塑性成形技術基礎第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2-12條件應力-應變曲線第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2）屈雷斯加（Tresca)屈服準則

材料（質點）中的最大剪應力達到某一臨界值時，材料發生屈服，該臨界值取決于材料在變形條件下的性質，而與應力狀態無關。屈雷斯加屈服準則又稱為最大剪應力準則，其表達式為:τmax=C第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

式中C通過試驗求得。由于C值與應力狀態無關，常用簡單拉伸試驗確定。當試樣屈服時，σ2=σ3=0、σ1=σs，代入上式得C=1/2σs。于是，屈雷斯加屈服準則的數學表達式為:

σ1-σ3=σs（2-14）第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二屈雷斯加屈服準則存在的問題：

（1）若大小順序不知，無法使用。故有時也將其寫為：

（2）未考慮中間主應力的影響。第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二3）密塞斯（mises)屈服準則

當受力物體內質點應力偏張量的第2不變量達到某一臨界值時，材料發生屈服，該臨界值取決于材料在變形條件下的性質，而與應力狀態無關。即：第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二式中C1通過試驗求得。C1值與應力狀態無關，用簡單拉伸試驗確定。當試樣屈服時，、代入上式得。于是，密塞斯屈服準則的數學表達式為:（2-15）第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二密塞斯屈服準則的物理意義：

將上式兩邊各乘以，于是得：

第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

左邊項為材料單位體積彈性形狀變化能，右邊項為單向拉伸屈服時，單位體積的形狀變化能。

密塞斯屈服準則可以表述為：

材料質點屈服的條件是當其單位體積的彈性形狀變化能達到某一臨界值；該臨界值只取決于材料在變形條件下的性質，而與應力狀態無關。

稱為彈性形狀變化能準則。第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二4）屈雷斯加和密塞斯屈服準則的比較

為評價中間主應力影響，引入應力參數：代入密塞斯屈服準則表達式，經整理后得：

（2-16）

第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二當時，、；當

時，、；當

時，、。由變化至

時，相應的值變化范圍為1～。現以為縱坐標，為橫坐標,得隨變化的幾何圖形，如圖所示。第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

圖4-13與的關系第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

屈雷斯加屈服準則，在和之間如何變化，。在圖2-13中為一水平線。

可見，在軸對稱應力狀態時，兩個屈服準則是一致的；平面應變狀態時，兩個準則的差別最大，達15.5％；在其余應力狀態下，兩個準則的差別小于15.5％，視中間應力的相對大小而定。

第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2.4塑性變形時應力應變關系

分析塑性變形問題，需要知道塑性變形時，應力狀態和應變狀態之間的關系。這種關系的數學表達式叫做本構方程，也稱物理方程。

第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二1）塑性變形時應力應變關系的特點

彈性變形時，應力與應變成線性關系。彈性變形是可逆的，應變由應力狀態唯一確定，和應力狀態如何達到的歷史無關。應力應變之間的這種線性關系，可由廣義虎克定律來描述。

第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

塑性變形應力應變關系的特點：

（1）塑性變形時體積不變；

（2）應力應變關系是非線性的；

（3）應變與應力主軸不一定重合；

（4）塑性變形是不可逆的。

外力去除后，塑性變形部分仍然保留下來。最終的塑性應變狀態與加載的歷史有關。

第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

質點受應力作用，發生塑性應變，變為另一種應力狀態，這時質點塑性應變既有和新的應力狀態相對應的應變，又有應力改變前保留下來的應變，最終應變是兩者之和。若加載一直受到后種應力狀態作用，則產生的塑性應變必然和前種情況下結果不同。即：最終應力狀態一樣，但加載歷史不同，最終塑性應變狀態不同。

第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

離開加載歷史建立應力和應變的關系是不可能的。一般，只能建立應力與應變增量的關系。與某瞬時應力狀態相對應的只是塑性應變增量。要求應變全量，要按加載過程各段增量積分。但加載過程中，各應力分量始終保持比例關系，主軸的方向、順序不變，則塑性應變分量也按比例增加。這時，塑性應變全量與應力就有對應函數關系。這種加載稱簡單加載。

