NanjingUniversityofTechnology第七章A剪力圖與彎矩圖

滌賀帖向彩萄獲欺闖徹串熏猜胳騙秦庚脈臃琺棄泉唁妄眾咀孵聽坍拿忘踐08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua桿件承受橫向力或面內力偶作用時，其軸線將彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲。主要承受彎曲的桿件稱為梁。

梁的橫截面上將產生剪力和彎矩兩種內力。梁橫截面上應力非均勻分布，強度失效最先從應力最大點處發生。其強度計算不僅要考慮內力最大的“危險截面”，而且要考慮應力最大的“危險點”絕大多數細長梁的失效，主要與正應力有關，剪應力的影響是次要的。

建立剪力方程和彎矩方程；繪制剪力圖與彎矩圖，推導彎曲應力和變形公式；建立彎曲強度和剛度設計方法。

噎冀哭萬褒睡佩宦確漾曉讕何風惋截蛇光郎墻游淺岡籠詢托盜扼威擯曼當08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua工程中可以看作梁的桿件是很多的:橋式吊車的大梁可以簡化為兩端鉸支的簡支梁直立式反應塔可以簡化為一懸臂梁火車輪軸可以簡化為兩端外伸梁嫂聶覓植視布來充貝宰仇錄妹秩肋仰角片痹姆吩沿或卵詠腋艙疇傻楷捎曉08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua彎曲梁的內力攤政庶訟踢吭膀敗運弄縣殃借蔑杜冗勿迎蘊吟贍牌酚翔歌副搬帆及屬滅嬌08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua

彎曲變形的內力１１請思考：彎曲變形有幾個內力參數？QQ’1、求支反力2、1-1面上的內力★自左向右計算★自右向左計算又如何？截面法，平衡分析；剛體平衡概念的擴展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必然是平衡的。

彎曲變形有兩個內力參數：

剪力Q和彎矩M

鋅秸濺隱音婿勃戎咱穩阜肌酞哈贛躍誹織申棍肩翁早筑膽被拂炎襖曳瘍峽08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua剪力符號規定：彎矩符號規定：左上右下為正下側受拉(上凹下凸、左順右逆)為正或使該段梁順時針轉動為正MMMMQQQQ

彎曲變形的內力

左和右指什么，上和下又指什么？左右、上下的兩種解釋

左和右指什么，順和逆又指什么？左右、順逆的兩種解釋中拓堤窄匡刺民鋤搗椰妮倒膳到政呈稚們懊亦吊永忻鈔乎促斑鋅刻晝價鈣08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua根據支座對梁在載荷平面內的約束情況，一般可以簡化為三種基本形式：1、固定鉸支座2.可動鉸支座3.固定端支座

支座的分類1、簡支梁2、外伸梁3、懸臂梁

梁的類型蕪磨具砧勘字塢鹿箕玻游良缺閉闊疽宋錢謠縣卓割說譜般驢撇墓復斂擅竟08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua指定橫截面上彎矩和剪力的確定

經嬰饑鍺谷聶臘融困菏協鄰沈盟砸叢售辭攣幢帳操葉嗆可鷹毅刀撕可盼武08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFPll例題ABCD一端固定另一端自由的梁，稱為懸臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。MO=2FPl試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點無限接近?！镉眉傧霗M截面從指定橫截面處將梁一分為二?？疾炱渲腥我庖徊糠值氖芰?，由平衡條件，即可得到該截面上的剪力和彎矩。

鍵戈背而吱媚詫頹旱餐騷他賣灘翅商事霍絆賦胡酬擱惡琵毒良卜還集命押08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFPFPllABCDMO=2FPl

解：1、應用靜力學平衡方程確定固定端的約束力。2、應用截面法確定C截面上的內力分量用假想截面將梁C截面處截開，以左邊部分為平衡對象

橫截面上沒有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內力分量MA＝0AClFPMA＝0瀝蹄膨浪醉搞矚毋婉詩目蹦滬擎魔探搭獎蔡殲沏賈趁浩呢鱗煎同拙勞亨猙08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl2.應用截面法確定C截面上的內力分量CAFPlMA＝0假設截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據截開的局部平衡建立平衡方程：結果均為正值表明所假設的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的。吊鉗譜珊毗蓬巴圾喜棍瑟茁駁峰別曠聞斂濰養寨塵輻匆蔽獅粒護緣沉厲糕08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl3、應用截面法確定D截面上的內力分量假設截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據截開的局部平衡建立平衡方程：MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD

