26等差數列及其前n項和1．等差數列的定義如果一個數列①__________________________________________________________，那么這個數列就叫作等差數列，這個常數叫作等差數列的②______，通常用字母③____表示．2．等差數列的通項公式及前n項和公式(1)an＝④____________；a1＋(n－1)d從第2項起，每一項減去它的前一項所得d公差的差都等于同一個常數3．等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋⑦_________(n，m∈N*)．(2)若{an}是等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則⑧_____________；k＋l＝2m?⑨___________(k，l，m∈N*)．(3)若{an}是等差數列，公差為d，則{a2n}也是等差數列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}(p，q∈N*)也是等差數列．(5)若{an}是等差數列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為⑩_______的等差數列．(n－m)dak＋al＝am＋anak＋al＝2ammd4．與等差數列各項的和有關的性質(2)若{an}是等差數列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列．(3)關于等差數列奇數項和與偶數項和的性質考向1等差數列的性質及基本運算

等差數列的性質及基本運算是高考中的常考內容，多出現在選擇題、填空題和解答題的第一問中，分值大約為5分，屬容易題．例1(1)(2014·課標Ⅱ文，5)等差數列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數列，則{an}的前n項和Sn＝ (

)【答案】

(1)A

(2)201．等差數列運算問題的通性通法(1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解．(2)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程思想．2．等差數列前n項和公式的應用方法變式訓練1．(2018·遼寧大連二十四中月考，6)在等差數列{an}中，a1＋4a8＋a15＝120，則a10－2a9的值為 (

) A．－22 B．－20C．20 D．22 【解析】因為a1＋a15＝2a8，且a1＋4a8＋a15＝120，所以6a8＝120，所以a8＝20，所以a10－2a9＝a10－(a8＋a10)＝－a8＝－20.B27考向2等差數列的判定與證明

等差數列的判定與證明是高考中常見題型，其基本方法是利用等差數列定義，即證明an＋1－an＝常數(與n無關)，題型既有小題又有大題，但多以解答題的第一問為主，難度不大．例2(2014·課標Ⅰ，17，12分)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數．(1)證明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由．【解析】

(1)證明：由題設，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由題設，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列．

等差數列的判定方法(1)證明一個數列{an}為等差數列的基本方法有兩種：①利用等差數列的定義證明，即證明an＋1－an＝d(n∈N*)；②利用等差中項證明，即證明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．(2)解選擇題、填空題時，也可用通項公式或前n項和公式直接判斷：①通項法：若數列{an}的通項公式為n的一次函數，即an＝An＋B，則{an}是等差數列．②前n項和法：若數列{an}的前n項和Sn可以化為Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數)，則{an}是等差數列．(3)若判斷一個數列不是等差數列，只需說明某連續3項(如前三項)不是等差數列即可．變式訓練

(2018·山東濟南一中月考，17，12分)在數列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(2)求數列{an}的通項公式．解：(1)證明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，考向3等差數列前n項和的最值問題

公差不為0的等差數列，其前n項和的最值在高考中常出現，題型既有小題又有大題，難度不大．復習時，弄清等差數列前n項和存在最值的條件，從等差數列前n項和與二次函數的關系及數列單調性兩個方面把握．例3(1)(2014·北京，12)若等差數列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．(2)(2014·江西文，13)在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．【解析】

(1)∵a7＋a8＋a9>0，a7＋a9＝2a8，∴3a8>0，即a8>0.又∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0，∴