:1.常數項級數;2.級數收斂;3.余項.性質1.若級數收斂,則性質2.設級數收斂,則性質3.在級數前面加上或去掉有限項,

不會影響級數的斂散性.30

目錄上頁下頁結束2023/6/9三、級數收斂的必要條件*四、柯西審斂原理性質4.收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.設級數則必有收斂,的充要條件是:定理.有31

目錄上頁下頁結束2023/6/932第十一章

第二節常數項級數的審斂法

目錄上頁下頁結束一、正項級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

2023/6/933

目錄上頁下頁結束一、正項級數及其審斂法若定理1.

正項級數收斂部分和序列有界.若收斂,

則收斂,因為

所以部分和數列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數

.單調遞增,

收斂,也收斂.證:

“”“”稱為基本定理.即有界.收斂2023/6/934(1)若強級數則弱級數(2)若弱級數則強級數收斂,也收斂;發散,也發散.定理2(比較審斂法)設是兩個正項級數,且

證明：設則(1)

目錄上頁下頁結束(2)

發散,而2023/6/9即發散推論1設與為正項級數.且則(1)

若收斂收斂

(2)

若發散發散35

目錄上頁下頁結束2023/6/936

目錄上頁下頁結束例1.

討論

級數(常數

)的斂散性.解:

(1)若因為對一切而調和級數由比較審斂法可知p

級數發散.發散,37

目錄上頁下頁結束因為當故時,(2)

若2023/6/92023/6/938

目錄上頁下頁結束故收斂收斂綜上：例如：發散,收斂因而級數通常作為判別某一類級數斂散性的標準.(2)

若時,有2023/6/939

目錄上頁下頁結束推論2設為正項級數(1)

若時,有

則收斂

則發散2023/6/940

目錄上頁下頁結束證明級數發散.證:

因為而級數發散根據比較審斂法可知,所給級數發散

.例2.(3)當

l=∞,且發散時,也發散.

證:

據極限定義,

對,存在,當時,(2)當

l=

0,且收斂時,也收斂;

2023/6/9定理3.(比較審斂法的極限形式)

設兩正項級數則有兩個級數同時收斂或發散;滿足(1)當0<l<∞

時,41

目錄上頁下頁結束2023/6/9由定理2

可知同時收斂或同時發散;(3)當l=∞時,

存在時,即由定理2可知,若發散,(1)當0<l<∞時,(2)當l=

0時,

利用由定理2

知收斂,

則也收斂;

若42

目錄上頁下頁結束2023/6/9是兩個正項級數,(1)當時,兩個級數同時收斂或發散;特別取可得如下結論:對正項級數(2)當且收斂時,(3)當且發散時,也收斂;也發散.發散收斂43

目錄上頁下頁結束根據比較審斂法的極限形式知

收斂.2023/6/9的斂散性.～例3.

判別級數的斂散性.解:根據比較審斂法的極限形式知例4.

判別級數解:～44

目錄上頁下頁結束2023/6/9例5.

已知收斂,證明:

證明：收斂,也收斂.(1)因為

,所以對當時,

故而收斂,故收斂.45

目錄上頁下頁結束2023/6/9(2)因為而收斂,故收斂.故收斂.注意：收斂收斂.46

目錄上頁下頁結束知存在,當時,(1)當

時,取使由2023/6/9定理4.比值審斂法

(D’alembert判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當證:收斂,時,級數收斂;或時,級數發散.由比較審斂法可知

收斂.47

目錄上頁下頁結束2023/6/9因此所以級數發散.時(2)當

或時,必存在當說明:

當時,

級數可能收斂也可能發散.例如,

P

–級數但級數收斂;級數發散.從而48

目錄上頁下頁結束當時,級數發散;當時,級數收斂;2023/6/9例6.