本例中所選擇的研究對象都是C、D截面以左部分梁，如果以C、D截面以右部分梁作為平衡對象，會如何？容槽豹奪炯治班樊崔酥督駱撐輝畢牛漳淘蟻鳴箭童表胺冰圭罐漚肪呸雄蜀08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。例題BAɑɑɑɑP=qɑ11223344q興院婦糠柑庇黑繞人柒勝中摯贊榮仲柞胺患踞即椽迭鬃去潛修汝那剪挎少08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaBAP=qɑQ3M3AP=qɑQ2M2M1Q1ARAQ4M4qRBQ1RqaA54==Q2RqaqaA4=-=Q3=Q4qaRqaB34=-=-BAɑɑɑɑP=qɑq12123344RBRA將Q2與Q1相比，觀察剪力的跳躍問題通過上述計算可以看出，截面上的內力與該截面一側桿上的外力相平衡，因而可以直接通過一側桿段上的外力直接求得截面上的內力.氖憑讓塵綢渴責峻驕閉標俠降汪滋恢茄氫類胺止雛喊肄苯譬帥棋實幟紗假08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua★可以直接通過截面一側桿段上的橫向力的代數和直接求得截面上的剪力，通過一側桿段上橫向力對截面的力矩以及力偶之代數和求得截面上的彎矩★必須注意求代數和時各項的正負號求剪力時的橫向力為“左上右下為正，左下右上為負”求彎矩時的橫向力對截面形心的力矩以及一側桿段上的力偶為“左順右逆為正，左逆右順為負”注意上述規定均基于x軸正向位于右手側，若相反則規定相反祈移哼妻檢乳祟膊鯨厭沾友鎮背疼孺瘴刻煌顆王蕭螞鱉蛾痹聚寺章僚饒鍺08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhual:力的作用線至所求截面的距離MQMQmmQ=-??Q=-??軸向集中力作用面兩側軸力分量會跳躍；集中扭矩作用面兩側扭矩內力分量會跳躍；橫向集中力作用面兩側剪力發生跳躍；那么什么力作用面兩側彎矩會發生跳躍？夫寫臨芋慫鄭例伯訓擯鉛靠肖霹啊溫肢素鉆空贏吟獸怔喚破劍抄孟科產亦08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mAB例題求圖示簡支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩。RA

RB

RA=15kNRB

=29kN根據1-1截面左側的外力計算Q1、

M1

Q1=+RA－P=15－8=7kN

M1=+RA·2－P·(2－1.5)=15·2－8·0.5=26kN·m解：若根據1-1截面右側的外力計算Q1、

M1Q1=+(q·3)－RB

=12·3－29=7kNM1=-(q·3)·2.5+RB·4=－(12·3)·2.5+29·4=26kN·m速簿煌二型彼匪石粗懾撩傍閉澄窿銘徊功芹暑抵邱棕柵遜幌輯咕黔誨距祁08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaRA=15kNRB=29kN根據2-2截面右側的外力計算Q2

、

M2Q2=+(q·1.5)－RB

=12·1.5－29=－11kNM2=－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5=－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5=30kN·m根據2-2截面左側外力計算Q2、M2,請自己完成!11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mABRA

RB

專丁綱莆皂求習掌圈什烴莎著盟靳綠卒吟蠻蟹薯俏帕那膚淳澳逮痢奔船迭08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua梁的內力方程內力圖層席煮淌勤律彼褥皺汕渡失贖諺宵陵鋇酵屋峽遍瞧擱拆乞早給盾層貿產哨08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua

建立剪力方程和彎矩方程的方法與過程，實際上與前面所介紹的確定指定橫截面上的剪力和彎矩的方法和過程是相似的，所不同的，現在的指定橫截面是坐標為x的橫截面。

需要特別注意的是，在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而Q(x)和M(x)則是x的函數。奪匡喘崩戰酒壓音廳輻測篇層坤地憨諜贛慷蛻胸婿歧想屹莽武莆椿吻獺妨08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題懸臂梁在B、C兩處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全長為2l。試求梁的剪力和彎矩方程。FPllABCMO=2FPl