第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2）等效應力和等效應變的概念

定義：

（2-17）

為等效應力。在單向拉伸時，σ1=σ，σ2=σ3=0，代入上式，得=σ。顯然，等效應力和單向拉伸時的應力等效。

第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二定義：

為等效應變。單向拉伸,，

代入上式，得。可見，等效應變與單向拉伸時的應變也是等效的。

（2-18）第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二3）增量理論

（1）基本假設條件

①理想剛塑性材料的假設，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總應變增量；

②材料服從密塞斯屈服準則，即：

第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二③塑性變形時體積不變，即：（2）列維-密塞斯方程（2-19）

第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二簡記為：

①應變增量主軸與應力偏量主軸（即應力主軸）重合；

②應變增量與應力偏張量成正比。

（2-20）

第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（3）圣維南塑性流動方程

將式（2-20）兩邊各除以dt，得：

或：

（2-21）

第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二4）全量理論

（1）基本假設條件

①理想剛塑性材料的假設；

②塑性變形和彈性變形屬同一量級；

③加載過程符合簡單加載條件，則應力偏張量的各個分量與應變偏張量的各個分量成正比。

第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（2）伊留申理論

式中：

對于剛塑性材料，考慮到塑性變形時體積不變，，故有：

（2-22）

第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

實際塑性變形過程，加載情況很難嚴格滿足簡單加載條件，因此，該理論的應用受到限制。但是，如果將簡單加載條件適當放寬，滿足主軸方向不變，主軸次序基本不變，則實踐表明，上述全量理論亦可近似應用。

第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二求解塑性成形力學問題的基本方程（1）靜力平衡微分方程（2-11）第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（2）小變形的幾何方程（2-13）第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（3）塑性方程或：（2-14）（2-15）第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（4）本構方程（2-20）（2-22）

第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2.5應力狀態對塑性和變形抗力影響

塑性指金屬在外力作用下發生永久變形而不破壞其完整性的能力；塑性高，金屬具有的塑性成形適應能力強，可產生的塑性變形大。對金屬施加的外力稱為變形力；金屬抵抗變形的力稱為變形抗力，它反映金屬變形的難易程度。

第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二1）應力狀態對材料塑性的影響

應力狀態對塑性的影響，實際上是通過靜水壓力σ0起作用的。壓應力個數越多、數值越大，則靜水壓力就越大，材料的塑性越好；反之，拉應力個數越多、數值越大，靜水壓力小，材料的塑性也越差。

原因如下：

第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（1）拉應力會促使晶間變形，加速晶界破壞，壓應力阻止或減少晶間變形；壓應力作用的增強，晶間變形愈加困難。

（2）壓應力作用有利于塑性變形過程中形成的各種損傷的愈合；而拉應力則相反，會促使損傷的發展。第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（3）壓應力作用能抑制材料中原存在的各種缺陷的發展，部分或全部地消除其危害。

（4）壓應力作用可抵消不均勻變形所引起的附加拉應力，從而有利于防止裂紋的產生。第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2）應力狀態對變形抗力的影響

塑性成形時材料的變形抗力與應力狀態有著密切的關系。可用屈服準則來解釋。設有兩個同材質的單元體，其應力狀態分別為三向壓縮和兩壓一拉（見圖2-14），

第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2-14三向同號和異號應力狀態下的屈服準則第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

根據屈服準則可知，為了使該單元體發生塑性變形，對于三向壓力狀態時應滿足：

即：

第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二對于而兩壓一拉應力狀態時應滿足：

即：

顯然，第一種情況下的絕對值（即變形抗力）要比第二種情況下的大。

第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

還可以這樣理解：為了使滑移發生，滑移面上的剪應力應達到臨界值。在同號主應力狀態下，各主應力在滑移面上所引起的剪應力分量總要相互抵消一部分；在異號主應力狀態下卻是相互疊加的。因此，對于第一種情況，需要施加更大的外力（即增大），方能使該面上剪應力達到臨界值而發生滑移。第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2.6真實應力—應變曲線