討論級數的斂散性.解:根據定理4可知:當時,級數

發散.49

目錄上頁下頁結束2023/6/9

警告各位！對正項級數則當當時,級數收斂;或時,級數發散.若絕不能由推出級數收斂;能由推出級數發散的結論.因為此時級數通項不趨于零.例如:調和級數但級數發散.而50

目錄上頁下頁結束存在當時,有2023/6/9對任意給定的正數定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設為正項級則證明提示:即分別利用上述不等式的左,

右部分,可推出結論正確.數,且(1)當(2)當時,級數發散.時,級數收斂;

51

目錄上頁下頁結束2023/6/9時,級數可能收斂也可能發散.例如

,p–

級數說明:但級數收斂;級數發散.52

目錄上頁下頁結束2023/6/9例7.

證明級數收斂于S,似代替和S

時所產生的誤差.解:

由定理5可知該級數收斂.令則所求誤差為并估計以部分和Sn

近53

目錄上頁下頁結束2023/6/9二、交錯級數及其審斂法則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數.定理6.

(Leibnitz

判別法)

若交錯級數滿足條件:則級數收斂,且其和其余項滿足54

目錄上頁下頁結束2023/6/9證:

是單調遞增有界數列,又故級數收斂于S,

且

的余項：故55

目錄上頁下頁結束2023/6/9例8.

判別交錯級數斂散性解:

且滿足

收斂,且和

56

目錄上頁下頁結束2023/6/9用Leibnitz

判別法判別下列級數的斂散性:收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂?發散收斂收斂收斂收斂(1)(2)(3)(1)(2)(3)57

目錄上頁下頁結束2023/6/9三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數若若原級數收斂,但取絕對值以后的級數發散,則稱原級收斂,數為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂;則稱原級數條件收斂

.58

目錄上頁下頁結束2023/6/9定理7.

絕對收斂的級數一定收斂.證:

設根據比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂.且收斂,令59

目錄上頁下頁結束2023/6/9例9.

證明下列級數絕對收斂:證:

(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.60

目錄上頁下頁結束2023/6/9(2)令因此收斂,絕對收斂.61

目錄上頁下頁結束2023/6/9注：

(1)P-202頁如果判斷出發散時,不能得到

發散的結論,還需要重新判別的斂散性,若收斂,則條件收斂.(2)但是,如果用Cauchy根值判別法,或達朗貝爾判別法判定正項級數發散時,則可以斷言,原級數也發散.62

目錄上頁下頁結束2023/6/9這是因為利用柯西及達朗貝爾判別法來判別發散時,是根據來判定的,因此,對而言,也有,故發散.63

目錄上頁下頁結束2023/6/9例10.判別下列級數的收斂性,若收斂,是條件收斂絕對收斂？解：（1）考慮因為應用根值法,知級數絕對收斂.64

目錄上頁下頁結束2023/6/9（2）考慮絕對值級數由比較法知其發散.由原級數是交錯級數,但非單減,故萊布尼茲法則失效.可用收斂級數的性質來判別:而收斂,發散,所以原級數發散.65

目錄上頁下頁結束2023/6/9；（3）令因為所以原級數收斂;顯然取絕對值的級數發散,所以原級數收斂（條件收斂）.66

目錄上頁下頁結束2023/6/9內容小結1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.利用正項級數審斂法（解題程序）必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限67

目錄上頁下頁結束2023/6/93.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:則交錯級數收斂概念:絕對收斂條件收斂68

目錄上頁下頁結束2023/6/9思考與練習設正項級數收斂,能否推出收斂?提示:因為級數由比較判斂法可知收斂.注意:有人這樣做，對否？收斂,當n充分大時有因為正項級數收斂,所以由比值判斂法可知收斂.69

目錄上頁下頁結束2023/6/970三、冪級數的運算二、冪級數及其收斂性第十一章

第三節冪級數一、函數項級數的概念

2023/6/971一、函數項級數的概念為區間I上的函數項級數.則稱若級數由所有收斂點的全體構成的集合稱為收斂域;若常數項級數給定區間I上的一列函數收斂,發散,由所有發散點的全體構成的集合稱為發散域.為收斂點，

為發散點,目錄上頁下頁結束，稱則稱固定2023/6/972稱它為級數的和函數,并寫成若用并令余項為則在收斂域上有表示函數項級數前n項的和,即在收斂域上,函數項級數的和是x的函數目錄上頁下頁結束2023/6/973例如,等比級數它的收斂域是它的發散域是又如,級數級數發散;所以級數的收斂域僅為和函數為目錄上頁下頁結束2023/6/974二、冪級數及其收斂性