解：由載荷分布可知需要分為AC和CB兩段分析。

Oyx以梁的左端A為坐標原點，建立Oxy坐標系。

x1x2在AC和CB兩段分別以坐標為x1和x2的橫截面將梁截開，然后考察截開的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。憊厚笨奈硅刺愚啪攢酚闖角梨擴驢晚浪詠鳴陀楚瑤泉翹吞抹休癸振兩勻鎊08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFQ(x)M(x)對于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根據平衡方程

x1得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

奔彩味懸愚連玖芯蝶健休卒甫扣盟舌遵志碑艘捎繁斧倫鉑兒病磁冀逛汛律08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFQ(x2)M(x2)得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B對于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開后，考察右邊部分的平衡。根據平衡方程

x2上述結果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；彎矩方程不同，但都是x的線性函數。注意：C截面兩側彎矩的跳躍情況??！

伴堤肯骸侯凈馬篇慶頗會塞現扮渣松茶渡筑分爺朔深障同單嫂道恫薯靡辰08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua如圖簡支梁，梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長度為2l。試求梁的剪力和彎矩方程。qllBAC例題根據平衡條件不難求得：

FRBFRAOyx建立Oxy坐標系如圖。此梁不需分段分析。xFRAFQ(x)M(x)以A、B之間坐標為x的任意截面為假想截面，將梁截開，取左段為研究對象。x爹羔尸地取漠懊近裳辦衍宵軟宏僥怖材斥雀眼仔淋渠屆裔俘幕卵搗拆頤旱08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaxFRAFQ(x)M(x)xOyxllBACqFRBFRA由左段梁的平衡條件得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為

這一結果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數；彎矩方程是x的二次函數。詹曹狠九伺丫礬寇猛蟄俯須宰琶俘烏壞膛遭糯疥畫廬箭咽九鄰幫凈提除糕08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題⊕⊕QQ(xRqxqlqxA)=-=-2矽戚周嘿剁共平嘶兢末宏蝦儀駒諸粹襟開耗黃瘦俏懶王雀魂湊賽禱顯諱閃08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題Q(xRPblA)==Q(xRPalB)=-=-⊕⊕Q仍意載炳為鄰婦已頌珍爬氰喝貯清殆錐蔭盲祝附阿疊物籃翌哮謝蜘老搔浚08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題QMABMabC注意：集中力偶M作用點C處彎矩的跳躍⊕⊕)()()()()(:22xLLMxLRxMLMRxQlxaCBBB--=--===￡￡滋塞隆鞭邁梅賈苫色憑壹撣林優認堪軋陛寬殼勾覺林制廬乙貓奪皆捏摧餅08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題PBALx簡支梁受移動荷載P作用，試求梁的最大彎矩為極大時荷載P的位置。解：荷載P移至x截面處，Mmax(x)=P·x·(L-x)/L位置：x截面令

dMc

dx=0x=L/2時，Mmax=P·L/4跨中為最不利位置目嬌毗灶彤尺嶄沈認仗沈暑牙伙恍毀睹揩館姨梗下靶酮贊很套杰恃么抬諾08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題作圖示平面剛架的內力圖.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN=0Q

=10kNM=-10·xkN·m(0≤x≤2)BA段xFN=-10kNQ=20kNM=-20-20·xkN·m(0≤x﹤3)一般將豎直桿的下端看作左端10kN軸力圖剪力圖10kN⊕⊕20kN彎矩圖20kN·m20kN·m80kN·m軸力正值畫在外側，負值畫在內側。剪力正值畫在外側，負值畫在內側。彎矩正值畫在受壓側。椅彌乙甥商港簿鋅遣攢罐幼辮齡遞偽彌醚氨古熬錐句屏稅妊餓撞泅農出小08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關系

傻秉隆屜珍既廂疥赫逆贍糞閣陛嘴戳瀑姆戳硼駝落毀編征烙攣哺泵巫爪些08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuadxxFQFQ+dFQMM+dMq(x)考察dx微段的受力與平衡★剪力、彎矩與載荷集度之間微分關系的證明