1）條件應力—應變曲線

在室溫、靜力拉伸條件下，在萬能材料實驗機上用標準式樣求得退火低碳鋼的條件應力—應變曲線如圖2-26所示。其中：

，第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2-15條件應力-應變曲線第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

事實上，此曲線并不代表材料的真實應力-應變曲線，原因是：

（1）A0—試樣原始面積；

（2）試樣產生縮頸后會產生形狀硬化，處于三向不均勻拉應力狀態；

（3）線應變不科學，不能代表真實應變。第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2－16縮頸處斷面應力分布第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2）用拉伸試驗繪制真實應力應變曲線

定義：材料在單向應力狀態下，單位面積上的變形力稱為真實應力或流動應力。

在未產生縮頸均勻拉伸階段，有：

第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二真實應力：真實應變：第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

在產生縮頸后，真實應力：真實應變：第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二3）實應力－應變曲線的近似數學表達式

為計算方便，需將試驗所得的真實應力－應變曲線，用一數學表達式來近似描述。研究表明，很多金屬材料的真實應力－應變曲線可以簡化成冪強化模型，用冪次式表示為：

第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

上述函數所代表的幾何圖形，隨著B、n的不同而變化，不同材料的試驗曲線各不一樣。為使理論曲線能較好地擬合實際曲線，必須合理確定B和n值。根據理論曲線必須通過實際曲線失穩對應點，使兩條曲線在失穩對應點處的斜率相等的條件，可以導出：第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二4）變形溫度和應變速率的影響

(1)溫度的影響

溫度升高，真實應力S和硬化速率降低；再結晶時，真實應力－應變曲線趨于一水平線，原因：溫度升高，原子動能增加，原子結合力減弱，臨界剪應力降低；發生回復或再結晶，部分或全部消除硬化；晶界滑移易于發生，減小晶界對晶內變形阻礙作用；擴散性蠕變作用加強。第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2-17不同溫度下應變速率對真實應力－應變曲線的影響a）冷變形b）溫變形c）熱變形第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二(2)應變速率的影響

應變速率增加，真實應力亦增加，但增加的程度與變形溫度有關，冷變形時增加的程度小，熱變形時增加的程度大。第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二原因是：

★應變速率增加，位錯運動速度加快，使臨界剪應力增加；

★變形是在較高溫度下進行，由于沒有足夠時間進行回復或再結晶，影響金屬的軟化效果，擴散性蠕變作用也不能充分發揮；

第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二★隨著應變速率的增加，溫度效應亦增加，它導致真實應力的降低；

★冷變形時的溫度效應大，由此引起的真實應力的降低必然比熱變形時的降低顯著。

第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

兩方面因素相互抵消的結果，造成隨著應變速率增加，真實應力增加，冷變形增加程度比熱變形小。第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2.7主應力法求解塑性成形力學問題舉例

1）求圓柱體鐓粗時接觸面上壓應力分布、總變形力和單位面積變形力。

已知：圓柱體的直徑為d，高度為h，

材料屈服點為，采用常摩擦條件

第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二求解：鐓粗時接觸面上的壓力

總變形力F

和單位面積變形力p

解：

1）切取有代表性的基元體（切塊法）圓柱體的幾何尺寸及基元體如圖所示。第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖2-18圓柱體鐓粗

第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二2）對基元體列靜力平衡方程

，略去無窮小項，則上式化簡成：

軸對稱應力狀態，故：，又：

則有：第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二3）引入主應力假設，列近似屈服方程，得：

，

4）對近似平衡方程和近似屈服方程進行聯解，積分常數根據應力邊界條件確定。