形如的函數項級數稱為冪級數,其中數列下面主要討論例如,冪級數為冪級數的系數.就是這種情形.的情形,即稱目錄上頁下頁結束2023/6/975定理1.(Abel定理)若冪級數則對滿足不等式的一切x，冪級數都絕對收斂.反之,若當的一切x,該冪級數也發散.時該冪級數發散,則對滿足不等式證:設收斂,則有于是存在常數M>0,使目錄上頁下頁結束發散發散收斂收斂發散2023/6/976當時,收斂,故原冪級數絕對收斂.收斂,反之,若當時該冪級數發散,擬用反證法:假設存在點滿足不等式所以若當滿足使得級數收斂,則由前面的結論可知級數在點故假設不真！的x,原冪級數也發散.

時冪級數發散,則對一切也應收斂，與題設矛盾，目錄上頁下頁結束2023/6/977冪級數在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可知,中心的區間.若用±R表示冪級數收斂與發散的分界點,則的收斂域是以原點為當R=0時,冪級數僅在x=0收斂;當R=時,冪級數在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為冪級數的收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發散.外發散;在(－R,R)稱為收斂區間，發散發散收斂目錄上頁下頁結束2023/6/978定理2.

若的系數滿足證:1)若≠0,則根據比值審斂法可知:當原級數收斂;當原級數發散.即時,1)當≠0時,2)當＝0時,3)當＝∞時,即時,則目錄上頁下頁結束收斂半徑的求法.2023/6/9792)若則根據比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則除x=0以外的一切x原級數都發散,對任意x原級數因此因此的收斂半徑為說明:因此級數的收斂半徑目錄上頁下頁結束2023/6/980對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,交錯級數收斂;級數發散；故收斂域為例1.求冪級數

目錄上頁下頁結束2023/6/981例2.

求下列冪級數的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數僅在x=0處收斂.規定:0!=1目錄上頁下頁結束2023/6/982例3.的收斂半徑.解:級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數收斂時級數發散故收斂半徑為故直接用目錄上頁下頁結束2023/6/983例4.的收斂域.解:令級數變為當t=2時,級數為此級數發散;當t=–2時,級數為此級數收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即目錄上頁下頁結束2023/6/984三、冪級數的運算定理3.

設冪級數及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結論可用部分和的極限證明.目錄上頁下頁結束2023/6/985注：兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多.例如,設它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是目錄上頁下頁結束2023/6/986定理4若冪級數的收斂半徑注：此性質稱為冪級數的分析性質，證明見第六節(略).則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項積分,并且運算前后收斂半徑相同:目錄上頁下頁結束定理4的應用:

1)求和函數.2)求展開式.2023/6/987解:由例2可知級數的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數.因此得設目錄上頁下頁結束2023/6/988例6.

求級數的和函數解:易知冪級數的收斂半徑為1,及收斂,目錄上頁下頁結束書上例62023/6/989因此由和函數的連續性得:而及目錄上頁下頁結束注：書214頁倒數第二行有錯！改為2023/6/990例7(

練習)的和函數解:易知冪級數的收斂半徑為1,x＝±1時級數發散目錄上頁下頁結束2023/6/991內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.目錄上頁下頁結束2023/6/9922)冪級數的和函數在收斂域內連續;3)冪級數在收斂區間內可逐項求導和逐項求積分.思考與練習1.已知處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少?答:根據Abel定理可知,級數在收斂,時發散,故收斂半徑為目錄上頁下頁結束2023/6/9932.在冪級數中,n為奇數n為偶數能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因為當時級數收斂,時級數發散,說明:可以證明比值判別法成立根值判別法成立目錄上頁下頁結束2023/6/994備用題1

求極限其中解:令作冪級數設其和為易知其收斂半徑為1,則目錄上頁下頁結束2023/6/995備用題2解:

設則2023/6/996而故目錄上頁下頁結束2023/6/997阿貝爾(1802–1829)挪威數學家,近代數學發展的先驅者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數研究開拓了道路.數學家們工作150年.類代數方程,他是橢圓函數C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發現這是一類交換群,目錄上頁下頁結束2023/6/998