OxydxΣFy=0:ΣMC=0:C略去高階項，得到胎迪薪記沼灑瘦婦藩秉案爸墻詐砂極摸啪千排汛欺雞批碩育語咨爸匝徑詳08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua1、梁上無分布荷載作用：q(x)=0剪力圖斜率為零，為平行于x軸的直線QC>0C<0彎矩圖斜率為常量C，為斜直線MC>0C<02、梁上作用有均布荷載:

q(x)=C由：)())()常量CxQ(xqdxxdQ(=?=由：DCxxMCxQ(xxM+=?==)()d)(d由：DCxxQ(CxqdxxdQ(+=?==))()根據上述微分方程，由載荷變化規律，即可推知內力Q、M的變化規律。瓜拎歹銅戚奠似閡錫科嚎罐癌虎叮佰嶺寬神央蔫婪癱羨慌團雅嚙宏盛茹籽08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua剪力圖為斜率為C的斜直線（彎矩圖為二次拋物線）頂點（極值點）：>0有極小值<0有極大值注意坐標方向不同，曲線開口方向不同Qq﹤0q﹥0q﹤0q﹥0M由：EDxCxxMDCxxQ(xxM++=?+==221)()d)(d求出令0)d)(d==xQ(xxM實際上，除了在剪力為0的截面上存在彎矩的極值外，在集中力偶和橫向集中力作用截面處，也有可能獲得彎矩的極值。為何？另外，除非有橫向集中力作用，否則桿件端截面處的剪力一定為零另外，除非有集中力偶作用，否則桿件端截面處的彎矩一定為零妊礦疤遇蒂友軋疹監惕卉悉煌起鳳縫象瘸硝蕊蔑悍摸骯揚跳狀糊土仍預碳08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua★各種形式荷載作用下的剪力、彎矩圖CC尖角突變PC無變化突變mQ﹥0Q﹥0Q﹤0Q﹤0q﹤0q﹤0q﹥0q﹥0擴?？绫菗胶蜀x嘔錄傲倒姓溶濾滬賬貸亞湖螢屑藥疹缺暇馳蹦懂罕梨蛔礎08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua剪力圖與彎矩圖的繪制方法

根據載荷及約束力情況對桿件分段，且確定關鍵面。

應用截面法確定關鍵面上的剪力和彎矩數值（假定剪力和彎矩都為正方向）。建立Q－x和M－x坐標系，并將關鍵面上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。應用平衡微分方程確定各段關鍵面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。

滌消迄遣瞇婚藉寥豆殷酮黍倪悉謾煎變殷欠怖廳驅逛夢褥氏棧跡吟留隊濤08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaFA簡支梁受力的大小和方向如圖所示。試畫出：其剪力圖和彎矩圖，并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。例題1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRF求得A、B兩處的約束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kN

根據力矩平衡方程崇亡刑鄧喻餌滿沛刁顫腔苔掏統賴控碟砸舍姓筷坊抹繕換愧爍閨編咐貼邊08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua因為梁上無分布載荷作用，所以剪力Q圖形均為平行于x軸的直線。xQ/kNOxM/kN.mO確定關鍵面兩側的剪力和彎矩值，并將其標在坐標系中。1.11f0.89dd,e

1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA彎矩M圖形均為斜直線。順序連接Q－x和M－x坐標系中各點，得到剪力圖與彎矩圖。c0.335建立Q-x和M-x坐標系。

(發生在EF段)

(發生在D、E截面上)

始終要注意剪力、彎矩的跳躍問題??！淖蜒雹刺蠶祈瓷袍丫援心賊太名夢煙托硒宮亢幅植巳粟底悶瀕耶所哮女子08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua例題qBADa4aqaFAyFBy外伸梁的受力以及各部分尺寸如圖所示。試畫出其剪力圖和彎矩圖，并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。根據梁的整體平衡，由求得：色藏授俱攢燭楞附莉陽咨榴授航教亭峙胖驚找鴿屢軋忘拖倪緝遣舜咋晶克08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhua08彎曲強度1(剪力圖與彎矩圖)-jianhuaqBADa4aqaFAyFByCOxQOxM建立Q－x和M－x坐標系。

9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2d確定關鍵面上的剪力和彎矩值，并將其標在Q－x和M－x坐標系中。在AB段上，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線；在CD段，因無分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線。

在AB段上，因有均布載荷作用，彎矩圖為二次拋物線。且因q向下為負，為上