二、函數展開成冪級數第十一章

第四節函數展開成冪級數一、泰勒(Taylor)級數

2023/6/999由泰勒公式可知，若函數在點有任意階導數，則對任意的可以寫出泰勒公式：

如果當時，則有的鄰域內具2023/6/9100

目錄上頁下頁結束存在冪級數函數點能夠展開成冪級數是指：使得在的某鄰域內有

2023/6/9101一、泰勒(Taylor)級數

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項.若函數的某鄰域內具有n+1階導數,此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,則在該鄰域內有:

目錄上頁下頁結束2023/6/9102為f(x)

的泰勒級數.

則稱特別:

當x0=0

時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數

.1)對此級數,它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數是否為f(x)?要解決的問題:若函數的某鄰域內具有任意階導數,

目錄上頁下頁結束2023/6/9103定理1.各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設函數f(x)在點x0的某一鄰域內具有

目錄上頁下頁結束2023/6/9104定理2.若f(x)能展成

x

的冪級數,則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數相同.證:

設f(x)所展成的冪級數為則結論顯然成立.

目錄上頁下頁結束2023/6/9105二、函數展開成冪級數1.直接展開法第一步求函數及其各階導數在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數,并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區間(－R,R)內是否有將f(x)展開為x冪級數的步驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式;間接展開法—利用已有展式結合冪級數的分析性質展開.

目錄上頁下頁結束第四步若(－R,R)內有則2023/6/9106例1.

將函數展開成x

的冪級數.解:其收斂半徑為利用帶拉格朗日余項的麥克勞林公式可知故(在0與x之間)故得級數

目錄上頁下頁結束2023/6/9107例2.

將展開成x

的冪級數.解:

得級數:易知利用帶拉格朗日余項的麥克勞林公式

目錄上頁下頁結束2023/6/9108類似可推出:(P220例3)

目錄上頁下頁結束2023/6/9109例3.

將函數展開成x

的冪級數,其中m為任意常數.解:易知于是得級數由于級數在開區間(－1,1)內收斂.因此對任意常數m,

目錄上頁下頁結束2023/6/9110推導略則為避免研究余項

,設此級數的和函數為

目錄上頁下頁結束2023/6/9111稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關.(2)當m為正整數時,級數為x

的m

次多項式,上式就是代數學中的二項式定理.由此得

目錄上頁下頁結束2023/6/9112對應的二項展開式分別為

目錄上頁下頁結束2023/6/91132.間接展開法利用一些已知的函數展開式及冪級數的分析性質,例4.

將函數展開成x

的冪級數.解:

因為把x

換成,得將所給函數展開成冪級數.

目錄上頁下頁結束2023/6/9114例5.

將函數展開成x

的冪級數.解:從0到x

積分,得定義且連續,區間為利用此題可得上式右端的冪級數在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立的,于是收斂

目錄上頁下頁結束2023/6/9115例6.

將展成解:的冪級數.

目錄上頁下頁結束2023/6/9116例7.

將展成x－1的冪級數.解:

目錄上頁下頁結束2023/6/9117內容小結1.函數的冪級數展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用已有展式結合冪級數的分析2.常用函數的冪級數展開式性質展開.

目錄上頁下頁結束2023/6/9118當m=–1時

目錄上頁下頁結束2023/6/9119思考與練習1.函數處“有泰勒級數”與“能展成泰勒級數”有何不同?提示:

后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級數?提示:機動目錄上頁下頁返回結束2023/6/9120例3附注（略）

目錄上頁下頁結束2023/6/9121備用題1.將下列函數展開成x

的冪級數解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此

目錄上頁下頁結束2023/6/91222.

將在x=0處展為冪級數.解:因此

目錄上頁下頁結束2023/6/9123

二、函數展開成傅里葉級數第十一章

第七節傅里葉級數一、三角級數及三角函數系的正交性

三、正弦級數和余弦級數2023/6/9124一、三角級數及三角函數系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數)(A為振幅,復雜的周期運動:令得函數項級數為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數為三角級數.

目錄上頁下頁結束2023/6/9125證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數之積在

目錄上頁下頁結束定理1.

三角級數的函數系2023/6/9126上的積分不等于0.且有但是在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在

目錄上頁下頁結束2023/6/9127二、函數展開成傅里葉級數定理2.

設f(x)是周期為2的周期函數,且右端級數可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得

目錄上頁下頁結束2023/6/9128(利用正交性)類似地,

用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得

目錄上頁下頁結束2023/6/9129葉系數為系數的三角級數①稱為的傅里葉系數;由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數稱為函數

目錄上頁下頁結束(或由f導出的傅里葉級數).2023/6/9130定理3(收斂定理,展開定理)設

f(x)是周期為2的周期函數,并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數

.

x

為連續點注意:函數展成傅里葉級數的條件比展成冪級數的條件低得多.

目錄上頁下頁結束2023/6/9131例1.

設

f(x)是周期為2的周期函數,它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數將f(x)展成傅里葉級數.

目錄上頁下頁結束2023/6/9132

目錄上頁下頁結束2023/6/91331)

根據收斂定理可知,時,級數收斂于2)傅氏級數的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.

目錄上頁下頁結束2023/6/9134例2.上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數.解:設

f(x)是周期為2的周期函數,它在

目錄上頁下頁結束2023/6/9135說明:

當時,級數收斂于

目錄上頁下頁結束2023/6/9136周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數定義在[–,]上的函數f(x)的傅氏級數展開方法:其它

目錄上頁下頁結束2023/6/9137例3.

將函數級數.則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數F(x),

目錄上頁下頁結束2023/6/9138利用此展式可求出幾個特殊的級數的和.當x=0時,f(0)=0,得說明:

目錄上頁下頁結束(略)2023/6/9139設已知又

目錄上頁下頁結束(略)看書2023/6/9140三、正弦級數和余弦級數1.周期為2的奇、偶函數的傅里葉級數定理4.

對周期為2的奇函數

f(x),其傅里葉級數為周期為2的偶函數f(x),其傅里葉級數為余弦級數,它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為

目錄上頁下頁結束2023/6/9141例4.

設的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數.是周期為2的周期函數,它在解:

若不計周期為2的奇函數,因此

目錄上頁下頁結束2023/6/9142n＝1根據收斂定理可得f(x)的正弦級數:級數的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5

目錄上頁下頁結束2023/6/9143例5.

將周期函數展成傅里葉級數,其中E為正常數.解:是周期為2的周期偶函數,因此

目錄上頁下頁結束2023/6/91442.在[0,]上的函數展成正弦級數與余弦級數周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成

目錄上頁下頁結束2023/6/9145例6.

將函數分別展成正弦級數與余弦級數.解:

先求正弦級數.去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,

目錄上頁下頁結束2023/6/9146注意:在端點x=0,,級數的和為0,與給定函數因此得f(x)=x+1的值不同.

目錄上頁下頁結束2023/6/9147再求余弦級數.將則有作偶周期延拓,

目錄上頁下頁結束2023/6/9148說明:

令

x=0

可得即

目錄上頁下頁結束2023/6/9149內容小結1.周期為2的函數的傅里葉級數及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數收斂于

目錄上頁下頁結束2023/6/91502.周期為2的奇、偶函數的傅里葉級數

奇函數正弦級數

偶函數余弦級數3.在[0,]上函數的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數

作偶周期延拓,展開為余弦級數1.在[0,]上的函數的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數就不同.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習2023/6/9151處收斂于2.則它的傅里葉級數在在處收斂于

.提示:設周期函數在一個周期內的表達式為

,

目錄上頁下頁結束2023/6/9152備用題

1.葉級數展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目錄上頁下頁結束2023/6/9153傅里葉(1768–1830)法國數學家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數學史上一部經典性書中系統的運用了三角級數和三角積分,他的學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎發展起來的文獻,他深信數學是解決實際問題傅里葉分析對近代數學以及物理和工程技術的發展都產生了深遠的影響.

目錄上頁下頁結束2023/6/9154狄利克雷(1805–1859)德國數學家.對數論,數學分析和數學物理有突出的貢獻,是解析數論他是最早提倡嚴格化方法的數學家.函數f(x)